Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở Lạng Sơn có đáp án

Lời giải

Chọn D

Ta có ${u_1} = 1,\,{u_2} = 4\,\, \Rightarrow \,\,d = \,{u_2} - {u_1} = 3\, \Rightarrow {u_4} = {u_1} + 3d = 1 + 9 = 10$.

Lời giải

Chọn A

Theo quy tắc hình hộp ta có

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AG}$

Lời giải

Chọn D

Vì $\frac{n}{{40}} = \,\,\frac{{40}}{4} = 10\,$nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm $\left[ {22;25} \right)$.

Vậy ${Q_1} = \,22 + \frac{{10 - 7}}{{15}} \cdot 3 = 22{,}6$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $\cos 2x = 1\,\, \Leftrightarrow \,2x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x\, = k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$.

Lời giải

Chọn B

Ta có ${\log _3}\left( {9a} \right) = {\log _3}9 + {\log _3}a = 2 + {\log _3}a$.

Lời giải

Chọn C

Từ đồ thị ta thấy hàm số nghịc biến trên khoảng $\left( { - 1;0} \right)$.

Lời giải

Chọn C

$IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ nên $IJ{\rm{//}}AB$.

$\left\{ \begin{array}{l}IJ \not\subset \left( {ABC} \right)\\IJ{\rm{//}}AB\\AB \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow IJ{\rm{//}}\left( {ABC} \right)$.

Lời giải

Chọn C

Ta có $\int {f\left( x \right)dx = \int {\sin xdx} } = - \cos x + C$.

Lời giải

Chọn C

Một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là $\overrightarrow n = \left( {2; - 1;4} \right)$ hay $\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 2;1; - 4} \right)$.

Lời giải

Chọn B

Ta có: $SA = SC$ nên tam giác $SAC$ cân tại $S$, $SO \bot AC$.

$SB = SD$ nên tam giác $SBD$ cân tại $S$, $SO \bot BD$.

Mà $AC \cap BD = O,AC,BD \subset \left( {ABCD} \right)$ nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$

Lời giải

Chọn C

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow w = \overrightarrow u - \overrightarrow v = \left( {1 - 1; - 2 - 3;2 + 5} \right) = \left( {0; - 5;7} \right)$.

Lời giải

Chọn B

Ta có: $\int\limits_4^3 {f\left( x \right)dx = 2}$$\Rightarrow \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx = - 2}$

$\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx} }$$\Leftrightarrow - 3 = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} + \left( { - 2} \right)$$\Leftrightarrow \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = - 1$.

Lời giải

a) Đúng

Doanh thu $R\left( t \right)$ được tính bằng tích phân của tốc độ doanh thu $R'\left( t \right)$ theo thời gian. Do đó, doanh thu sau 10 năm (từ $t = 0$ đến $t = 10$) là:

$R\left( {10} \right) = \int\limits_0^{10} {R'\left( t \right)dt}$ =$\int\limits_0^{10} {\left( {588 - 3{t^2}} \right)dt}$.

b) Đúng

Tổng chi phí vận hành và bảo trì trong 6 năm là tích phân của chi phí biên $C'\left( t \right)$ từ 0 đến 6: $\int\limits_0^6 {\left( {48 + 12{t^2}} \right)dt} = \left. {\left( {48t + 4{t^3}} \right)} \right|_0^6 = \left( {48 \times 6 + 4 \times {6^3}} \right) - 0 = 1152$ (triệu đồng).

c) Sai

Ta có doanh thu là $R\left( t \right) = \int {R'\left( t \right)dt} = \int {\left( {588 - 3{t^2}} \right)dt} = 588t - {t^3} + {C_1}$

Mà $R\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {C_1} = 0 \Rightarrow R\left( t \right) = 588t - {t^3}$.

Chi phí là $C\left( t \right) = \int {C'\left( t \right)dt} = \int {\left( {48 + 12{t^2}} \right)dt} = 48t + 4{t^3} + C$.

Mà $C\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow C\left( t \right) = 48t + 4{t^3}$.

Lợi nhuận $L(t) = R\left( t \right) - C\left( t \right) = 588t - {t^3} - \left( {48t + 4{t^3}} \right)$.

Do đó $L\left( t \right) \ge 0$$\Leftrightarrow 588t - {t^3} \ge 48t + 4{t^3} \Leftrightarrow 5{t^2} \le 540 \Leftrightarrow {t^2} \le 36 \Rightarrow t \le 6$.

Do đó lợi nhuận bắt đầu giảm khi $t > 6$.

Vậy tuổi thọ hữu ích của máy là 6 năm.

d) Sai

Lợi nhuận trong suốt tuổi thọ hữu ích (6 năm đầu) là

$\int\limits_0^6 {\left[ {\left( {588 - 3{t^2}} \right) - \left( {48 + 12{t^2}} \right)} \right]} dt = \int\limits_0^6 {\left( {540 - 15{t^2}} \right)} dt = \left. {\left( {540t - 5{t^3}} \right)} \right|_0^6 = 2160$(triệu đồng).

Lời giải

a) Đúng

Mỗi học sinh có 2 khả năng (ngửa hoặc sấp tương ứng với đứng hoặc ngồi).

Có tám học sinh tung độc lập nên tổng số kết quả có thể xảy ra là: ${2^8} = 256$.

b) Đúng

Có tám học sinh nên số cách chọn một người đứng lên là: $C_8^1 = 8$.

c) Sai

Số cách chọn hai bạn đứng lên bất kì là: $C_8^2 = 28$.

Trong một bàn tròn tám ghế, có đúng tám cặp ghế kề nhau (1-2, 2-3, …, 8-1) nên có 8 cách chọn hai bạn đứng lên mà hai bạn đó ngồi cạnh nhau.

Vậy số cách để hai bạn đứng lên mà không đứng cạnh nhau là: $28 - 8 = 20$.

d) Sai

Gọi $A$ là biến cố: “không có hai người liền kề cùng đứng”.

Nếu có nhiều hơn bốn người đứng thì hiển nhiên biến cố $A$ không xảy ra.

Do đó ta chỉ có các trường hợp sau:

TH1: Không có bạn nào đứng: có 1 cách.

TH2: Có một bạn đứng: có 8 cách.

TH3: Có hai bạn đứng mà không đứng cạnh nhau: có 20 cách (như trên câu c).

TH4: Có ba bạn đứng mà không có hai bạn nào đứng cạnh nhau.

· Chọn ba bạn đứng lên bất kì có: $C_8^3 = 56$ cách.

· Chọn ba bạn đứng lên mà cả ba bạn liền kề nhau, có 8 cách (1-2-3, 2-3-4, …, 8-1-2)

· Chọn ba bạn đứng lên mà chỉ có đúng hai bạn đứng cạnh nhau:

- Có 8 cách chọn ra một bạn đứng.

- Với mỗi cách chọn ra một bạn đứng, có 4 cách chọn ra hai bạn đứng cạnh nhau và không đứng cạnh bạn vừa chọn (ví dụ chọn bạn vị trí thứ nhất thì có 4 cách chọn hai bạn đứng cạnh nhau và không đứng cạnh bạn thứ nhất là: 3-4, 4-5, 5-6, 6-7).

Vậy có tất cả: $56 - 8 - 8.4 = 16$ cách.

TH5: Có bốn bạn đứng lên và không có hai bạn nào đứng cạnh nhau: có 2 cách là các cặp 1-3-5-7 và 2-4-6-8.

Vậy số phần tử của biến cố A là: $n\left( A \right) = 1 + 8 + 20 + 16 + 2 = 47$.

(Có thể áp dụng công thức, số cách chọn $k$ bạn đứng lên trong bàn tròn $n$ chỗ mà không có hai bạn nào đứng cạnh nhau là: $\frac{n}{{n - k}}C_{n - k}^k$).

Xác suất để có ít nhất hai bạn ngồi liền kề phải đứng lên là:

$P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{{47}}{{256}} = \frac{{209}}{{256}}$.

Lời giải

a) [NB] Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow n = \left( {3{\rm{ }};{\rm{ }} - 2{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right)$. Chọn Đúng

b) [NB] Ta có: $3.1 - 2.\left( { - 1} \right) + 2 + 4 \ne 0$ nên $M$$\notin$ $\left( P \right)$. Chọn Đúng

c) $\left( Q \right){\rm{ // }}\left( P \right)$ nên $\left( Q \right)$ có phương trình $3x - 2y + z + m = 0$

- $\left( Q \right)$qua điểm $M$ nên $3.1 - 2.\left( { - 1} \right) + 2 + m = 0$.

- $\Leftrightarrow m = - 7$

- Phương trình tổng quát của $\left( Q \right)$ là: $3x - 2y + z - 7 = 0$.

Chọn Sai

d) Mặt phẳng $\left( R \right)$song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ nên $\left( R \right)$ có dạng $3x - 2y + z + n = 0$, $n \ne 4$.

Ta có: $d\left( {M,\left( R \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 2.\left( { - 1} \right) + 2 + n} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {1^2}} }}$

$\Leftrightarrow \frac{{\left| {7 + n} \right|}}{{\sqrt {14} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {14} }}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 4\\n = - 18\end{array} \right.$

Vì $n \ne 4$nên mặt phẳng $\left( R \right)$ phương trình là $3x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} - {\rm{ }}18{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}$. Chọn Đúng

Lời giải

a) Dựa vào đồ thị hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$. Chọn Đúng

b) Dựa vào đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại điểm ${x_0} = 1$. Chọn Đúng

c) Đạo hàm của hàm số nhận giá trị dương trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$. Chọn Đúng

d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 1;0} \right]$ bằng $- 1$. Chọn Sai

Lời giải

Đáp án: 0,86.

Gọi $N$ là trung điểm của $AA';$ kẻ $AH \bot BA'$ tại $H;AK \bot CI$ tại $K.$ Khi đó (đường trung bình tam giác $ABA'$), mà $MN \subset (CMN)$ nên .

Do đó ${\rm{d}}(BA',CM) = {\rm{d}}(BA',(CMN)) = {\rm{d}}(H,(CMN)) = {\rm{d}}(A,(CMN)) = AK{\rm{ (v\`i }}AK \bot (CMN){\rm{)}}{\rm{.}}$

Chứng minh $AK \bot (CMN)$

Lăng trụ đứng nên $AC \bot AA'$; $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $AC \bot AB \Rightarrow AC \bot (ABA')$

Mà $MN \subset (ABA') \Rightarrow MN \bot AC$

Mặt khác

$AH \cap AC = A \Rightarrow MN \bot (CMN),AK \subset (CMN) \Rightarrow AK \bot MN$

$AK \bot CI,MN \cap CM = I \Rightarrow AK \bot (CMN).$

Ta có $A{K^2} = \frac{{A{I^2}.A{C^2}}}{{A{I^2} + A{C^2}}} = \frac{{\frac{{A{M^2}.A{N^2}}}{{A{M^2} + A{N^2}}}.A{C^2}}}{{\frac{{A{M^2}.A{N^2}}}{{A{M^2} + A{N^2}}} + A{C^2}}} = \frac{{\frac{{1.4}}{{1 + 4}}.9}}{{\frac{{1.4}}{{1 + 4}} + 9}} = \frac{{36}}{{49}} \Rightarrow AK = \frac{6}{7} \approx 0{,}86.$

Lời giải

Đáp số: 450

Ta có: $d\left( {O;\left( P \right)} \right) \le OM$.

Để $\left( P \right)$cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất thì $d\left( {O;\left( P \right)} \right) = OM$. Khi đó $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow {OM}$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy $\left( P \right):\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 2} \right) - 5\left( {z + 5} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left( P \right):x - 2y - 5z - 30 = 0$.

$\left( P \right) \cap Ox = A\left( {30;0;0} \right)$; $\left( P \right) \cap Oy = B\left( {0; - 15;0} \right)$; $\left( P \right) \cap Oz = C\left( {0;0; - 6} \right)$

Thể tích tứ diện $OABC$ là: $V = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{6}.30.15.6 = 450$(đơn vị thể tích).

Lời giải

Đáp án: 7,8

Bước 1: Tìm hàm nồng độ thuốc $C(t)$

Từ phương trình tỉ lệ đã cho, ta lấy nguyên hàm hai vế theo biến $t$:

$\int {\frac{{C'(t)}}{{C(t)}}} dt = \int - kdt \Leftrightarrow \ln |C(t)| = - kt + {C_1}$

Vì nồng độ $C(t) > 0$, ta có thể viết lại phương trình dưới dạng hàm số mũ:

$C(t) = {e^{ - kt + {C_1}}} = {e^{{C_1}}} \cdot {e^{ - kt}}$

Đặt ${C_0} = {e^{{C_1}}}$, ta có công thức tổng quát: $C(t) = {C_0} \cdot {e^{ - kt}}$

Bước 2: Tìm các hằng số ${C_0}$ và $k$

Tại thời điểm bắt đầu ($t = 0$), nồng độ là 12 mg/l: $C(0) = {C_0} \cdot {e^0} = 12 \Rightarrow {C_0} = 12$

Vậy hàm số là $C(t) = 12 \cdot {e^{ - kt}}$.

Sau 6 giờ ($t = 6$), nồng độ là 3 mg/l:

$C(6) = 12 \cdot {e^{ - 6k}} = 3 \Leftrightarrow {e^{ - 6k}} = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow - 6k = \ln \left( {\frac{1}{4}} \right) \Rightarrow k = \frac{{ - \ln (0.25)}}{6}$

Bước 3: Tính thời gian $t$ khi nồng độ còn 2 mg/l

Ta cần tìm $t$ sao cho $C(t) = 2 \Leftrightarrow$ $12 \cdot {e^{ - kt}} = 2 \Leftrightarrow {e^{ - kt}} = \frac{2}{{12}} = \frac{1}{6} \Leftrightarrow - kt = \ln \left( {\frac{1}{6}} \right) \Rightarrow t = \frac{{ - \ln (1/6)}}{k}$

Thay giá trị $k$ đã tìm được ở trên vào: $t = \frac{{ - \ln (1/6)}}{{\frac{{ - \ln (0.25)}}{6}}} = \frac{{6 \cdot \ln (6)}}{{\ln (4)}} \approx 7{,}7548...$

Làm tròn kết quả đến hàng phần mười, ta được $t \approx 7{,}8$ giờ.

Lời giải

Đáp án: $820$

Vì mỗi bước có $4$ cách đi nên tổng số cách đi sau $n$ bước là ${4^n}$.

Gọi ${u_n}$ là số cách đi từ $A$ để sau đúng $n$ bước nhân vật ở vị trí $A$.

Trong ${4^n}$ bước, có $2$ trường hợp:

- Nhân vật ở vị trí $A$: có ${u_n}$ cách. Khi đó bước $n + 1$ nhân vật không thể ở vị trí $A$.

- Nhân vật không ở vị trí $A$: có ${4^n} - {u_n}$ cách. Khi đó có đúng $1$ cách để bước $n + 1$ nhân vật ở vị trí $A$.

Suy ra ${u_{n + 1}} = 0 \cdot {u_n} + 1 \cdot \left( {{4^n} - {u_n}} \right) = {4^n} - {u_n}$.

Ta có:

$${u_0} = 1$$

$${u_1} = 0$$

$${u_2} = {4^1} - {u_1} = 4$$

$${u_3} = {4^2} - {u_2} = 12$$

$${u_4} = {4^3} - {u_3} = 52$$

$${u_5} = {4^4} - {u_4} = 204$$

$${u_6} = {4^5} - {u_5} = 820$$

Lời giải

Đáp án: 100.

Hàm doanh thu: $T\left( x \right) = xp\left( x \right) = 1700x - 7{x^2}$.

Hàm chi phí: $C\left( x \right) = 16000 + 500x - 1{,}6{x^2} + 0{,}004{x^3}$.

Hàm lợi nhuận: $\pi \left( x \right) = T\left( x \right) - C\left( x \right) = - 0{,}004{x^3} - 5{,}4{x^2} + 1200x - 16000$.

Đạo hàm: $\pi '\left( x \right) = - 0{,}012{x^2} - 10{,}8x + 1200$; $\pi '\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 100 \in \left( {0;\frac{{1700}}{7}} \right)\\x = - 1000 \notin \left( {0;\frac{{1700}}{7}} \right)\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên:

Vậy để lợi nhuận thu được là lớn nhất thì nhà máy nên sản xuất mỗi tháng $100$ sản phẩm.

Lời giải

Đáp án: $10$.

Vì vòng quay có $40$ ô kích thước bằng nhau, để tính mức trung bình, ta giả sử có $40$ người chơi tham gia và mũi tên quay trúng đều vào tất cả $40$ ô (mỗi ô trúng đúng $1$ lần).

Tổng số tiền ban tổ chức thu được từ $40$ người chơi là

$40\,.\,25{\rm{ }} = 1000$ (nghìn đồng).

Tổng số tiền thưởng ban tổ chức phải trả cho $40$ người này sẽ bao gồm:

- $1$ ô $200$ nghìn đồng: $1\,.\,200 = 200$ (nghìn đồng)

- $4$ ô $50$ nghìn đồng: $4\,.\,50 = 200$ (nghìn đồng)

- $10$ ô $20$ nghìn đồng: $10\,.\,20 = 200$ (nghìn đồng)

- $25$ ô $0$ đồng (“Chúc bạn may mắn lần sau”): $0$ (nghìn đồng)

Tổng chi phí ban tổ chức trả thưởng là

$200 + 200 + 200 = 600$ (nghìn đồng).

Sau 40 lượt quay, số tiền lãi ban tổ chức thu được là

$1000 - 600 = 400$ (nghìn đồng).

Vậy trung bình một lượt chơi từ mỗi người chơi, ban tổ chức thu được số tiền là

$\frac{{400}}{{40}} = 10$ (nghìn đồng).