Đề thi thử TS vào 10 (Lần 1 - Tháng 2) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_TH&THCS Hồ Tùng Mậu_Phòng GD&ĐT Quỳnh Lưu_Tỉnh Nghệ An

Với $x \ge 0,\,\,x \ne 25,$ ta có:

$P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 5}} - \frac{1}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{5}{{x - 10\sqrt x + 25}}$

$= \left[ {\frac{{\sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} - \frac{{\sqrt x - 5}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}} \right]:\frac{5}{{{{\left( {\sqrt x - 5} \right)}^2}}}$

$= \frac{{\sqrt x + 5 - \sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {\sqrt x - 5} \right)}^2}}}{5}$

$= \frac{{10 \cdot {{\left( {\sqrt x - 5} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right) \cdot 5}} = \frac{{2\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\sqrt x + 5}}.$

Vậy với $x \ge 0,\,\,x \ne 25$ thì $P = \frac{{2\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\sqrt x + 5}}.$

Giải hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + 2y = 5\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{3x - y = 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$

Nhân hai vế của phương trình (2) với 2 ta được $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + 2y = 5}\\{6x - 2y = 2}\end{array}} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được: $7x = 7,$ suy ra $x = 1.$

Thay $x = 1$ vào phương trình (1), ta được: $1 + 2y = 5,$ suy ra $2y = 4$ nên $y = 2.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left( {1;2} \right).$

Giải bất phương trình:

$\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 3} \right) < 2{x^2} - 4\left( {2 - x} \right)$

$2{x^2} + 3x - 2x - 3 < 2{x^2} - 8 + 4x$

$2{x^2} + 3x - 2x - 2{x^2} - 4x < - 8 + 3$

$- 3x < - 5$

$x > \frac{5}{3}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x > \frac{5}{3}.$

Điều kiện xác định: $x \ne 3,\,\,x \ne - 3.$

$\frac{x}{{x - 3}} - \frac{2}{{x + 3}} = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 9}}$

$\frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{{x^2}}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}$

$x\left( {x + 3} \right) - 2\left( {x - 3} \right) = {x^2}$

${x^2} + 3x - 2x + 6 = {x^2}$

$x = - 6.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = - 6.$

Gọi giá tiền mua một quyển vở là $x$ (đồng), giá tiền mua một chiếc bút bi là $y$ (đồng) $\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).$

Bạn An mua 5 quyển vở và 3 chiếc bút bi với tổng số tiền phải trả 39 000 đồng nên ta có phương trình $5x + 3y = 39\,\,000$ (1)

Bạn Bảo mua 6 quyển vở và 2 chiếc bút bi với tổng số tiền phải trả là 42 000 đồng, ta có phương trình $6x + 2y = 42\,\,000$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{5x + 3y = 39\,\,000}\\{6x + 2y = 42\,\,000}\end{array}} \right.$

Giải hệ phương trình trên, ta được $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 6\,\,000}\\{y = 3\,\,000}\end{array}} \right.$ (thỏa mãn).

Vậy giá mỗi quyển vở là 6 000 đồng, giá mỗi cái bút bi là 3 000 đồng.

Gọi chiều cao của hải đăng là $h,$ khoảng cách từ tàu đến chân hải đăng là $a.$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

$h = a \cdot \tan \alpha$ suy ra $a = \frac{h}{{\tan 30^\circ }} = \frac{{65}}{{\tan 30^\circ }} = 65\sqrt 3 \approx 113{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vì $MA,{\rm{ }}MB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó điểm $M$ nằm trên đường trung trực của $AB.$

Do $A,\,\,B \in \left( O \right)$ nên $OA = OB,$ do đó điểm $O$ nằm trên đường trung trực của $AB.$

Suy ra $OM$ là đường trung trực của $AB$ nên $MO \bot AB$ tại $K.$

Xét $\Delta OEF$ cân tại $O$ (do $OE = OF)$ nên đường trung tuyến $OG$ đồng thời là đường cao của tam giác, suy ra $OG \bot FE$ tại $G.$

Xét $\Delta GOM$ và $\Delta KOH$ có: $\widehat {OGM} = \widehat {OKH} = 90^\circ$ và $\widehat {O\,}$ là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{OG}}{{KO}} = \frac{{OM}}{{OH}}$ hay $OG \cdot OH = OM \cdot OK.$

Xét $\Delta OKA$ và $\Delta OAM$ có: $\widehat {OKA} = \widehat {OAM} = 90^\circ$ và $\widehat {AOM}$ là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{OK}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OM}}$ hay $O{A^2} = OK \cdot OM.$

Mà $OA = OE$ và $OG \cdot OH = OM \cdot OK$ nên $O{E^2} = OG \cdot OH.$ Suy ra $\frac{{OG}}{{OE}} = \frac{{OE}}{{OH}}.$

Xét $\Delta OGE$ và $\Delta OEH$ có: $\widehat {O\,}$ là góc chung và $\frac{{OG}}{{OE}} = \frac{{OE}}{{OH}}$

Do đó (c.g.c). Suy ra $\widehat {OEH} = \widehat {OGE} = 90^\circ .$

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $\widehat {ABE}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ABE} = 90^\circ .$

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta AEH$ có: $\widehat {ABE} = \widehat {AEH} = 90^\circ$ và $\widehat {A\,}$ là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{BE}}{{EH}}$ nên $BE = \frac{{AE \cdot EH}}{{AH}}.$

Ta có: $\frac{1}{{B{E^2}}} = \frac{{A{H^2}}}{{A{E^2} \cdot E{H^2}}}$ mà $A{H^2} = A{E^2} + H{E^2}$ (định lý Pythagore trong $\Delta AHE$ vuông tại $E)$

Suy ra $\frac{1}{{B{E^2}}} = \frac{{A{E^2} + H{E^2}}}{{A{E^2} \cdot H{E^2}}} = \frac{1}{{H{E^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}}$

$= \frac{1}{{H{E^2}}} + \frac{1}{{4{R^2}}}$ (do $AE = 2R$ là đường kính của đường tròn $\left( O \right)).$

Do đó $\frac{1}{{B{E^2}}} - \frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{4{R^2}}}.$

Gọi $x,\,\,h$ (m) tương ứng là độ dài cạnh đáy và đường cao của hình hộp chữ nhật $\left( {x > 0,\,\,h > 0} \right).$

Ta có $V = h \cdot h \cdot x = h{x^2} = 108,$ suy ra $h = \frac{{108}}{{{x^2}}}$ (m).

Diện tích toàn phần của bể (không có nắp) là: $S = 4x \cdot \frac{{108}}{{{x^2}}} + {x^2} = \frac{{432}}{x} + {x^2}$ (m$^{2}$).

Để số viên gạch dùng xây bể là ít nhất thì ta tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S.$

Ta có: $S = \frac{{432}}{x} + {x^2} = \frac{{216}}{x} + \frac{{216}}{x} + {x^2}$

$\ge 3\sqrt[3]{{\frac{{216}}{x} \cdot \frac{{216}}{x} \cdot {x^2}}}$ (Bất đẳng thức Cauchy)

$= 3 \cdot 36 = 108.$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $\frac{{216}}{x} = {x^2},$ hay $x = 6.$ Khi đó, $h = \frac{{108}}{{{6^2}}} = 3.$

Vậy chiều dài cạnh đáy và chiều cao của lòng bể tương ứng bằng 6 m và 3 m thì số viên gạch dùng xây bể là ít nhất.