Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Mường Lát (Thanh Hóa) lần 2 có đáp án

Chọn A

Ta có $d:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 - 3t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.$, với $t = 0$ suy ra $M(2; - 1;3) \in d$.

Chọn C

Ta có $S = \int\limits_0^2 {\left| {{{2026}^x}} \right|} {\mkern 1mu} dx = \int\limits_0^2 {{{2026}^x}} {\mkern 1mu} dx$.

Chọn C

Ta có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q):2x - y + 4z - 5 = 0$ là ${\vec n_1} = (2; - 1;4)$.

Theo quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow {CA'} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CC'}$ và $\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'}$ nên các mệnh đề ở phương án A và B là các mệnh đề đúng.

Theo quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow {BD'} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'}$ nên mệnh đề C sai.

Theo quy tắc hình ta có: $\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD}$ nên mệnh đề B đúng.

Chọn C

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = {u_1}{q^2} = 2\\{u_6} = {u_1}{q^5} = 16\end{array} \right. \Rightarrow {q^3} = 8 \Rightarrow q = 2$.

Chọn C

Ta có: ${\log _2}x = 3 \Leftrightarrow x = {2^3} \Leftrightarrow x = 8$.

Chọn D

Ta có: ${3^x} \ge \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow x \ge {\log _3}\frac{1}{{27}} \Leftrightarrow x \ge - 3$.

Chọn C

Ta có: $\int {f(x){\rm{d}}x = } \int {\cos 2x{\rm{d}}x = \frac{1}{2}\sin 2x + C}$.

Chọn C

Ta có:

$\bar x = \frac{{19{,}25.13 + 19{,}75.45 + 20{,}25.24 + 20{,}75.12 + 21{,}25.6}}{{100}} =$20,015

Phương sai

${s^2} = \frac{{{{19{,}25}^2}.13 + {{19{,}75}^2}.45 + {{20{,}25}^2}.24 + {{20{,}75}^2}.12 + {{21{,}25}^2}.6}}{{100}} - {\left( {20{,}015} \right)^2} \approx 0{,}28$

Chọn B

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$.

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2 \Rightarrow y = 2$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

a) Sai.

Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2x + 3} \right)dx} = {x^2} + 3x + C$.

$F\left( 1 \right) = 2 \Leftrightarrow {1^2} + 3.1 + C = 2 \Rightarrow C = - 2$.

Vậy, $F\left( x \right) = {x^2} + 3x - 2$.

b) Đúng.

Ta có

$\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_5^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_5^2 {f\left( x \right)dx}$

$= \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx}$ $= \int\limits_{ - 1}^5 {f\left( x \right)dx} = 42$

c) Sai.

Diện tích hình phẳng cần tìm là: $S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {2x + 3} \right|dx} = \frac{{13}}{2}$.

d) Đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm: $2x + 3 = {x^2} - 2x + 6 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.$.

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là: $V = \pi \int\limits_1^3 {\left| {{{\left( {{x^2} + 3x - 2} \right)}^2}} \right|dx} = \frac{{2576\pi }}{{15}}$.

Tại thời điểm xuất phát, khinh khí cầu ở độ cao $520$ m vậy nên $h\left( 0 \right) = 520$m

b) Sai

Độ cao của khinh khí cầu tại thời điểm $t\left( {0 \le t \le 29} \right)$ là $h\left( t \right) = 520 + \int\limits_0^t {v\left( t \right){\rm{d}}t} .$

c) Đúng

$h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt = \frac{{a{t^3}}}{3} + \frac{{b{t^2}}}{2} + C}$

Có hệ ba phương trình ba ẩn:$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}h\left( 0 \right) = 520\\h\left( 5 \right) = 530\\h\left( {15} \right) = 520\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 520\\\frac{{125}}{3}a + \frac{{25}}{2}b + C = 530\\\frac{{{{15}^3}}}{3}a + \frac{{{{15}^2}}}{2}b + C = 520\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{3}{{25}}\\b = \frac{6}{5}\\C = 520\end{array} \right. \Rightarrow h\left( t \right) = - \frac{1}{{25}}{t^3} + \frac{3}{5}{t^2} + 520\\ \Rightarrow v\left( t \right) = - \frac{3}{{25}}{t^2} + \frac{6}{5}t\end{array}$

Xét $v\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow 0 < t < 10$ vậy nên giai đoạn khinh khí cầu tăng độ cao kéo dài trong $10$ phút kể từ thời điểm xuất phát là đúng

d) Đúng

Xét $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 10\end{array} \right.$

Với $h\left( 0 \right) = 520$, $h\left( {10} \right) = 540$ nên độ cao tối đa của khinh khí cầu là $540$ m là đúng

Gọi $A$ là biến cố “Học sinh mua mô tô” suy ra: $\overline A$ là biến cố “Học sinh mua búp bê”

Gọi $B$ là biến cố “ Học sinh nam mua” suy ra: $\overline B$ là biến cố “ Học sinh nữ mua”

a) Đúng vì $P\left( A \right) = \frac{{140}}{{140 + 60}} = 0{,}7$

b) Sai vì $P\left( {\overline B |A} \right) = 0{,}4$.

c) Sai vì $P\left( {B|A} \right) = 0{,}6$

d) Đúng vì $P\left( B \right) = P\left( {B|A} \right).P\left( A \right) + P\left( {B|\overline A } \right).P\left( {\overline A } \right) = 0{,}6.0{,}7 + 0{,}2.0{,}3 = 0{,}48$

$$n\left( B \right) = 0{,}48.200 = 96$$

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

a) Sai. Vì $\frac{{ - 7 - 7}}{3} \ne \frac{0}{1}$ nên đường thẳng ${\Delta _2}$ không đi qua $M\left( { - 7;0;1} \right)$.

b) Đúng. Vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${\Delta _1}$.

c) Đúng. Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm $B\left( {3;0;3} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right)$ nên có phương trình chính tắc là $\frac{{x - 3}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}$.

d) Đúng. Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm $B\left( {3;0;3} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;2} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm $N\left( {7;0; - 1} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;1; - 1} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {BN} = \left( {4;0; - 4} \right)$ và $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 1;7;4} \right)$.

Vì $\overrightarrow {BN} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 4.\left( { - 1} \right) + 0.7 + \left( { - 4} \right).4 = - 20 \ne 0$ nên ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.

Vậy: Nút giao thông trên là nút giao thông khác mức.

Trả lời: 9

Để số tiền người đó nhận được nhiều hơn $130$ triệu đồng bao gồm gốc và lãi thì:

$130{\rm{ }} < 100{\rm{ }}{\left( {1 + 3\% } \right)^n}$$\Leftrightarrow n > {\log _{1{,}03}}1{,}3$$\approx 8{,}9$.

Vậy sau ít nhất $9$ quý người đó nhận được số tiền nhiều hơn $130$ triệu đồng bao gồm gốc và lãi.

Trả lời: 48

Gọi hai số liệu còn lại là $a$ và $b$. Theo đề bài,

Trung bình cộng $\overline x = \frac{{2 + 4 + 10 + 12 + 14 + a + b}}{7} = 8 \Rightarrow 42 + a + b = 56 \Rightarrow a + b = 14 \ldots (i){\rm{ }}$

và phương sai ${s^2} = \frac{{{a^2} + {b^2} + 4 + 16 + 100 + 144 + 196}}{7} - {8^2} = 16$ $\Rightarrow \frac{{{a^2} + {b^2} + 460}}{7} - 64 = 16 \Rightarrow \frac{{{a^2} + {b^2} + 460}}{7} = 80 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + 460 = 560 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 100 \ldots (ii)$

Ta có ${(a+b)}^{2}=({a}^{2}+{b}^{2})+2ab\overset{(i),(ii)}{\rightarrow }{14}^{2}=100+2ab\Rightarrow 196=100+2ab\Rightarrow 2ab=96\Rightarrow ab=48$

Trả lời: -6

Để vận động viên có bắn trúng hồng tâm thì trục $d$ phải đi qua hồng tâm.

Ta thay điểm $A\left( {8; - 19;6m + 4} \right)$vào phương trình d:

$\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{{ - 5}} \Leftrightarrow \frac{{8 - 1}}{1} = \frac{{ - 19 - 2}}{{ - 3}} = \frac{{6m + 4 - 3}}{{ - 5}} = 7 \Leftrightarrow 6m = - 36 \Leftrightarrow m = - 6$.

Vậy $m = - 6$ thì vận động viên bắn trúng hồng tâm.

Đáp số: 0,53

Gọi $A$ là các biến cố “Học sinh được gặp là học sinh nam”

Gọi $B$ là biến cố “Học sinh đó tham gia câu lạc bộ Toán học trong nhà trường”

$P\left( A \right) = \frac{{21}}{{45}}$, $P\left( {\overline A } \right) = \frac{{24}}{{45}}$.

$P\left( {B|A} \right) = 0{,}14$; $P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}11$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần

$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$$= \frac{{21}}{{45}}.0{,}14 + \frac{{24}}{{45}}.0{,}11 = \frac{{31}}{{250}}$

Xác suất để học sinh đó là nam, biếtsrL| rằng học sinh đó tham gia câu lạc bộ Toán học, ta áp dụng công thức Bayes:

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}$$= \frac{{\frac{{21}}{{45}}.0{,}14}}{{\frac{{31}}{{250}}}} = \frac{{49}}{{93}} \approx 0{,}53$.

Trả lời: 128

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau

Ta có $A(0;22{,}5),B(80;22{,}5),C(40;2{,}5)$

Gọi $S$ là tọa độ đỉnh của parabol chứa đường cong $AC$ thì $S\left( {30;0} \right)$

- Mép miệng (trên):${y_{{\rm{tr\^e n }}}} = 22{,}5$.

- Đáy - parabol (đường cong $AC$) ($0 \to 40$): đỉnh $S(30;0)$, ${y_1}(x) = \frac{{{{(x - 30)}^2}}}{{40}},0 \le x \le 40.$

- Đáy - đoạn thẳng $BC$ $(40 \to 80)$: qua $(40;2{,}5)$ và $B(80;22{,}5)$${y_2}(x) = \frac{1}{2}x - 17{,}5{,}40 \le x \le 80.$

Diện tích tiết diện chứa $A = \int_0^{40} {\left( {22{,}5 - {y_1}(x)} \right)} dx + \int_{40}^{80} {\left( {22{,}5 - {y_2}(x)} \right)} dx = \frac{{2000}}{3} + 400 = \frac{{3200}}{3}$

Thể tích gầu (chiều dài 120 cm): $V = A \cdot 120 = \frac{{3200}}{3} \cdot 120 = 128000\;c{m^3} = 128{\rm{ l\'i t}}{\rm{. }}$

Trả lời: 5

Mặt cầu $(S)$ có phương trình

${(x - 22)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 13)^2} = 194$

nên có tâm $I(22;4;13)$ và bán kính $R = \sqrt {194}$.

Trong không gian Oxyz, mặt sân có phương trình $z = 0$ trùng với mặt phẳng toạ độ $(Oxy)$, suy ra hình chiếu vuông góc của điểm $I(22;4;13)$ xuống mặt sân có toạ độ $J(22;4;0)$.

Trong tam giác vuông IJM, ta có $IJ = 13,IM = {\rm{R = }}\sqrt {194}$, suy ra

$JM = \sqrt {I{M^2} - I{J^2}} = \sqrt {194 - 169} = 5$

Vậy khoảng cách từ vị trí $M$ của quả bóng đến điểm $J$ là 5 m.