Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở Quảng Trị-Đà Nẵng có đáp án

Chọn B

$f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

Hàm số có 1 cực trị.

Chọn A

$\int\limits_1^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3 - 1 = 2$.

Chọn A

Hàm số xác định khi $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$.

Chọn D

Có $1$ mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$.

Chọn D

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{AB \bot SA}\\{AB \bot AD}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right)$.

Chọn D

$\sin x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right.$.

Nghiệm dương nhỏ nhất $\frac{{4\pi }}{3}$ và nghiệm âm lớn nhất $- \frac{\pi }{3}$.

Tổng hai nghiệm này là $\frac{{4\pi }}{3} + \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = \pi$.

Chọn A

Ta có: ${u_{20}} = {u_1} + 19d = - 1 + 19.3 = 56$.

Vậy ${S_{20}} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_{20}}} \right).20}}{2} = \frac{{\left( { - 1 + 56} \right).20}}{2} = 550$.

Chọn C

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$nên $\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = 3\overrightarrow {DG}$. Suy ra $k = 3$.

Chọn A

Ta có $\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}dx} = \int\limits_1^3 {\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)dx} = \left. {\left( {x + 2\ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^3 = \left( {3 + 2\ln 3} \right) - \left( {1 + 2\ln 1} \right) = 2 + 2\ln 3$.

Vậy $a = 2,\,\,b = 2,\,\,c = 3 \Rightarrow S = a + b + c = 7$.

Chọn B

Ta có $\frac{n}{4} = \frac{{30}}{4} = 7{,}5$ mà $6 < 7{,}5 < 10$ suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $\left[ {4;\,6} \right)$.

a) Đúng

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

b) Đúng

Ta có: $f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}},\,\forall x \ne - 1$.

c) Sai

Ta có: $f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow {x^2} + 2x - 1 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 1 + \sqrt 2 }\\{x = - 1 - \sqrt 2 }\end{array}} \right.$.

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1 - \sqrt 2$.

d) Đúng

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {\frac{{{x^2} + x + 2}}{{x + 1}} - x} \right) = 0$.

$\Rightarrow y = x$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

$\Rightarrow$Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua điểm $M\left( {0;\,0} \right)$.

Sau 2 năm, dung lượng pin còn lại $S\left( 2 \right) = {S_0}.{\left( {0{,}95} \right)^2} = 90{,}25\% .{S_0}$ Câu a đúng.

Sau 5 năm, dung lượng pin còn lại $S\left( 5 \right) = {S_0}.{\left( {0{,}95} \right)^5} \approx 77{,}38\% .{S_0}$ Câu c đúng.

Ta cần thay pin khi dung lượng pin còn lại dưới $70\%$, tức là $0,{95^n} \le 0{,}7 \Leftrightarrow n \ge {\log _{0{,}95}}0{,}7 \approx 6{,}96$năm. Câu d sai.

Tốc độ thay dung lượng $S'\left( t \right) = {S_0}.0,{95^t}.\ln 0{,}95$, ta có $\left| {S'\left( t \right)} \right|$ là một hàm giảm theo thời gian. Câu b sai

a) Đúng. Trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$ ta có $v\left( t \right) = 5$ $\left( {m/s} \right)$. Suy ra $v\left( 1 \right) = 5$ $\left( {m/s} \right)$.

b) Sai. Xét trên đoạn $\left[ {2;5} \right]$, giả sử parabol có phương trình $v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c$ $\left( {a \ne 0} \right)$.

Khi đó parabol đi qua các điểm $\left( {2;5} \right)$, $\left( {3;4} \right)$, $\left( {5;8} \right)$. Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}a \cdot {2^2} + b \cdot 2 + c = 5\\a \cdot {3^2} + b \cdot 3 + c = 4\\a \cdot {5^2} + b \cdot 5 + c = 8\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 6\\c = 13\end{array} \right.$. Suy ra $v\left( t \right) = {t^2} - 6t + 13$.

Suy ra $v\left( 4 \right) = 5$ $\left( {m/s} \right)$.

c) Sai. Xét trên đoạn $\left[ {3;7} \right]$, giả sử đường thẳng có phương trình $v\left( t \right) = mt + n\,\,\left( {m \ne 0} \right)$.

Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm $\left( {5;8} \right),\,\left( {7;0} \right)$. Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}5 \cdot m + n = 8\\7 \cdot m + n = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 4\\n = 28\end{array} \right.$. Suy ra $v\left( t \right) = - 4t + 28$.

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ $t = 3$ đến $t = 7$ bằng

$S = \int\limits_3^7 {v\left( t \right)dt}$$= \int\limits_3^5 {\left( {{t^2} - 6t + 13} \right)dt} + \int\limits_5^7 {\left( { - 4t + 28} \right)dt} = \frac{{56}}{3} \approx 18{,}67$ $\left( m \right)$.

d) Đúng. Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ $t = 2$ đến $t = 7$ là

$\frac{1}{{7 - 2}}\int\limits_2^7 {v\left( t \right)dt} = \frac{1}{5}\left( {\int\limits_2^5 {\left( {{t^2} - 6t + 13} \right)dt} + \int\limits_5^7 {\left( { - 4t + 28} \right)dxt} } \right) = 4{,}6$ $\left( {m/s} \right)$.

a) Ta có $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {OC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} - 4 = 0\\{y_N} - 0 = 10\\{z_N} - 6 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 4\\{y_N} = 10\\{z_N} = 6\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {4;10;6} \right)$

Chọn ĐÚNG.

b) Phương trình mặt phẳng $\left( {AGC} \right):\frac{x}{6} + \frac{y}{{10}} + \frac{z}{5} = 1 \Leftrightarrow 5x + 3y + 6z - 30 = 0$

Þ $d\left( {M,\left( {AGC} \right)} \right) = \frac{{\left| {5.4 + 3.0 + 6.6 - 30} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {3^2} + {6^2}} }} = \frac{{13\sqrt {70} }}{{35}} \approx 3{,}11 > 3$

Chọn ĐÚNG.

c) Ta có $\left[ {M,DE,F} \right] = \widehat {MDG} = \left( {\overrightarrow {DG} ,\overrightarrow {DM} } \right)$

Ta có $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {OG} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} - 6 = 0\\{y_D} - 0 = 0\\{z_D} - 0 = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 6\\{y_D} = 0\\{z_D} = 5\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {6;0;5} \right)$

Þ $\overrightarrow {DM} = \left( { - 2;0;1} \right)$ và $\overrightarrow {DG} = \left( { - 6;0;0} \right)$

Þ $\cos \widehat {MDG} = \frac{{\overrightarrow {DM} .\overrightarrow {DG} }}{{DM.DG}} = \frac{{12}}{{6\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \widehat {MDG} \approx 26{,}6^\circ$

Chọn SAI.

d) Trải phẳng mặt $OCFG$ với mặt $CFNEB$ như hình vẽ

Dễ thấy toạ độ điểm $E\left( {6;10;5} \right)$ Þ $Q\left( {5;10;\frac{{11}}{2}} \right)$ Þ $CH = 5,QH = \frac{{11}}{2}$

Ta có $OP = \frac{1}{5}OG = 1$

$PI = OC + CH = 10 + 5 = 15$

$IQ = QH - IH = QH - OP = \frac{{11}}{2} - 1 = \frac{9}{2}$

Đoạn dây cáp ngắn nhất cần dùng là $PQ = \sqrt {I{P^2} + I{Q^2}} = \sqrt {{{15}^2} + 4,{5^2}} \approx 15{,}7\left( m \right)$

Chọn SAI

Đáp số: $10$

Ta có: $x$ là số tín chỉ từ dự án A, $y$ là số tín chỉ từ dự án B ($x,y \ge 0$).

Dựa vào đề bài, ta có:

Tổng số tín chỉ không quá 25: $x + y \le 25$

Tổng ngân sách không quá 600 USD: $20x + 30y \le 600$ $\Leftrightarrow 2x + 3y \le 60$

Điều kiện thực tế: $x \ge 0,y \ge 0$

Gọi $F(x,y)$ là tổng lượng $C{O_2}$ giảm: $F(x,y) = 1{,}5x + 2y$

Các đỉnh của miền nghiệm (tứ giác) là: $O(0;0)$, $A(25;0)$, $M(15;10)$, và $B(0;20)$.

Tại $O(0;0)$: $F = 1{,}5(0) + 2(0) = 0$

Tại $A(25;0)$: $F = 1{,}5(25) + 2(0) = 37{,}5$

Tại $M(15;10)$: $F = 1{,}5(15) + 2(10) = 22{,}5 + 20 = {\bf{42}},{\bf{5}}$

Tại $B(0;20)$: $F = 1{,}5(0) + 2(20) = 40$

Lượng $C{O_2}$ giảm tối đa là 42,5 tấn khi doanh nghiệp mua 15 tín chỉ dự án A và 10 tín chỉ dự án B.

Vậy giá trị của $y$ là 10.

Đáp án: 36

Mỗi vị trí trong $6$chữ số đều có $10$ cách chọn.

Tổng số mật mã là: ${10^6} = 1.000.000$ (mật mã).

Mật mã không chứa chữ số chẵn nghĩa là tất cả $6$ chữ số đều phải là số lẻ.

Tập hợp các chữ số lẻ là $\{ 1{,}3{,}5{,}7{,}9\}$.

Số mật mã chỉ gồm các chữ số lẻ là: ${5^6} = 15.625$ (mật mã).

Số mật mã chứa ít nhất một chữ số chẵn là $n = 1.000.000 - 15.625 = 984.375$

Tổng các chữ số của $n$ là $9 + 8 + 4 + 3 + 7 + 5 = 36$.

Đáp án: $3{,}46$.

Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là: ${V_0} = \frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4}.3 = 3\sqrt 3$

Thể tích khối chóp tam giác $A.A'B'C'$ là: ${V_1} = \frac{1}{3}.{S_{A'B'C'}}.AA' = \frac{1}{3}V = \sqrt 3$

Thể tích khối chóp $A.BCC'B'$ là: $V = {V_0} - {V_1} = 3\sqrt 3 - \sqrt 3 = 2\sqrt 3 \approx 3{,}46$.

Đáp án: $5$.

Số lượng vi khuẩn trong hồ bơi là

$F\left( t \right) = \int {\frac{{1000}}{{{{\left( {1 + 0{,}2 \cdot t} \right)}^2}}}{\rm{d}}t = \frac{{ - 5000}}{{1 + 0{,}2t}}} + C$.

Tại thời điểm ban đầu, số lượng vi khuẩn trong hồ bơi là $500$ con nên ta có

$\frac{{ - 5000}}{{1 + 0{,}2 \cdot 0}} + C = 500 \Leftrightarrow C = 5500$.

Do đó $F\left( t \right) = \frac{{ - 5000}}{{1 + 0{,}2 \cdot t}} + 5500$.

Vì hồ bơi chỉ an toàn khi số lượng vi khuẩn trong hồ bơi nhỏ hơn $3000$ nên số ngày hồ bơi sử dụng được là: $\frac{{ - 5000}}{{1 + 0{,}2 \cdot t}} + 5500 < 3000 \Leftrightarrow 1 + 0{,}2 \cdot t < 2 \Leftrightarrow t < 5$.

Vậy sau $5$ ngày thì người ta nên thay nước mới cho hồ bơi.

Đáp án: 1039

Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega ) = C_{20}^3 = 1140$.

· Số tập con lập thành cấp số cộng:

Gọi $a,b,c$ là cấp số cộng thì $a + c = 2b$ chẵn $\Rightarrow a,c$ cùng tính chẵn lẻ. Chọn 2 số chẵn có $C_{10}^2 = 45$ cách, chọn 2 số lẻ có $C_{10}^2 = 45$ cách (mỗi cặp xác định duy nhất 1 giá trị $b$ ở giữa). Có 90 bộ.

· Số tập con lập thành cấp số nhân $(a < b < c \Rightarrow ac = {b^2})$

Ta có ${\rm{a}},b,c$ lập thành CSN có công bội $q < 1$ nên $q = \frac{m}{n}$$\left( {m > n \ge 1} \right)$; $\frac{m}{n}$ tối giản

$c = a{q^2} = a\frac{{{m^2}}}{{{n^2}}}$ mà $c \in \{ 1;2;...;20\}$suy ra $a \vdots {n^2}$suy ra $a = k{n^2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$b = aq = k{n^2}\frac{m}{n} = kmn$

$c = a{q^2} = k{n^2}\frac{{{m^2}}}{{{n^2}}} = k{m^2}$

Suy ra CSN đó là $\left\{ {k{n^2};kmn;k{m^2}} \right\}$

Vì $c \le 20 \Rightarrow k{m^2} \le 20$ mà $m \in {\mathbb{Z}^ + }$ suy ra $m \in \left\{ {2;3;4} \right\}$

TH1: $m = 2;n = 1$

$k{m^2} \le 20$Suy ra $k \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$

$\{ 1;2;4\} ,\{ 2;4;8\} ,\{ 3;6;12\} ,\{ 4;8;16\} ,\{ 5;10;20\}$

TH2: $m = 3;n = 1;n = 2$

$k{m^2} \le 20$Suy ra $k \in \left\{ {1;2} \right\}$

Với $m = 3;n = 1;k \in \left\{ {1;2} \right\}$

$\{ 1;3;9\} ,\{ 2;6;18\}$

Với $m = 3;n = 2;k \in \left\{ {1;2} \right\}$

$\{ 4;6;9\} ,\{ 8;12;18\}$

TH3: $m = 4;n \in \left\{ {1;3} \right\};k = 1$( $\frac{m}{n}$ tối giản nên $n \ne 2$)

$m = 4;n = 1;k = 1$: $\{ 1;4;16\}$

$m = 4;n = 3;k = 1$: $\{ 9;12;16\}$

Tổng cộng có 11 bộ.

Nếu $a;b;c$ vừa là CSC; vừa là CSN thì

$\left\{ \begin{array}{l}a + c = 2b\\{b^2} = ac\end{array} \right. \Leftrightarrow {\left( {\frac{{a + c}}{2}} \right)^2} = ac \Leftrightarrow {\left( {a + c} \right)^2} = 4ac \Leftrightarrow {\left( {a - c} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = c$ (loại)

Không có tập nào vừa là CSC vừa là CSN

Vậy xác suất là $P = \frac{{90 + 11}}{{1140}} = \frac{{101}}{{1140}}$.

Suy ra $a = 101,b = 1140 \Rightarrow b - a = 1039$.

Đáp án: $9$

Xác định tọa độ vị trí hai con kiến tại thời điểm $t{\rm{ }}(t \ge 0)$.

· Kiến vàng (đi từ $A$ đến $D'$):

o Vectơ$\overrightarrow {AD'} = (0;30;30)$, độ dài$AD' = 30\sqrt 2$.

o Vận tốc${v_1} = 1{\rm{ cm/s}}$. Sau thời gian $t$, kiến vàng ở vị trí $M$.

o Tọa độ $M$:

$\overrightarrow {AM} = \frac{{{v_1} \cdot t}}{{AD'}} \cdot \overrightarrow {AD'} = \frac{t}{{30\sqrt 2 }}(0;30;30) = \left( {0;\frac{t}{{\sqrt 2 }};\frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right) \Rightarrow M\left( {0;\frac{t}{{\sqrt 2 }};\frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right)$.

· Kiến đen (đi từ $D$ đến $B$):

o Vectơ $\overrightarrow {DB} = (30; - 30;0)$, độ dài $DB = 30\sqrt 2$.

o Vận tốc ${v_2} = 2{\rm{ cm/s}}$. Sau thời gian $t$, kiến đen ở vị trí $N$.

o Tọa độ $N$:

$\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} = (0;30;0) + \frac{{{v_2} \cdot t}}{{DB}} \cdot \overrightarrow {DB}$

$\overrightarrow {AN} = (0;30;0) + \frac{{2t}}{{30\sqrt 2 }}(30; - 30;0) = (0;30;0) + \left( {\sqrt 2 t; - \sqrt 2 t;0} \right) \Rightarrow N\left( {\sqrt 2 t;30 - \sqrt 2 t;0} \right)$

Khoảng cách giữa hai con kiến là $d = MN$. Ta có:

$M{N^2} = {(\sqrt 2 t - 0)^2} + {\left( {30 - \sqrt 2 t - \frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {0 - \frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = 2{t^2} + {\left( {30 - \frac{{3t}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + \frac{{{t^2}}}{2} = 7{t^2} - 90\sqrt 2 t + 900$

Hàm số $f(t) = 7{t^2} - 90\sqrt 2 t + 900$ là một parabol có bề lõm quay lên trên, đạt giá trị nhỏ nhất tại:

$t = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{90\sqrt 2 }}{{2 \cdot 7}} = \frac{{45\sqrt 2 }}{7} \approx 9{,}0913$.