Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Chuyên Đại học Vinh lần 1 có đáp án

Chọn B

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( { - 1;4;6} \right)$nhận $\overrightarrow u (3; - 2;7)$làm véctơ chỉ phương có phương trình là $\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 4}}{{ - 2}} = \frac{{z - 6}}{7}$.

Chọn A

Công thức xác suất có điều kiện của biến cố $A$ khi biết biến cố $B$ đã xảy ra là $P\left( {A\left| B \right.} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}$

Chọn D

Ta có ${u_4} = {u_1}.{q^3} \Rightarrow {q^3} = \frac{{{u_4}}}{{{u_1}}} = 8$. Suy ra $q = 2$.

Chọn A

Số phần tử của mẫu là $n = 35$.

Ta có: $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.35}}{4} = 26{,}25$mà $20 < 26{,}25 < 30$. Suy ra nhóm $3$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $26{,}25$. Xét nhóm $3$ là nhóm $\left[ {8;9} \right)$có$s = 8$;$h = 1$; ${n_3} = 10$ và tần số tích lũy nhóm trước là $c{f_2} = 20$.

Khi đó, tứ phân vị thứ ba là ${Q_3} = 8 + \frac{{26{,}25 - 20}}{{10}}.1 = 8{,}63$.

Chọn C

Điều kiện: $3 - x > 0 \Leftrightarrow x < 3$.

Tập xác định của hàm số: $D = \left( { - \infty ;\,3} \right)$.

Chọn A

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $2x - 2y + z = 0$.

Khoảng cách từ điểm $M\left( {3;\, - 1;\,1} \right)$ đến $\left( P \right)$ bằng $d\left( {M,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3 - 2.\left( { - 1} \right) + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = 3$.

Chọn A

Theo bài ra $\int\limits_{ - 2}^1 {f'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 3 \Leftrightarrow f\left( x \right)\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1\\{ - 2}\end{array} = 3 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) - f\left( { - 2} \right) = 3} \right.$. $\left( 1 \right)$

$S = \frac{5}{5} \Leftrightarrow - \int\limits_1^3 {f'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{5}{5} \Leftrightarrow - \left( {f\left( 3 \right) - f\left( 1 \right)} \right) = \frac{5}{5}$.

$\Leftrightarrow f\left( 1 \right) - f\left( 3 \right) = \frac{5}{3}$. $\left( 2 \right)$

Lấy $\left( 1 \right)$ trừ $\left( 2 \right)$ ta được: $f\left( 3 \right) - f\left( { - 2} \right) = \frac{4}{3}$.

Chọn D

Ta có: $\cot x = \cot \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi |k \in \mathbb{Z}$.

Chọn D

Ø M là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AM}$

Ø $N$ là trung điểm của $CD$$\Rightarrow$ $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AN}$.

Ø $O$ là trung điểm của $MN$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AM} + 2\overrightarrow {AN} = 2\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} } \right) = 4\overrightarrow {AO}$.

Chọn C.

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$$\Rightarrow \left( {MC{B_1}} \right){\rm{ // }}\left( {D{A_1}{C_1}} \right)$ $\Rightarrow M{B_1}{\rm{ // }}\left( {D{A_1}{C_1}} \right)$.

Chọn A.

Tam giác $ABC$ có:

Ø $AB = BC.\cos \widehat {ABC} = 2a.\cos {60^0} = a$.

Ø $AC = BC.\sin \widehat {ABC} = 2a.\sin {60^0} = a\sqrt 3$.

Ø ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}a.a\sqrt 3 = \frac{1}{2}{a^2}\sqrt 3$.

Vậy: ${V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = 2a\sqrt 3 .\frac{1}{2}{a^2}\sqrt 3 = 3{a^3}$.

Chọn A.

Ta có: $\int {f(x)dx} = \int {\left( {2\sin x + 1} \right)dx} = - 2\cos x + x + C$.

a) Thế $x = 1,y = 2$ vào hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}1 + 2 \le 4\\2.1 - 2 \ge 1\end{array} \right.$. Ta thấy không thỏa mãn.

b) Dựa vào hình vẽ $\left( S \right)$ là một miền tam giác.

c) Gọi ${d_1}:x + y = 4,{\rm{ }}{d_2}:2x - y = 1$

Khi đó $M = {d_1} \cap Ox \Rightarrow M\left( {4;0} \right)$, $N = {d_1} \cap {d_2} \Rightarrow N\left( {\frac{5}{3};\frac{7}{3}} \right)$, $P = {d_2} \cap Ox \Rightarrow P\left( {\frac{1}{2};0} \right)$

Mặt khác $\overrightarrow {MN} = \left( { - \frac{7}{3};\frac{7}{3}} \right) \Rightarrow MN = \frac{{7\sqrt 2 }}{3}$; $\overrightarrow {NP} = \left( { - \frac{7}{6}; - \frac{7}{3}} \right) \Rightarrow NP = \frac{{7\sqrt 5 }}{6}$; $\overrightarrow {MP} = \left( { - \frac{7}{2};0} \right) \Rightarrow MP = \frac{7}{2}$

Do đó $p = \frac{{MN + MP + NP}}{2} = \frac{{14\sqrt 2 + 7\sqrt 5 + 21}}{{12}}$.

$$S = \sqrt {p\left( {p - MN} \right)\left( {p - MP} \right)\left( {p - NP} \right)} = \frac{{49}}{{12}}$$

d) Ta có $P\left( {4;0} \right) = 4 + 2.0 = 4$; $P\left( {\frac{5}{3};\frac{7}{3}} \right) = \frac{5}{3} + 2.\frac{7}{3} = \frac{{19}}{3}$; $P\left( {\frac{1}{2};0} \right) = \frac{1}{2} + 2.0 = \frac{1}{2}$.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $P = x + 2y$ trên miền $\left( S \right)$ bằng $\frac{{19}}{3}$

Số bao lì xì 10 nghìn đồng là: $40 - 12 - 10 = 18$ (bao)

Gọi $A,B,C$ lần lượt là các biến cố: “Bạn An, Bình, Chi bốc được bao lì xì 10 nghìn đồng”.

a) Đúng

Ta có: $P\left( A \right) = \frac{{18}}{{40}} = 0{,}45$.

b) Đúng

Nếu An bốc được bao lì xì 10 nghìn đồng thì: $P\left( {B|A} \right) = \frac{{17}}{{39}}$

Nếu An không bốc được bao lì xì 10 nghìn đồng thì: $P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{18}}{{39}}$

Xác suất để An không bốc được bao lì xì 10 nghìn đồng là: $P\left( {\overline A } \right) = \frac{{22}}{{40}} = \frac{{11}}{{20}}$

Vậy xác suất để Bình bốc được bao lì xì 10 nghìn đồng là:

$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{9}{{20}}.\frac{{17}}{{39}} + \frac{{11}}{{20}}.\frac{{18}}{{39}} = \frac{9}{{20}} = 0{,}45$.

c) Đúng

Xác suất để cả An và Bình đều bốc được bao lì xì 10 nghìn đồng là: $P\left( {AB} \right) = 0{,}45.\frac{{17}}{{39}} = \frac{{51}}{{260}}$

Suy ra: $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{{51}}{{260}}}}{{0{,}45}} = \frac{{17}}{{39}} \approx 0{,}44$.

d) Đúng

Ta có: $P\left( {\overline B |\overline A } \right) = \frac{{21}}{{39}} = \frac{7}{{13}}$, $P\left( {\overline C |\overline A \overline B } \right) = \frac{{20}}{{38}} = \frac{{10}}{{19}}$

Xác suất để cả ba bạn đều không bốc được bao lì xì 10 nghìn đồng là:

$$P\left( {\overline {ABC} } \right) = \frac{{11}}{{20}}.\frac{7}{{13}}.\frac{{10}}{{19}} = \frac{{77}}{{494}}$$

Vậy xác suất để có ít nhất một bạn bốc được bao lì xì 10 nghìn đồng là:

$1 - \frac{{77}}{{494}} = \frac{{417}}{{494}} \approx 0{,}84$.

a) Véc tơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là ${\vec u_1} = \overrightarrow {AB} = \left( { - 3;2;1} \right)$

Véc tơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là ${\vec u_2} = \left( {2;3; - 5} \right)$ và điểm $D\left( {2;3; - 4} \right) \in d.$

Do 2 véc tơ ${\vec u_1},\,{\vec u_2}$ không cùng phương nên $AB,\,\,d$ chéo nhau hoặc cắt nhau.

Lại có $\overrightarrow {AD} = \left( {3; - 1; - 8} \right),\,\,[{\vec u_1},\,{\vec u_2}] = \left( { - 13; - 13; - 13} \right),\,\,[{\vec u_1},\,{\vec u_2}].\overrightarrow {AD} = 78 \ne 0$ nên 3 véc tơ ${\vec u_1},\,{\vec u_2},\,\,\overrightarrow {AD}$ không đồng phẳng $\Rightarrow AB$ và $d$ chéo nhau.

Trả lời: Đúng

b) Gọi $\varphi$ là góc giữa $AB$ và $d$, ta có $\cos \varphi = \frac{{|{{\vec u}_1}.\,{{\vec u}_2}|}}{{\left| {{{\vec u}_1}} \right|\,.\left| {{{\vec u}_2}} \right|}} = \frac{{| - 6 + 6 - 5|}}{{\sqrt {14} .\sqrt {38} }} = \frac{5}{{\sqrt {14} .\sqrt {38} }} \ne \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi \ne {60^0}.$

Trả lời: Sai

c) Ta có $AB = \sqrt {14} ,\,\,{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C,AB} \right)$ trong đó $d\left( {C,AB} \right)$ là khoảng cách từ $C$ đến $AB.$

Do $AB$ không đổi nên ${S_{ABC}}\,\min$ khi $d\left( {C;AB} \right)\,\min = d\left( {d;AB} \right) = \frac{{\left| {[{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{|[{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}]|}} = \frac{{78}}{{13\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3$.

Vậy $\min {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {d,AB} \right) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt {14} \cdot 2\sqrt 3 = \sqrt {42} .$

Trả lời: Đúng

d) Gọi $\Delta$ là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng $AB$ và $d$

$\Rightarrow {\vec u_\Delta }$ cùng phương với $\,[{\vec u_1},\,{\vec u_2}] = \left( { - 13; - 13; - 13} \right) = - 13\left( {1;1;1} \right)$. Chọn ${\vec u_\Delta } = \left( {1;1;1} \right)$.

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $\Delta$ và $AB \Rightarrow {\vec n_P} = [{\vec u_\Delta },\,\overrightarrow {AB} ] = \left( { - 1; - 4;5} \right)$

Phương trình $(P):\,\,x + 4y - 5z + 5 = 0$

Gọi $N$ là giao điểm của $(P)$ và $d \Rightarrow N\left( {0;0;1} \right)$

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $N$ và có véc tơ chỉ phương ${\vec u_\Delta } = \left( {1;1;1} \right)$, ta có $\overrightarrow {MN} = \left( {3;3;3} \right) = 3{\vec u_\Delta }$nên $M \in \Delta .$

Trả lời: Đúng

a) $f\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{x + 4}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {3x + 1} \right)}^\prime }\left( {x + 4} \right) - {{\left( {x + 4} \right)}^\prime }\left( {3x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} = \frac{{11}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}$.

Vậy a) Đúng.

b) $f'\left( x \right) = \frac{{11}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 4$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f\left( {{x_1}} \right) > 3$và $f\left( {{x_2}} \right) < 3$ nên $f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$

Vậy b) Sai.

c) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x = - 4$ và đường tiệm cận ngang là $y = 3$nên giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là $\left( { - 4;3} \right)$.

Vậy c) Sai.

d) $f'\left( x \right) = \frac{{11}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right]$

$f\left( 0 \right) = \frac{1}{4};\,f\left( 1 \right) = \frac{4}{5}$.

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ bằng $\frac{1}{4}$.

Vậy d) Đúng.

Đáp án: 4,24

Gọi ${A_k}$ là biến cố: “Bắt được $k$con dê trắng từ chuồng A sang chuồng B” với $k \in \left\{ {0{,}1{,}2{,}3} \right\}$.

$T$ là biến cố: “Bắt được 2 con dê trắng từ chuồng B sau khi chuyển từ chuồng A sang”

TH1: $k = 3$ (3 con dê trắng).

Xác suất của biến cố ${A_3}$ là: $P({A_3}) = \frac{{C_9^3}}{{C_{17}^3}} = \frac{{21}}{{170}}$

Khi đó chuồng B có 8 con dê trắng và 6 con dê đen, xác suất bắt được 2 con dê trắng là $\frac{{C_8^2}}{{C_{14}^2}} = \frac{4}{{13}}$

TH2: $k = 2$ (2 con dê trắng, 1 con dê đen)

Xác suất của biến cố ${A_2}$ là: $P({A_2}) = \frac{{C_9^2.C_8^1}}{{C_{17}^3}} = \frac{{36}}{{85}}$

Khi đó chuồng B có 7 con dê trắng và 7 con dê đen, xác suất bắt được 2 con dê trắng là $\frac{{C_7^2}}{{C_{14}^2}} = \frac{3}{{13}}$

TH3: $k = 1$ (1 con dê trắng, 2 con dê đen)

Xác suất của biến cố ${A_1}$ là: $P({A_1}) = \frac{{C_9^1.C_8^2}}{{C_{17}^3}} = \frac{{63}}{{170}}$

Khi đó chuồng B có 6 con dê trắng và 8 con dê đen, xác xuất bắt được 2 con dê trắng là $\frac{{C_6^2}}{{C_{14}^2}} = \frac{{15}}{{91}}$

TH4: $k = 0$ (3 con dê đen)

Xác suất của biến cố ${A_0}$ là: $P({A_0}) = \frac{{C_8^3}}{{C_{17}^3}} = \frac{7}{{85}}$

Khi đó chuồng B có 5 con dê trắng và 9 con dê đen, xác xuất bắt được 2 con dê trắng là $\frac{{C_5^2}}{{C_{14}^2}} = \frac{{10}}{{91}}$

Như vậy xác suất bắt được 2 con dê trắng từ chuồng B sau khi chuyển từ chuồng A sang là: $P(T) = \frac{{21}}{{170}}.\frac{4}{{13}} + \frac{{36}}{{85}}.\frac{3}{{13}} + \frac{{63}}{{170}}.\frac{{15}}{{91}} + \frac{7}{{85}}.\frac{{10}}{{91}} = \frac{7}{{34}}$

Xác suất bắt được 2 con dê trắng đều là dê chuyển từ chuồng A sang là: $\frac{{\frac{{21}}{{170}}.\frac{{C_3^2}}{{C_{14}^2}} + \frac{{36}}{{85}}.\frac{{C_2^2}}{{C_{14}^2}}}}{{\frac{7}{{34}}}} \approx 0{,}0423861$ hay 4,24%.

Đáp án: 78

Một đa giác đều có $k$ đỉnh có thể được tạo thành từ các đỉnh của một đa giác đều $n$ đỉnh nếu và chỉ nếu:

1. $k$ là ước số của $n$ ($n$ chia hết cho $k$).

2. $k \ge 3$ (vì đa giác phải có ít nhất 3 đỉnh).

Nếu $k$ thỏa mãn các điều kiện trên, số lượng đa giác đều $k$ đỉnh có thể tạo ra là: $\frac{n}{k}$.

Tập hợp các ước số của 60 là: $\{ 1{,}2{,}3{,}4{,}5{,}6{,}10{,}12{,}15{,}20{,}30{,}60\}$.

Ta loại bỏ ước số 1 và 2 vì đa giác phải có từ 3 đỉnh trở lên.

Các giá trị $k$ hợp lệ là: $\{ 3{,}4{,}5{,}6{,}10{,}12{,}15{,}20{,}30{,}60\}$.

Ta lấy 60 chia cho số đỉnh $k$ để ra số lượng đa giác:

· $k = 3$ (Tam giác đều): $\frac{{60}}{3} = 20$ hình.

· $k = 4$ (Hình vuông): $\frac{{60}}{4} = 15$ hình.

· $k = 5$ (Ngũ giác đều): $\frac{{60}}{5} = 12$ hình.

· $k = 6$ (Lục giác đều): $\frac{{60}}{6} = 10$ hình.

· $k = 10$ (Thập giác đều): $\frac{{60}}{{10}} = 6$ hình.

· $k = 12$ (Thập nhị giác đều): $\frac{{60}}{{12}} = 5$ hình.

· $k = 15$: $\frac{{60}}{{15}} = 4$ hình.

· $k = 20$: $\frac{{60}}{{20}} = 3$ hình.

· $k = 30$: $\frac{{60}}{{30}} = 2$ hình.

· $k = 60$ (Chính đa giác ban đầu): $\frac{{60}}{{60}} = 1$ hình.

Tổng số đa giác đều là:$20 + 15 + 12 + 10 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 78$.

Có tất cả 78 đa giác đều có các đỉnh là một trong các đỉnh của đa giác đều 60 đỉnh đã cho.

Đáp án: 156

Gọi độ dài cạnh đáy là $a$ và chiều cao $h$.

Ta có $V = \frac{1}{3}{a^2}.h = 18 \Rightarrow {a^2}.h = 54 \Rightarrow h = \frac{{54}}{{{a^2}}}$

Khi đó độ dài các cạnh bên là $\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{2}}$.

Chiều cao của các mặt bên là $\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}$

Diện tích bốn mặt bên là $S = 4.\frac{1}{2}.a\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = a\sqrt {4{h^2} + {a^2}}$.

Số tiền cần để làm một cái lều là $T = 500.a\sqrt {4{h^2} + {a^2}} = 500a.\sqrt {4.\frac{{{{54}^2}}}{{{a^4}}} + {a^2}} = 500\sqrt {\frac{{{{54}^2}.4}}{{{a^2}}} + {a^4}} = 500\sqrt {\frac{{5832}}{{{a^2}}} + \frac{{5832}}{{{a^2}}} + {a^4}}$$T \ge 500.\sqrt {3\sqrt[3]{{\frac{{5832}}{{{a^2}}}.\frac{{5832}}{{{a^2}}}.{a^4}.}}} = 500.\sqrt {972} = 9000\sqrt 3$.

Vậy số tiền ít nhất làm 1 cái lều là $9000\sqrt 3 \approx 15588$ nghìn đồng.

Số tiền ít nhất cần trả cho 10 cái lều là $\approx 156$ triệu đồng.

Đáp án: 0,74

Gọi ${R_1}$ là bán kính trong và ${R_2}$ là bán kính ngoài của chiếc phao. Theo đề bài, ta có ${R_1} = 25{\rm{ cm}}$ và ${R_2} = 35{\rm{ cm}}$.

Chiếc phao có dạng một hình xuyến được tạo thành khi quay một hình tròn bán kính $r$ quanh một trục nằm trong mặt phẳng chứa hình tròn và không cắt hình tròn đó.

Bán kính của mặt cắt ngang chiếc phao (bán kính hình tròn nhỏ) là: $r = \frac{{{R_2} - {R_1}}}{2} = \frac{{35 - 25}}{2} = 5{\rm{ cm}}$

Khoảng cách từ tâm chiếc phao đến tâm của mặt cắt ngang (bán kính đường tròn trung bình) là:

$R = \frac{{{R_1} + {R_2}}}{2} = \frac{{35 + 25}}{2} = 30{\rm{ cm}}$

Thể tích của chiếc phao

$V = 3{,}1416.\int\limits_{ - 5}^5 {\left[ {{{\left( {30 + \sqrt {25 - {x^2}} } \right)}^2} - {{\left( {30 - \sqrt {25 - {x^2}} } \right)}^2}} \right]} \,dx = 14804{,}44{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}$

Khối lượng của chiếc phao tính theo đơn vị gam là: ${m_{gam}} = V \cdot D = 14804{,}44 \cdot 0{,}05 \approx 740{,}22{\rm{ g}}$

Đổi khối lượng sang đơn vị kg: ${m_{kg}} = \frac{{740{,}22}}{{1000}} \approx 0{,}74{\rm{ kg}}$.

Đáp án: $30$

Kẻ $BH \bot SC,HE \bot SC,E \in AC,H \in SC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {A,SC,B} \right] = \widehat {BHE}\\SC \bot \left( {BHE} \right)\end{array} \right.$

Suy ra $SC \bot BE$ mà vuông tại E.

$$\begin{array}{l}SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt 7 ,AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.c{\rm{os}}{{135}^0}} = \sqrt {10} \\SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {15} \end{array}$$

$${p_{\Delta SBC}} = \frac{{\sqrt 7 + \sqrt {15} + 2}}{2},{S_{\Delta SBC}} = \sqrt {{p_{\Delta SBC}}\left( {{p_{\Delta SBC}} - \sqrt 7 } \right)\left( {{p_{\Delta SBC}} - \sqrt {15} } \right)\left( {{p_{\Delta SBC}} - 2} \right)} = \sqrt 6$$

$$BH = \frac{{2{S_{\Delta SBC}}}}{{SC}} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5}$$

$BE = \frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{AC}} = \frac{{2.\frac{1}{2}.AB.BC.\sin 135^\circ }}{{AC}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}$.

$\sin \widehat {BHE} = \frac{{BE}}{{BH}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {BHE} = 30^\circ \Rightarrow m = 30$.

Đáp án: 13.

Hàm doanh thu: $R\left( x \right) = x \times p\left( x \right) = 120x - 2{x^2}$.

Hàm chi phí: $C\left( x \right) = 300 + 60x + 0{,}2{x^2} + 0{,}01{x^3}$.

Hàm lợi nhuận: $\pi \left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = - 0{,}01{x^3} - 2{,}2{x^2} + 60x - 300$

$\Rightarrow \pi '\left( x \right) = - 0{,}03{x^2} - 4{,}4x + 60 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 12{,}56 \in \left( {0;30} \right]\\x \approx - 159{,}23 \notin \left( {0;30} \right]\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên:

Vậy lợi nhuận doanh nghiệp thu được là lớn nhất khi bán được $13$ nghìn sản phẩm.