Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Trường chuyên KHTN Hà Nội lần 01 có đáp án

Chọn D

Thay tọa độ điểm $Q(1;1;3)$vào phương trình đường thẳng ta có:

$$\frac{{1 - 1}}{1} = \frac{{1 - 1}}{1} = \frac{{3 - 3}}{2} = 0$$

Chọn C

$${2^{x + 1}} = 16 \Leftrightarrow x + 1 = 4 \Leftrightarrow x = 3$$

Chọn B

Gọi $I$ trung điểm của đoạn $AB$

$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_I} = \frac{{1 + 3}}{2}}\\{{y_I} = \frac{{ - 2 + 4}}{2}}\\{{z_I} = \frac{{ - 1 + ( - 3)}}{2}}\end{array}} \right.$$

Vậy $I(2;1; - 2)$

Chọn C

$\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = 1$

Chọn C

Từ đồ thị suy ra hàm số là hàm đa thức bậc ba và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty$.

Chọn B

$2\sin x = 1 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

$x \in \left( {0;2\pi } \right)$

Suy ra $x = \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6}} \right\}$.

Chọn D

Từ phương trình mặt phẳng suy ra vecto pháp tuyến.

Chọn A

Phương $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right){x^2}{\left( {x - 3} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 0\\x = 3\end{array} \right.$. Trong 3 nghiệm trên có 2 nghiệm bội lẻ nên $f'\left( x \right)$ bị đổi dấu 2 lần suy ra hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.

Chọn A

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {0;1; - 1} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {1;3; - 2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1; - 1; - 1} \right)$.

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Chọn C

Ta có $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

Vì $x \in \left[ { - 2;0} \right] \Rightarrow x = - 1$.

Ta có: $f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^3} - 3.\left( { - 2} \right) + 1 = - 1;f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 3.\left( { - 1} \right) + 1 = 3$;

$f\left( 0 \right) = {0^3} - 3.0 + 1 = 1$.

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1$ trên đoạn $\left[ { - 2;0} \right]$ bằng $- 1$.

Chọn B

Ta có: ${\log _a}b = 3$; ${\log _a}c = - 2$

Suy ra: ${\log _a}\left( {\frac{{{a^3}{b^2}}}{c}} \right) = {\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) - {\log _a}c = {\log _a}{a^3} + {\log _a}{b^2} - {\log _a}c$

$= 3{\log _a}a + 2{\log _a}b - {\log _a}c = 3 + 2.3 - \left( { - 2} \right) = 11$.

a) Đúng.

Lợi nhuận của công ty tại thời điểm $t = 2$: $P\left( 2 \right) = - {2^3} + 12 \times {2^2} + 60 \times 2 - 50 = 110$ tỷ đồng.

b) Sai.

Hàm số biểu thị tốc độ tăng trưởng lợi nhuận: $P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 24t + 60$.

c) Đúng.

Hàm số $P\left( t \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {0;12} \right]$.

Ta có: $P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 24t + 60 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 10 \in \left[ {0;12} \right]\\t = - 2 \notin \left[ {0;12} \right]\end{array} \right.$.

Xét trên đoạn $\left[ {0;12} \right]$:

+ $P\left( 0 \right) = - {0^3} + 12 \times {0^2} + 60 \times 0 - 50 = - 50$;

+ $P\left( {10} \right) = - {10^3} + 12 \times {10^2} + 60 \times 10 - 50 = 750$;

+ $P\left( {12} \right) = - {12^3} + 12 \times {12^2} + 60 \times 12 - 50 = 670$.

Vậy lợi nhuận của công ty đạt mức tối đa là ${P_{\max }} = 750$ tỷ đồng tại thời điểm $t = 10$.

d) Đúng.

Ta có: $P'\left( t \right) = - 3{t^2} + 24t + 60 = - 3\left( {{t^2} - 8t + 16} \right) + 108 = - 3{\left( {t - 4} \right)^2} + 108 \le 108$.

Dấu bằng xảy ra khi $- 3{\left( {t - 4} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 4$.

Vậy tốc độ tăng trưởng lợi nhuận là lớn nhất tại thời điểm $t = 4$.

+ Câu a).

Hàm số xác định khi và chỉ khi ${x^2} - 4x + 8 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + 4 > 0,\forall x \in R$.

+ Câu b).

Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{2x - 4}}{{\left( {{x^2} - 4x + 8} \right).\ln 2}}$

+ Câu c).

Do hàm số $f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 4x + 8} \right)$ đồng biển trên $R$ nên $f\left( x \right) = {\log _2}\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 4} \right] \ge {\log _2}4 = 2$ nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $R$ bằng 2.

+ Câu d).

Từ $f'\left( x \right) = \frac{{2x - 4}}{{\left( {{x^2} - 4x + 8} \right).\ln 2}}$ ta có $f'\left( x \right) < 0$ khi $x < 2$ ;$f'\left( x \right) > 0$ khi $x > 2$ và $f\left( 2 \right) = 2$ nên phương trình $f\left( x \right) = 2025$ có đúng hai nghiệm.

a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng

a) Tập xác định của hàm số đã cho là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

b) Ta có $y' = \frac{{\left( {4x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {2{x^2} - x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 4x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2 + \sqrt 6 }}{2}\\x = \frac{{2 - \sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.$.

Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đã cho có đúng hai điểm cực trị.

c) Ta có $y = \frac{{2{x^2} - x + 2}}{{x - 1}} = 2x + 1 + \frac{3}{{x - 1}}$ nên đồ thị $\left( C \right)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = 2x + 1$.

d) Tiệm cận đứng của đồ thị $\left( C \right)$ là đường thẳng $x = 1$.

Xét điểm $A\left( {a\,;\,\frac{{2{a^2} - a + 2}}{{a - 1}}} \right)\,$ thuộc đồ thị $\left( C \right)$.

Tổng khoảng cách từ $A$ đến hai đường tiệm cận của $\left( C \right)$ là

$d = \left| {a - 1} \right| + \frac{{\left| {2a - \frac{{2{a^2} - a + 2}}{{a - 1}} + 1} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \left| {a - 1} \right| + \frac{3}{{\sqrt 5 \left| {a - 1} \right|}} \ge 2\sqrt {\left| {a - 1} \right|.\frac{3}{{\sqrt 5 \left| {a - 1} \right|}}} = 2\sqrt {\frac{3}{{\sqrt 5 }}} > 2{,}3$.

a) Sai b) Đúng c) Sai d) Sai

a) Từ: $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}$ $\Rightarrow \overrightarrow u = (1\,; - 1\,;2)$.

b) Mặt cầu tâm $A(0;1;3)$, bán kính $R = 5$ có phương trình là ${x^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 3)^2} = 25$.

c) Phương trình tham số của $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - t\\z = 2t\end{array} \right.$

$H$ là hình chiếu vuông góc của $A$lên $d$ $\Rightarrow H \in d \Rightarrow H(t + 1\,; - t\,;2t)$.

Khi đó: $\overrightarrow {AH} = (t + 1\,; - t - 1\,;2t - 3)$

$H$ là hình chiếu vuông góc của $A$lên $d$

$\Leftrightarrow AH \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} \bot \vec u$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\vec u = 0\\ \Leftrightarrow 6t - 4 = 0\\ \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}\end{array}$

$\Rightarrow H(\frac{5}{3}; - \frac{2}{3};\frac{4}{3})$

d) Đường thẳng $d$ cắt mặt cầu tại $2$ điểm phân biệt $M,N$. Tọa độ của $M,N$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - t\\z = 2t\\{x^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 3)^2} = 25\end{array} \right.$

Giải hpt ta được $\left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t = \frac{7}{3}\end{array} \right.$$\Rightarrow M(0\,;1\,; - 2),N(\frac{{10}}{3}; - \frac{7}{3}\,;\frac{{14}}{3})$

Khi đó: $MN = \frac{{20}}{3} \approx 6.67$

Vậy: Đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng là: $6{,}67km$

Gọi $x,y$ lần lượt là số kg cần thiết để sản xuất một bao sản phẩm thức ăn hỗn hợp, $x,y \ge 0$.

Ta có hệ điều kiện

$\left\{ \begin{array}{l}0{,}1.x + 0{,}4.y \ge 20\\0{,}6.x + 0{,}3.y \ge 46{,}5\\x + y \le 100\end{array} \right.$

Hàm mục tiêu $T = 5x + 9y$.

$\begin{array}{l}\left( {{d_1}} \right):0{,}1.x + 0{,}4.y = 20\\\left( {{d_2}} \right):0{,}6.x + 0{,}3.y = 46{,}5\\\left( {{d_3}} \right):x + y = 100\end{array}$

Các giao điểm $A\left( {60;35} \right),B\left( {\frac{{20}}{3};\frac{{100}}{3}} \right),C\left( {55;45} \right)$

Giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh $T\left( A \right) = 615;T\left( B \right) = \frac{{1900}}{3},T\left( C \right) = 680$. Vậy chi phí thấp nhất là 615(nghìn đồng)

Ngày $11/3/2011$ tại vùng Tohoku, Nhật Bản ta có ${M_1} = \log {A_1} - {\rm{log}}{A_0}$ và

$21/5/2003$ trận động đất khác ở phía Bắc Algeria ${M_2} = \log {A_1} - {\rm{log}}{A_0}$. Cho nên

${M_1} - {M_2} = \log {A_1} - {\rm{log}}{A_2} = \log \left( {\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}}} \right)$. Suy ra $\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = {10^{{M_1} - {M_2}}} = {10^{2{,}3}} \approx 200$

Đáp án: 100

Lợi nhuận thu được là $L(x) = x(1800 - 6x) - (10000 + 600{\rm{x}} - 0{,}6{{\rm{x}}^2} + 0{,}004{{\rm{x}}^3}) = - 0{,}004{{\rm{x}}^3} - 5{,}4{{\rm{x}}^2} + 1200{\rm{x}} - 10000$

$$L'(x) = - 0{,}012{{\rm{x}}^2} - 10{,}8x + 1200;\,L'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 100;x = - 1000$$

Bảng biến thiên

Vậy mỗi tháng cần sản xuất 100 sản phẩm.

Đáp án: 7.

Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $d.$ Khi đó, $(\alpha ):2x + 2y - z - 5 = 0.$

Ta có $d:\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2t\\y = 4 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.$ thay vao phương trình của $(\alpha )$ được

$2(4 + 2t) + 2(4 + 2t) - (2 - t) - 5 = 0 \Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Rightarrow t = - 1 \Rightarrow H(2;2;3)$

Vậy $a + b + c = 2 + 2 + 3 = 7.$

Cách khác

Ta có: $d{\rm{ qua }}M(4;4;2){\rm{, vtcp }}\vec u = (2;2; - 1);\overrightarrow {MA} = ( - 3; - 3; - 3).$

$\overrightarrow {MH} = \frac{{\overrightarrow {MA} .\vec u}}{{|\vec u{|^2}}}.\vec u = \frac{{ - 3.2 - 3.2 + 3}}{{4 + 4 + 1}}\vec u = - \vec u = ( - 2; - 2;1)$$\Rightarrow H(2;2;3) \Rightarrow a + b + c = 7.$

Ta có đạo hàm

$C'\left( t \right) = \frac{{120\left( {{t^2} + 36 - 2{t^2}} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 36} \right)}^2}}} = \frac{{120\left( {36 - {t^2}} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 36} \right)}^2}}}$

$C'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 36 - {t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\\t = - 6\end{array} \right.$.

Ta có bảng biến thiên

Vì vậy nồng độ thuốc tối đa là ${\rm{10mg/L}}$.

Đáp án: 63.

Xét điểm ${\rm{K}}$:

$$2M{A^2} + M{B^2} = 2{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} = 2{\left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KB} } \right)^2} = 3M{K^2} + 2K{A^2} + K{B^2} + \overrightarrow {MK} .\left( {2\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} } \right)$$

Chọn điểm ${\rm{K}}$ thoả mãn $2\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} = \overrightarrow 0$ , gọi ${\rm{K}}\left( {{\rm{x;y;z}}} \right)$. Khi đó

$$\left\{ \begin{array}{l}2\left( {2 - x} \right) + \left( { - 1 - x} \right) = 0\\2\left( {0 - y} \right) + \left( { - 6 - y} \right) = 0\\2\left( {1 - z} \right) + \left( {7 - z} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 2\\z = 3\end{array} \right. \Rightarrow K\left( {1; - 2;3} \right)$$

Khi đó$2M{A^2} + M{B^2} = 3M{K^2} + 2K{A^2} + K{B^2}$ nhỏ nhất khi ${\rm{M}}$ là hình chiếu của ${\rm{K}}$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$. ${\rm{MK = d}}\left( {{\rm{K,}}\left( P \right)} \right) = \sqrt 3$.,${\rm{M}}{{\rm{K}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 3, K}}{{\rm{A}}^{\rm{2}}} = 9,{\rm{K}}{{\rm{B}}^{\rm{2}}} = 36.$ Suy ra giá trị nhỏ nhất cần tìm là ${\rm{63}}$.