Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở Lào Cai có đáp án

Chọn B

${u_2} = {u_1}.q = 3.4 = 12$.

Chọn A

$\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2;2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} = 3$.

Chọn C

Góc $\left( {AF,EG} \right) = \left( {AF,AC} \right)$ do $EG\parallel AC$.

Tam giác $AFC$ là tam giác đều do $AF,FC,AC$ là đều là ba đường chéo của các hình vuông bằng nhau nên $AF = FC = AC$. Nên $\left( {AF,EG} \right) = \left( {AF,AC} \right) = 60^\circ$.

Chọn A

$4\vec a - \vec b = \left( {4.1 - 2;4.2 + 1;4.\left( { - 1} \right) - 3} \right) = \left( {2;9; - 7} \right)$.

Chọn B

Thể tích của vật thể là: $V = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {{{\left( {\sqrt {3 - {x^2}} } \right)}^2}dx} = 4\sqrt 3$.

Chọn A

Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có $\overrightarrow {AD'} = \overrightarrow {BC'}$.

Chọn C

Phương trình đường tiệm cận xiên có dạng $y = a'x + b'$.

Đường tiệm cận xiên đi qua các điểm $\left( {0;3} \right)$ và $\left( {1;4} \right)$ nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}b' = 3\\a' + b' = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b' = 3\\a' = 1\end{array} \right.$.

Vậy $y = x + 3$ là phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chọn B

Ta có

Giá trị trung bình của mẫu số liệu là $\overline x = \frac{{9 \cdot 15 + 10 \cdot 45 + 9 \cdot 75 + 15 \cdot 105 + 7 \cdot 135}}{{50}} = 75{,}6$.

Phương sai của mẫu số liệu là

${\delta ^2} = \frac{{9{{\left( {15 - 75{,}6} \right)}^2} + 10{{\left( {45 - 75{,}6} \right)}^2} + 9{{\left( {75 - 75{,}6} \right)}^2} + 15{{\left( {105 - 75{,}6} \right)}^2} + 7{{\left( {135 - 75{,}6} \right)}^2}}}{{50}}$

$\Leftrightarrow {\delta ^2} = 1601{,}64$.

Chọn D

Ta có ${3^{x - 1}} \ge 9 \Leftrightarrow x - 1 \ge 2 \Leftrightarrow x \ge 3$.

Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {3; + \infty } \right)$.

Chọn D

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$.

Chọn C

Hàm số xác định khi và chỉ khi $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi$.

Vậy $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

a) Đúng

Ta có:

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = \left( {\sin x - \cos x} \right)\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\frac{\pi }{2}}\\0\end{array}} \right. = \left( {\sin \frac{\pi }{2} - \cos \frac{\pi }{2}} \right) - \left( {\sin 0 - \cos 0} \right) = 1 - \left( { - 1} \right) = 2$.

b) Đúng

Vì $- 1 \le x \le 1$ nên $1 \le 3 - 2\sin x \le 5$, do đó tập giá trị của hàm số $g\left( x \right) = 3 - 2\sin x$ là $T = \left[ {1;5} \right]$.

c) Sai

Ta có: $\int {g\left( x \right)dx} = 3x + 2\cos x + C$.

d) Đúng

Ta có: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = 3 - 2\sin x \Leftrightarrow 3 - 2\sin x = 2 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}$.

Trên đoạn $\left[ {0;2\pi } \right]$, phương trình có 2 nghiệm là ${x_1} = \frac{\pi }{6};{x_2} = \frac{{5\pi }}{6}$.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$.

Chọn Đúng

b) Ta có $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'}$ (Quy tắc hình hộp).

Chọn Đúng

c) Ta có $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {DAC} = 45^\circ$.

Chọn Đúng

d) Ta có $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B'C'} = AC.B'C'.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'C'} } \right) = a\sqrt 2 .a.\cos 45^\circ = a\sqrt 2 .a.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}$.

Chọn Sai

Dựa vào đồ thị hàm vận tốc, ta có thể suy ra hàm số $v\left( t \right)$ như sau:

$v\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{4t,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \le t \le 5}\\{ - \frac{8}{{225}}{t^2} + \frac{8}{9}t + \frac{{148}}{9},\,\,\,\,5 \le t \le 20}\\{ - 4t + 100,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,20 \le t \le 25}\end{array}} \right.$.

Do đó:

a) Trong 5 giây đầu tiên, người đó chuyển động nhanh dần đều với gia tốc $a = 4\,m/{s^2}$.

Nên mệnh đề a Sai

b) Quãng đường đi được trong 5 giây đầu tiên là $S = \int\limits_0^5 {4tdt = 50m}$.

Nên mệnh đề b Sai

c) Quãng đường vật đi được trong $20$ giây đầu tiên là

${S_2} = \int\limits_0^5 {4tdt} + \int\limits_5^{20} {\left( { - \frac{8}{{225}}{t^2} + \frac{8}{9}t + \frac{{148}}{9}} \right)dt} = 370m$.

Nên mệnh đề c đúng

d) Quãng đường vật đi được trong cả hành trình là

${S_3} = \int\limits_0^5 {4tdt} + \int\limits_5^{20} {\left( { - \frac{8}{{225}}{t^2} + \frac{8}{9}t + \frac{{148}}{9}} \right)dt} + \int\limits_{20}^{25} {\left( { - 4t + 20} \right)} dt = 420m$.

Do đó vận tốc trung bình của người đó trên cả hành trình là ${v_{tb}} = \frac{{420}}{{25}} = 16{,}8m/s$.

Nên mệnh đề d đúng

a) SAI

Hàm số đồng biến trên khoảng $( - 1;0)$.

b) ĐÚNG

Tiệm cận đứng $x = - \frac{m}{n} = - 1 \Rightarrow m = n$.

c) ĐÚNG

Giao điểm 2 đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên là $( - 1;2) \Rightarrow$ Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I( - 1;2)$.

d) ĐÚNG

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $\left( {0;0} \right),\left( { - 2;4} \right)$.

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng $\sqrt {{{\left( { - 2 - 0} \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2}} = 2\sqrt 5$.

Đáp số: 14,5

Vẽ đồ thị các hàm vận tốc (theo thời gian) của các chất điểm trên cùng một hệ trục tọa độ $tOv$ ta được đồ thị vận tốc của chất điểm $D$ theo thời gian như sau:

Quãng đường chất điểm $D$ đi được trong 5 giây đầu tiên là:

$S = \int_0^5 {{v_D}} (t)dt = \int_0^2 2 t{\mkern 1mu} dt + \int_2^3 {(t + 2)} {\mkern 1mu} dt + \int_3^5 {(11 - 2t)} {\mkern 1mu} dt = 14{,}5$(mét).

Đáp số: 114.

Cách 1:

Gọi $x$ ($x \in {\mathbb{N}^*}$) là số lượng sản phẩm doanh nghiệp sản xuất và bán ra trong một tháng.

Lợi nhuận thu được $P(x)$ bằng tổng doanh thu trừ đi tổng chi phí và tiền thuế.

Dựa vào chính sách thuế, ta thiết lập được hàm số lợi nhuận $P(x)$ (đơn vị: triệu đồng) phân nhánh như sau:

$P(x) = \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x - (x + 200) - 0{,}1 \cdot 3x = 1{,}7x - 200}&{{\rm{khi }}0 < x < 100}\\{3x - (x + 200) - 0{,}08 \cdot 3x = 1{,}76x - 200}&{{\rm{khi }}100 \le x < 300}\\{3x - (x + 200) - 0{,}05 \cdot 3x = 1{,}85x - 200}&{{\rm{khi }}x \ge 300}\end{array}} \right.$

Xét đạo hàm $P'(x)$ trên từng khoảng:

Trên $(0;100)$, $P'(x) = 1{,}7 > 0$.

Trên $(100;300)$, $P'(x) = 1{,}76 > 0$.

Trên $(300; + \infty )$, $P'(x) = 1{,}85 > 0$.

Hàm số đồng biến trên từng khoảng.

Xét sự thay đổi lợi nhuận tại các điểm chuyển giao chính sách thuế:

Tại $x = 100$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{100}^ - }} P(x) = - 30$, trong khi $P(100) = - 24$. Lợi nhuận tăng do giảm thuế.

Tại $x = 300$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{300}^ - }} P(x) = 328$, trong khi $P(300) = 355$. Lợi nhuận tiếp tục tăng.

Từ các yếu tố trên, ta kết luận hàm số $P(x)$ đồng biến trên toàn bộ tập xác định ${\mathbb{N}^*}$. Do đó, phương trình $P(x) = 0$ (nếu có) sẽ chia trục số làm hai miền âm - dương phân biệt.

Ta thử tính giá trị hàm số tại các mốc phân nhánh:

$P(100) = - 24 < 0$ (sản xuất 100 sản phẩm vẫn lỗ).

$P(300) = 355 > 0$ (sản xuất 300 sản phẩm đã có lãi lớn).

Vì hàm $P(x)$ đồng biến, khoảng chuyển từ lỗ sang lãi (điểm hòa vốn $P(x) = 0$) chắc chắn nằm trong nửa khoảng $[100;300)$.

Ta chỉ cần giải duy nhất một bất phương trình trên khoảng này:

$1{,}76x - 200 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{{200}}{{1{,}76}} \approx 113{,}63$

Vì $x \in {\mathbb{N}^*}$, số sản phẩm tối thiểu doanh nghiệp cần sản xuất để bắt đầu có lãi là $x = 114$ sản phẩm.

Cách 2:

Hàm tổng chi phí $C(x)$= Chi phí cố định + Chi phí biến đổi = $200 + 1.x = 200 + x$

Hàm tổng doanh thu $R(x) = 3x$:

Hàm thuế $T(x)$ (tính theo doanh thu): $T(x) = \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{10\% \cdot 3x = 0{,}3x}&{{\rm{, }}x < 100}\\{8\% \cdot 3x = 0{,}24x}&{,100 \le x < 300}\\{5\% \cdot 3x = 0{,}15x}&{,x \ge 300}\end{array}} \right.$

Lợi nhuận được xác định bởi công thức: $L(x) = R(x) - C(x) - T(x)$.

Để doanh nghiệp bắt đầu có lãi, ta cần tìm $x$ nhỏ nhất sao cho $L(x) > 0$.

Khoảng 1: $x < 100$ (Mức thuế 10%)

Ta có phương trình lợi nhuận: $L(x) = 3x - (200 + x) - 0{,}3x = 1{,}7x - 200$

Xét bất phương trình $L(x) > 0$: $1{,}7x - 200 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{{200}}{{1{,}7}} \approx 117{,}65$

Nhận xét: Giá trị $x > 117{,}65$ nằm ngoài khoảng đang xét ($x < 100$). Do đó, trong khoảng này doanh nghiệp luôn lỗ.

Khoảng 2: $100 \le x < 300$ (Mức thuế 8%)

Ta có phương trình lợi nhuận:$L(x) = 3x - (200 + x) - 0{,}24x = 1{,}76x - 200$

Xét bất phương trình $L(x) > 0$:$1{,}76x - 200 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{{200}}{{1{,}76}} \approx 113{,}636$

Nhận xét: Giá trị $x > 113{,}636$ thỏa mãn điều kiện $100 \le x < 300$.

Vì $x$ là số nguyên dương ($x \in {\mathbb{N}^*}$), giá trị nhỏ nhất thỏa mãn là $x = 114$.

Khoảng 3: $x \ge 300$ (Mức thuế 5%)

Ta có phương trình lợi nhuận: $L(x) = 3x - (200 + x) - 0{,}15x = 1{,}85x - 200$

Tại $x = 300$: $L(300) = 1{,}85(300) - 200 = 355 > 0$ (Chắc chắn có lãi).

Tuy nhiên, vì ta tìm số sản phẩm tối thiểu, nên kết quả ở Khoảng 2 ($x = 114$) là giá trị cần tìm.

Đáp án: 1440

· Sau 5 nước đi, trên bảng sẽ có đúng 3 chữ X của An và 2 chữ O của Bình. Để An thắng ở nước thứ 5, 3 chữ X này phải nằm liền nhau trên cùng một đường (ngang, dọc hoặc chéo).

· Trên bảng ô vuông 3x3, có tổng cộng 8 đường chiến thắng khác nhau bao gồm: 3 hàng ngang ; 3 hàng dọc và 2 đường chéo.

· Khi đã xác định được 1 đường chiến thắng cụ thể (gồm 3 ô), An phải đặt 3 chữ X của mình vào chính xác 3 ô này ở các lượt đi thứ 1, thứ 3 và thứ 5. Số cách để An xếp 3 nước đi của mình vào 3 ô trống này là 3! = 6 (cách)

· Bình có 2 lượt đi (ở nước thứ 2 và thứ 4). Vì An đã chiếm 3 ô thuộc đường chiến thắng, trên bảng 9 ô sẽ còn lại 6 ô trống. Bình cần chọn 2 ô trong số 6 ô trống này và điền chữ O theo thứ tự trước sau. Số cách chọn và sắp xếp các nước đi của Bình là $A_6^2 = 6 \times 5 = 30$(cách)

· Áp dụng quy tắc nhân cho các bước trên, tổng số trình tự các nước đi để ván cờ kết thúc ở nước thứ 5 với phần thắng thuộc về An là $8 \times 6 \times 30 = 1440$.

Đáp án: $5{,}4$

Diện tích của mặt cắt ngang là $S(x) = 5 \cdot {(0{,}5)^x}$

Thể tích $V$ của vật thể

$V = \int_0^2 S (x){\mkern 1mu} dx = \int_0^2 5 \cdot {(0{,}5)^x}{\mkern 1mu} dx = 5 \cdot \left[ {\frac{{{{(0{,}5)}^x}}}{{\ln (0{,}5)}}} \right]_0^2 = \frac{5}{{\ln (0{,}5)}} \cdot \left( {{{(0{,}5)}^2} - {{(0{,}5)}^0}} \right) \approx 5{,}4101...$

Làm tròn đến hàng phần mười theo yêu cầu của đề bài, ta được kết quả là 5,4 m³.

Đáp án: $28$

Số trang mỗi ngày tạo thành cấp số cộng với: ${a_1} = 1,d = 1,n = 7$

Tổng số trang là: ${S_n} = \frac{{n(2{a_1} + (n - 1)d)}}{2}$

Thay số: ${S_n} = \frac{{n(2{a_1} + (n - 1)d)}}{2} = \frac{{7(2.1 + 6.1)}}{2} = 28$

Vậy đến chủ nhật, bé An viết được 28 trang.

Đáp án: $280$.

Chọn hệ trục toạ độ ${\rm{Ox}}yz$ như hình vẽ

$ABCD$ là hình thoi nên $GO \bot AC$ mà $GS \bot AC \Rightarrow SO \bot AC$.

$\left[ {S,AC,G} \right] = \widehat {SOG} = {60^0}$, $GO = \frac{1}{3}BO = \frac{1}{3}.\frac{{6\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 ,SG = GO.\tan {60^0} = 3,OD = 3\sqrt 3$.

Khi đó $S\left( {\sqrt 3 ;0;3} \right),D\left( { - 3\sqrt 3 ;0;0} \right),A\left( {0; - 3;0} \right),C\left( {0;3;0} \right)$.

$$\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {18;0; - 24\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {AD} \left( { - 3\sqrt 3 ;3;0} \right),\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = - 54\sqrt 3$$

$$\left| {\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 6\sqrt {57} ,d\left( {SD,AC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}} = \frac{{54\sqrt 3 }}{{6\sqrt {57} }} = \frac{9}{{\sqrt {19} }}$$

Suy ra $a = 19,b = 9,{a^2} - {b^2} = 280.$