Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Nguyễn Gia Thiều (Hà Nội) có đáp án

Chọn A

Do $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ và $f\left( x \right) = {x^2}$ với mọi $x \le 0$. Giá trị của $f\left( 2 \right) = - f\left( { - 2} \right) = - {\left( { - 2} \right)^2} = - 4$

Chọn D

$$\cot x = - 1 \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$$

Chọn C

Ta có $y = 4{x^3} - 6{x^2} + 11 \Rightarrow y' = 12{x^2} - 12x$, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương tại $x = 1$. Suy ra $y\left( 1 \right) = 9$

Chọn A

Ta có $y = - 2{x^3} + 9{x^2} + 24x - 114 \Rightarrow y' = - 6{x^2} + 18x + 24,y' > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 4$.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 1;4} \right)$

Chọn C

Trên $\left[ { - 1;5} \right]$, ta có $M = 3,m = - 2$. Giá trị của $M - m = 5$.

Chọn A

Tiệm cận ngang $y = 2$.

Chọn C

Điểm trung bình lớp $12A$ là $\overline {{x_A}} = 7{,}325$

Điểm trung bình lớp $12B$ là $\overline {{x_B}} = 7{,}675$

Khi $\overline {{x_A}} < \overline {{x_B}}$ và ${s_A} \approx 1{,}12 = {s_B}$

Chọn B

Ta có $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {D'C'} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'}$

Chọn B

Dễ thấy $\overrightarrow m .\overrightarrow b = 1.1 + 1.\left( { - 5} \right) + 4.1 = 0$ và $\overrightarrow n .\overrightarrow b = 1.4 + 1.\left( { - 5} \right) + 1.1 = 0$ nên $\overrightarrow b$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow m$ và $\overrightarrow n$.

Chọn D

Ta có :

$\left. \begin{array}{l}S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\AD{\rm{//}}BC\\AD \subset \left( {SAD} \right),BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\}$.

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AD$

Chọn D

Ta có:

$\left. \begin{array}{l}AD//BC\\AD \bot SA\end{array} \right\}$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow SA \bot BC\\m\`a \,AB \bot BC\end{array} \right\}$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\\m\`a \,\,BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$.

Chọn B

· Lớp $12C$có:

Điểm trung bình:$\overline {{x_C}} = \frac{{5{,}5.7 + 6{,}5.9 + 7{,}5.10 + 8{,}5.5 + 9{,}5.9}}{{7 + 9 + 10 + 5 + 9}} = 7{,}5$.

Tứ phân vị thứ nhất: ${Q_1} = 6 + \frac{{10 - 7}}{9}.\left( {7 - 6} \right) = \frac{{19}}{3} \approx 6{,}33$.

Tứ phân vị thứ ba: ${Q_3} = 8 + \frac{{30 - \left( {7 + 9 + 10} \right)}}{5}.\left( {9 - 8} \right) = \frac{{44}}{5} = 8{,}8$.

Khoảng tứ phân vị ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{37}}{{15}} \approx 2{,}47$.

· Lớp $12D$ có:

Điểm trung bình :$\overline {{x_D}} = \frac{{5{,}5.4 + 6{,}5.6 + 7{,}5.23 + 8{,}5.10 + 9{,}5.2}}{{4 + 6 + 23 + 10 + 2}} = 7{,}5$

Tứ phân vị thứ nhất: ${Q_1} = 7 + \frac{{\frac{{45}}{4} - \left( {4 + 6} \right)}}{{23}}.\left( {8 - 7} \right) = \frac{{649}}{{92}} \approx 7{,}05$.

Tứ phân vị thứ ba: ${Q_3} = 8 + \frac{{\frac{3}{4}.45 - \left( {4 + 6 + 23} \right)}}{{10}}.\left( {9 - 8} \right) = \frac{{323}}{{40}} = 8{,}075$.

Khoảng tứ phân vị ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{939}}{{920}} \approx 1{,}02$.

Vậy điểm trung bình hai lớp bằng nhau và độ phân tán điểm lớp 12C lớn hơn lớp 12D.

a) Khoảng biến thiên $R = 60 - 10 = 50$ (phút).

b)

Trung vị mẫu số liệu thuộc nhóm $\left[ {20;30} \right)$.

Giá trị của trung vị là

${M_e} = {u_{m + 1}} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 20 + \frac{{50 - 15}}{{40}}.\left( {30 - 20} \right) \approx 28{,}75$= 28 phút 45 giây.

c) Mốt mẫu số liệu thuộc nhóm $\left[ {20;30} \right)$.

${M_O} = {u_{m + 1}} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{2{n_m} - {n_{m - 1}} - {n_{m + 1}}}}\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 20 + \frac{{40 - 15}}{{2.40 - 15 - 25}}.\left( {30 - 20} \right) \approx 26{,}25$

= 26 phút 15 giây.

d)

+ Tiền bồi thường là $\left( {12 + 8} \right).60\,000 = 1\,200\,000$(đồng)

+ Tiền ship thu được là$\left( {15 + 40 + 25} \right).20\,\,000 = \,1\,600\,000$(đồng)

Vậy tiền phí ship lớn hơn tiền bồi thường.

a) Sai

Vì trên khoảng (18;24) hàm số v(t) nghịch biến nên vận tốc của ô tô giảm trên khoảng (18;24) .

b) Đúng

Trên đoạn [0;24] có $v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c$.

Có $t = 0;v = 0 \Rightarrow c = 0$

Có $t = 18;v = 27 \Rightarrow {18^2}a + 18b = 27$

Có $t = 24;v = 24 \Rightarrow {24^2}a + 24b = 24$.

Do đó $v = - \frac{1}{{12}}{t^2} + 3t \Rightarrow v' = - \frac{1}{6}t + 3 = a\left( t \right)$

$a = 2 \Rightarrow \frac{{ - 1}}{6}t + 3 = 2 \Rightarrow \frac{{ - 1}}{6}t = - 1 \Rightarrow t = 6$.

c) Đúng

Trên đoạn (24;50] có $v\left( t \right) = mt + n$.

Có $t = 24;v = 24 \Rightarrow 24m + n = 24$.

Có $t = 50;v = 0 \Rightarrow 50m + n = 0$

Do đó $v = - \frac{{12}}{{13}}t + \frac{{600}}{{13}} \Rightarrow v' = - \frac{{12}}{{13}} = a\left( t \right)$. Độ lớn của gia tốc trong quá trình (II) là $\frac{{12}}{{13}}\left( {m/{s^2}} \right)$

Độ lớn của gia tốc tại t = 24 là $a = \left| {\frac{{ - 1}}{6}.24 + 3} \right| = 1\,\,\left( {m/{s^2}} \right)$. Có $1 > \frac{{12}}{{13}}$ nên c đúng

d) Sai

Quãng đường xe chạy trong 24 giây đầu tiên là ${s_1} = \int\limits_0^{24} {\left( { - \frac{1}{{12}}{t^2} + 3t} \right){\rm{d}}t = 480}$ (m)

70%${s_1} = 336$(m)

Quãng đường xe chạy trong 26 giây cuối là ${s_1} = \int\limits_0^{24} {\left( { - \frac{1}{{12}}{t^2} + 3t} \right){\rm{d}}t = 312}$ (m) < 336 (m)

a) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có $A'\left( {0;0;4} \right),\,\,\,C'\left( {8;6;4} \right)\,\, \Rightarrow S\left( {4;3;4} \right)$. Vậy a đúng.

b) Lại có $D\left( {8;0;0} \right),\,\,\,C'\left( {8;6;4} \right)\,\, \Rightarrow P\left( {8;3;2} \right) \Rightarrow SP = 2\sqrt 5$. Vậy b sai.

c) Ta có $A\left( {0;0;0} \right),\,\,C\left( {8;6;0} \right) \Rightarrow S'\left( {4;3;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {SS'} = \left( {0;0; - 4} \right)$

mà $\overrightarrow {SP} = \left( {4;0; - 2} \right)$ nên ${\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {SP} ,\overrightarrow {SS'} } \right) = \frac{{\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {SP} ,\overrightarrow {SS'} } \right) \approx 63,{43^0}$. Vậy c sai.

d) Ta có $\overrightarrow {SP} = \left( {4;0; - 2} \right),\,\,\overrightarrow {SC} = \left( {4;3; - 4} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SP} ;\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {6;8;12} \right)$

Chọn $\overrightarrow u = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {SP} ;\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {3;4;6} \right)$. Vậy d đúng.

a) Đầu năm 2020 giá căn hộ là ${P_0} = 1500$ ( triệu đồng) .

Mỗi năm tăng 10%, trong 5 năm (cuối 2020 → cuối 2024).

${P_5} = {P_0}{\left( {1 + 10\% } \right)^5} = 1500.1,{1^5} = 2416$ triệu đồng.

Giá đầu năm 2025 chính là giá cuối năm 2024: 2416 triệu đồng.

Chọn SAI.

b) Năm 2020 (Năm thứ nhất): Thu nhập ${I_{2020}} = 60$ triệu/năm $\Rightarrow$Tiết kiệm ${S_{2020}} = 60.0{,}5 = 30$. triệu/năm

Mức tăng lương cố định: 6 triệu/năm nên

Năm 2021: Thu nhập ${I_{2021}} = 66$ triệu/năm $\Rightarrow$Tiết kiệm ${S_{2021}} = 66.0{,}5 = 33$ triệu/năm

Năm 2022: Thu nhập ${I_{2021}} = 72$ triệu/năm $\Rightarrow$Tiết kiệm ${S_{2022}} = 72.0{,}5 = 36$ triệu/năm

Năm 2023: Thu nhập ${I_{2023}} = 78$ triệu/năm $\Rightarrow$Tiết kiệm ${S_{2023}} = 78.0{,}5 = 39$ triệu/năm

Năm 2024: Thu nhập ${I_{2021}} = 84$ triệu/năm $\Rightarrow$Tiết kiệm ${S_{2024}} = 84.0{,}5 = 42$ triệu/năm

Tổng số tiền tiết kiệm sau 5 năm (đến đầu năm 2025):

${S_T} = 30 + 33 + 36 + 39 + 42 = 180$ triệu đồng.
Thầy được gia đình hỗ trợ đúng 1400 triệu đồng.

Tổng số tiền thầy có là $1400 + 180 = 1580$.

Số tiền thầy phải vay ngân hàng là: $2416 - 1580 = 836$ triệu đồng.

Chọn SAI.

c) Ta có số tiền vay: 836 triệu đồng ; Lãi suất $r = 7\% = 0.07$, thời gian $n = 35$năm .

Số tiền trả hàng năm: $A = V.\frac{{r{{\left( {1 + r} \right)}^n}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}} = 836.\frac{{0{,}07.1,{{07}^{35}}}}{{1,{{07}^{35}} - 1}} \approx 64{,}6$ triệu/năm.

Tổng số tiền cho phương án 1:${T_1} = 64{,}6.35 \approx 2261$.

Phương án 2: Số tiền mỗi năm trả gốc đều:$\frac{{836}}{{35}} \approx 23{,}9$.

Vậy năm đầu phải trả: ${n_1} = 836.7\% + 23{,}9 = 82{,}4.$

Năm thứ $n$ là ${a_n} = 23{,}879 + 0{,}07\left[ {836 - \left( {n - 1} \right).23{,}879} \right] = 82{,}4 - 1{,}7\left( {n - 1} \right)$.

Đây là cấp số cộng với ${u_1} = 82{,}4,d = - 1{,}7$.

${S_n} = \frac{{n\left[ {2{a_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} \Rightarrow {S_{35}} = \frac{{35\left[ {2.82{,}4 + \left( {35 - 1} \right).\left( { - 1{,}7} \right)} \right]}}{2} \approx 1873$ triệu đồng.

Hai phương án chênh nhau: $2261 - 1873 = 388$.

Vậy tổng số tiền phải trả cả gốc và lãi sau 35 năm của hai phương án chênh nhau hơn 370 triệu đồng.

Chọn ĐÚNG.

d) Thu nhập năm thứ 5 là $60 + 5.6 = 90$ triệu đồng.

Thu nhập năm thứ 6 là cấp số cộng có ${u_1} = 90;d = 6 \Rightarrow {u_n} = 90 + \left( {n - 1} \right)6$.

Thâm hụt nếu tiền trả nợ cuối năm lớn hơn 50% thu nhập năm đó suy ra ngưỡng thâm hụt là

$0{,}5.{u_n} = 45 + \left( {n - 1} \right)3$

Tiền trả cố định theo phương án 1: $65$ triệu

Suy ra $65 > 45 + \left( {n - 1} \right)3 \Leftrightarrow n - 1 < 6{,}67 \Rightarrow n \le 7$.

Số năm thâm hụt theo phương án 1: 7 năm

Phương án 2: Năm đầu trả $82{,}4$ triệu

Ta có $82{,}4 - 1{,}7\left( {n - 1} \right) > 45 + \left( {n - 1} \right)3 \Leftrightarrow 82{,}4 - 1{,}7n + 1{,}7 > 45 + 3n - 3 \Leftrightarrow n < 9$.

Gọi một năm (từ 2025) là thâm hụt nếu tiền trả nợ cuối năm lớn hơn 50% thu nhập năm đó. Khi đó, số năm thâm hụt liên tiếp theo phương án 2 nhiều hơn đúng 1 năm so với phương án 1.

Chọn SAI.

Đáp án: $0$.

Lời giải chi tiết bài toán, giải chi tiết từng ý

Ta có $y' = - 44{x^3} + 8x$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \frac{{2\sqrt {11} }}{{11}}\end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$.

Đáp án: 0,75.

Cách 1:

Ta có $\overrightarrow {IB} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BK} \Rightarrow \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {BK} + {\overrightarrow {AB} ^2} = \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {BK} + {a^2}.$

Gọi $H$ là trung điểm của $DD'.$ Khi đó

$\begin{array}{l}\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {BK} & = \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {AH} = - \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AH} = - AI.AH.\cos \widehat {IAH} = - AI.AH.\frac{{A{H^2} + A{{D'}^2} - H{{D'}^2}}}{{2AH.AD'}}\\ & = - AI.AH.\frac{{A{H^2} + A{{D'}^2} - H{{D'}^2}}}{{2AH.2AI}} = - \frac{{A{H^2} + A{{D'}^2} - H{{D'}^2}}}{4}\\ & = - \frac{{A{D^2} + D{H^2} + A{{D'}^2} - H{{D'}^2}}}{4} = - \frac{{A{D^2} + A{{D'}^2}}}{4} = - \frac{{{a^2} + 2{a^2}}}{4} = - \frac{{3{a^2}}}{4}\end{array}$

Vậy $\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {AK} = - \frac{{3{a^2}}}{4} + {a^2} = \frac{1}{4}{a^2} \Rightarrow n = \frac{1}{4} = 0{,}75.$

Cách 2:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ (đơn vị trên trục là $a)$ thỏa $A(0;0;0),D(1;0;0),B(0;1;0),A'(0;0;1).$ Khi đó

$\left. \begin{array}{l}K\left( {1;1;\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AK} = \left( {1;1;\frac{1}{2}} \right)\\I\left( {\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IB} = \left( { - \frac{1}{2};1; - \frac{1}{2}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IK} = - \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} = n = 0{,}75.$

Cách 3:

Trên $B'C'$ lấy điểm $K'$ sao cho $\overrightarrow {B'K'} = \frac{3}{2}\overrightarrow {B'C'} .$ Khi đó: $\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {IK'}$

Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác $CAK,AIB,B'BK',$ ta được:

$I{K'^2} = A{K^2} = \frac{9}{4}{a^2};I{B^2} = \frac{3}{2}{a^2};BK' = \frac{{13}}{4}{a^2}.$

Khi đó:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IK'} = IB.IK'.\cos \widehat {BIK'} = IB.IK'.\frac{{I{B^2} + I{{K'}^2} - BK'}}{{2IB.IK'}}\\ & = \frac{{I{B^2} + I{{K'}^2} - B{{K'}^2}}}{2} = \frac{{\frac{3}{2}{a^2} + \frac{9}{4}{a^2} - \frac{{13}}{4}{a^2}}}{2} = \frac{1}{4}{a^2} \Rightarrow n = \frac{1}{4} = 0{,}75.\end{array}$

Điểm xuất phát: $A(10;20;50)$.

Đích đến (tâm vùng cấm): $C(130;180;260)$.

Vùng cấm bay: Là một khối cầu tâm $C$, bán kính $R = 40m$.

Hành trình: Flycam bay từ $A$ hướng về $C$ theo đường thẳng.

Điểm dừng: Flycam dừng ngay khi chạm mép vùng cấm. Gọi điểm dừng này là $M$.

Yêu cầu: Tính quãng đường bay thực tế, tức là độ dài đoạn thẳng AM.

$\overrightarrow {AC} = (120;160;210)$

$AC = \sqrt {84.100} = 290{\rm{ (m\'e t)}}$

Vì Flycam bay thẳng từ A đến C và dừng lại tại mép vùng cấm (cách tâm C một khoảng đúng bằng bán kính R), nên điểm M nằm trên đoạn AC. Quãng đường bay được sẽ bằng tổng khoảng cách AC trừ đi bán kính vùng cấm.

$AM = AC - R$

$AM = 290 - 40$

$AM = 250{\rm{ (m\'e t)}}$

Đáp án: 250

Đáp số: $1{,}14$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$sao cho gốc $O$ trùng với góc nhà xưởng, các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt nằm trên các giao tuyến của nền và hai vách tường.

Khi đó:

Mặt phẳng nền là mặt phẳng $(Oxy):z = 0$.

Vách 1 là mặt phẳng $(Oyz):x = 0$.

Vách 2 là mặt phẳng $(Oxz):y = 0$.

Tọa độ điểm $A$ là $A(0{,}75;0{,}75;0{,}45)$ (đổi đơn vị sang mét).

Gọi $M(a;0;0),N(0;b;0),P(0;0;c)$ lần lượt là giao điểm của tấm ván khuôn với các trục $Ox,{\rm{ }}Oy,{\rm{ }}Oz$$\left( {a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c > 0} \right)$.

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua tấm ván khuôn có dạng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Vì mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(0{,}75;0{,}75;0{,}45)$ nên ta có: $\frac{{0{,}75}}{a} + \frac{{0{,}75}}{b} + \frac{{0{,}45}}{c} = 1$

Thể tích khối bê tông dạng tứ diện $OMNP$là $V = \frac{1}{6}abc$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dươn g$\frac{{0{,}75}}{a};\frac{{0{,}75}}{b};\frac{{0{,}45}}{c}$

Ta có $1 = \frac{{0{,}75}}{a} + \frac{{0{,}75}}{b} + \frac{{0{,}45}}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{0{,}75 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}45}}{{abc}}}}$

$\Rightarrow 1 \ge 27 \cdot \frac{{0{,}253125}}{{abc}}$$\Rightarrow abc \ge 27 \cdot 0{,}253125 = 6{,}834375$

Suy ra thể tích khối tứ diện: $V = \frac{1}{6}abc \ge \frac{1}{6} \cdot 6{,}834375 = 1{,}1390625$

Giá trị nhỏ nhất của thể tích là ${V_{min}} = 1{,}1390625{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}$.

Làm tròn đến hàng phần trăm ta được $1{,}14{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}$.

Đáp án: $6300$.

Truờng hợp 1: $1 \le x \le 100$,

Hàm lợi nhuận $f\left( x \right) = 120x - 0{,}2{x^2} - 1000 - 50x = 70x - 0{,}2{x^2} - 1000$

$f'\left( x \right) = 70 - 0{,}4x = 0 \Leftrightarrow x = 175$ Vì $x = 175 \notin [1;100]$

$$f\left( 1 \right) = - 930{,}2;f\left( {100} \right) = 4000$$

Nên lợi nhuận sau thuế nhà máy đạt $4000 - 4000.10\% = 3600$ triệu đồng

Truờng hợp 2: $x > 100$,

Hàm lợi nhuận $f\left( x \right) = 120x - 0{,}2{x^2} - 1000 - 40x = 80x - 0{,}2{x^2} - 1000$

$$f'\left( x \right) = 80 - 0{,}4x = 0 \Leftrightarrow x = 200,f\left( {100} \right) = 5000;f\left( {200} \right) = 7000;f\left( {350} \right) = 2500$$

Suy ra lợi nhuận sau thuế nhà máy lớn nhất đạt $7000 - 7000.10\% = 6300$ triệu đồng.

Đáp án: $7560$.

Tập hợp độ dài dây treo là $S = \left\{ {1;2;3; \ldots ;9} \right\}$ (chục cm).

Số phần tử không gian mẫu $n\left( \Omega \right) = A_9^6 = 60480$.

Để chiều dài dây treo của đèn ở giữa bằng trung bình cộng chiều dài dây treo của hai đèn ở hai đầu mút cạnh đó thì chiều dài dây treo đèn ở các đỉnh $A$, $B$, $C$ phải cùng tính chẵn lẻ (để chiều dài dây treo tại các vị trí $M$, $N$, $P$ là một số thuộc tập $S$).

Hơn nữa, chiều dài các dây treo tại các vị trí $A$, $B$, $C$ phải không tạo thành cấp số cộng (vì nếu $A + C = 2B$ thì $B = P$).

TH1: $A$, $B$, $C$ cùng chẵn, tức thuộc tập hợp $\left\{ {2;4;6;8} \right\}$.

Bỏ các bộ $A$, $B$, $C$ lập thành cấp số cộng, ta có $2$ bộ $A$, $B$, $C$ thỏa mãn là $\left\{ {2;4;8} \right\}$, $\left\{ {2;6;8} \right\}$.

Với mỗi bộ, có $3!$ cách sắp xếp.

Khi đó trường hợp này có $2 \cdot 3!$ cách sắp xếp.

TH2: $A$, $B$, $C$ cùng lẻ, tức là thuộc tập hợp $\left\{ {1;3;5;7;9} \right\}$.

Bỏ các bộ $A$, $B$, $C$ lập thành cấp số cộng, ta có $6$ bộ $A$, $B$, $C$ thỏa mãn là $\left\{ {1;3;7} \right\}$, $\left\{ {1;3;9} \right\}$, $\left\{ {1;5;7} \right\}$,$\left\{ {1;7;9} \right\}$$\left\{ {3;5;9} \right\}$, $\left\{ {3;7;9} \right\}$.

Với mỗi bộ, có $3!$ cách sắp xếp.

Khi đó trường hợp này có $6 \cdot 3!$ cách sắp xếp.

Do đó $p = \frac{{2 \cdot 3! + 6 \cdot 3!}}{{60480}} = \frac{1}{{1260}}$.

Vậy $\frac{6}{p} = \frac{6}{{\frac{1}{{1260}}}} = 7560$.