Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở Hưng Yên lần 1 có đáp án

Chọn A.

Từ phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$, ta có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow c \left( {1;2; - 1} \right)$.

Chọn D.

Ta có ${\log _a}\left( {{a^2}b} \right) = {\log _a}{a^2} + {\log _a}b = 2 + 5 = 7$.

Chọn D.

Ta có: $AB = \sqrt {0 + {6^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} = 10$.

Chọn D.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $I\left( {2; - 1;3} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n \left( {2; - 2;1} \right)$là:

$2\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) + \left( {z - 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x - 2y + z - 9 = 0$.

Chọn C

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là $x = 1$.

Chọn B

$\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB$

$\left\{ \begin{array}{l}SB \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SBA}$

Do $\Delta SAB$ vuông tại $A$ có $SA = AB = a$ nên $\Delta SAB$ vuông cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat {SBA} = 45^\circ$

$\Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = 45^\circ$.

Chọn B

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 3}}{{x - 2}}$ là $x = 2$.

Chọn D

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

$y' = 3{x^2} - 3$.

$y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$.

Chọn D

Sử dụng tính chất của tích phân: $\int_a^c f (x)dx = \int_a^b f (x)dx + \int_b^c f (x)dx$

Ta có: $\int_{17}^{2026} f (x)dx = \int_{17}^{89} f (x)dx + \int_{89}^{2026} f (x)dx$

$\Rightarrow 8 = \int_{17}^{89} f (x)dx + 10 \Rightarrow \int_{17}^{89} f (x)dx = 8 - 10 = - 2$.

Chọn B

Theo bảng nguyên hàm cơ bản, ta có: $\int {\sin } xdx = - \cos x + C$.

Chọn C

Tổng số học sinh $n = 1 + 4 + 15 + 16 + 4 = 40$.

Ta chọn các giá trị đại diện cho từng nhóm là trung bình cộng của hai mút:

${c_1} = 1,{c_2} = 3,{c_3} = 5,{c_4} = 7,{c_5} = 9$.

Số trung bình cộng: $\bar x = \frac{{1 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 15 \cdot 5 + 16 \cdot 7 + 4 \cdot 9}}{{40}} = \frac{{236}}{{40}} = 5{,}9$.

Chọn B

Cỡ mẫu $n = 40$.

Do $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3 \cdot 40}}{4} = 30$.Vị trí của ${Q_3} = \frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}$

Giá trị này rơi vào nhóm [30; 35). Đây là nhóm chứa ${Q_3}$.

Áp dụng công thức: ${Q_3} = {u_m} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_m}}} \cdot \left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 30 + \frac{{30 - 14}}{{25}} \cdot 5 = 30 + \frac{{16}}{5} = 30 + 3{,}2 = 33{,}2$.

a) Đúng. Ta có hệ số góc băng $f\left( \pi \right) = \sin \pi + 2\pi = 2\pi$.

b) Đúng. Họ nguyên hàm của $f\left( x \right)$ là $F\left( x \right) = \int {\left( {\sin x + 2x} \right)dx} = - \cos x + {x^2} + C$ (với C là hằng số).

c) Sai. Ta có $F\left( x \right) = - \cos x + {x^2} + C$

$F\left( 0 \right) = 4 \Leftrightarrow - cos0 + 0 + C = 4 \Rightarrow C = 5$

$F\left( x \right) = - \cos x + {x^2} + 5$.

d) Đúng. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi miền phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng có phương trình $x = 0,\,x = \frac{\pi }{2}$ là

$V = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\sin x + 2x} \right)}^2}} dx = \pi \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\sin }^2}x + 4x\sin x + 4{x^2}} \right)} dx = \pi \left( {\frac{{{\pi ^3}}}{6} + \frac{\pi }{4} + 4} \right) \simeq 31{,}268620 \simeq 31$.

a) Sai.

Đáy bể là hình chữ nhật có chiều rộng $x$, chiều dài là 2$x$.

Diện tích đáy bể là: ${S_{{\rm{day}}}} = x \cdot 2x = 2{x^2}$.

Chi phí để xây phần đáy bể là: $500 \cdot 2{x^2} = 1000{x^2}$ (nghìn đồng).

Thể tích bể là $V = {S_{{\rm{d\'a y}}}} \cdot h = 2{x^2}h$. Do $V = 12$ nên $2{x^2}h = 12 \Rightarrow h = \frac{6}{{{x^2}}}$.

Diện tích xung quanh của bể (gồm 4 mặt bên, không nắp) là: ${S_{{\rm{xq}}}} = 2 \cdot (x \cdot h) + 2 \cdot (2x \cdot h) = 6xh$.

Chi phí để xây phần thành bể là: $300 \cdot 6xh = 1800xh$.

Thay $h = \frac{6}{{{x^2}}}$ vào, ta được chi phí xây thành bể là: $1800x \cdot \frac{6}{{{x^2}}} = \frac{{10800}}{x}$ (nghìn đồng).

Tổng chi phí xây dựng bể là:

$T(x) = 1000{x^2} + \frac{{10800}}{x}{\rm{ (ngh\`i n dong)}}$

Biểu thức của bài toán đưa ra bị sai ở hệ số của ${x^2}$.

b) Đúng.

Như đã chứng minh ở ý a), từ công thức thể tích $V = 2{x^2}h$ và giả thiết $V = 12$, ta có:

$2{x^2}h = 12 \Leftrightarrow {x^2}h = 6 \Leftrightarrow h = \frac{6}{{{x^2}}}$ ($m$).

c) Đúng.

Theo dữ kiện đề bài, đáy bể có chiều rộng là $x$, chiều dài gấp đôi chiều rộng nên là 2$x$.

Thể tích của bể nước hình hộp chữ nhật được tính bằng tích của diện tích đáy và chiều cao:

$V = (x \cdot 2x) \cdot h = 2{x^2}h$ (${m^3}$).

d) Đúng.

Xét hàm số chi phí $T(x) = 1000{x^2} + \frac{{10800}}{x}$ với điều kiện $x > 0$.

Ta có đạo hàm:

$T'(x) = 2000x - \frac{{10800}}{{{x^2}}} = \frac{{2000{x^3} - 10800}}{{{x^2}}}$

Cho $T'(x) = 0 \Leftrightarrow 2000{x^3} - 10800 = 0 \Leftrightarrow {x^3} = 5{,}4 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{5{,}4}}$ (thỏa mãn $x > 0$).

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số $T(x)$ liên tục trên khoảng $(0; + \infty )$ và đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = \sqrt[3]{{5{,}4}}$.

Khi đó, chi phí tối thiểu để xây bể là: $T(\sqrt[3]{{5{,}4}}) = 1000{(\sqrt[3]{{5{,}4}})^2} + \frac{{10800}}{{\sqrt[3]{{5{,}4}}}} \approx 9233{,}87$.

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo yêu cầu bài toán, tổng chi phí tối thiểu là 9234 (nghìn đồng).

(a) Đúng.

Ta có: $\overrightarrow {AD} = \left( {1;0; - 2} \right)$.

(b) Đúng.

Gọi $B\prime \left( {x;y;z} \right)$

Do $ABB\prime A\prime$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AA\prime } = \overrightarrow {BB\prime }$.

$\overrightarrow {AA\prime } = \left( { - 1;2; - 1} \right)$.

$\overrightarrow {BB\prime } = \left( {x;y - 2;z - 4} \right)$.

Từ $\overrightarrow {BB\prime } = \overrightarrow {AA\prime } \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1}\\{y - 2 = 2}\\{z - 4 = - 1}\end{array}} \right.$$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1}\\{y = 4}\\{z = 3}\end{array}} \right.$$\Rightarrow B\prime \left( { - 1;4;3} \right)$

(c) Sai.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3;1} \right)$ và $\overrightarrow {AD} = \left( {1;0; - 2} \right)$.

Tích vô hướng: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \left( { - 1} \right) \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot \left( { - 2} \right) = - 3$.

Vì $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} < 0$ nên góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AD}$ là góc tù.

(d) Sai.

Ta có:

$A'D{\rm{//}}B'C \subset \left( {CB'D'} \right)$$\Rightarrow A'D{\rm{//}}\left( {CB'D'} \right)$

$A'B{\rm{//}}D'C \subset \left( {CB'D'} \right)$$\Rightarrow A'B{\rm{//}}\left( {CB'D'} \right)$

Mặt phẳng $\left( {CB\prime D\prime } \right)$ đi qua $B\prime \left( { - 1;4;3} \right)$ và có cặp vectơ chỉ phương:

$\overrightarrow {A'D} = \left( {2; - 2; - 1} \right)$; $\overrightarrow {A'B} = \left( {0;1;2} \right)$.

Vectơ pháp tuyến $\vec n = \left[ {\overrightarrow {A\prime B} ,\overrightarrow {A\prime D} } \right] = \left( {3;4; - 2} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {CB\prime D\prime } \right)$: $3\left( {x + 1} \right) + 4\left( {y - 4} \right) - 2\left( {z - 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow 3x + 4y - 2z - 7 = 0$.

Đối chiếu với dạng $ax + by + cz - 7 = 0$, ta có $a = 3,b = 4,c = - 2$.

Khi đó $a + b - c = 3 + 4 - \left( { - 2} \right) = 9$.

a) (Đúng) Gọi $x,y$ lần lượt là số tấn sơn nội thất và sơn ngoài trời cần sản xuất $x \ge 0,y \ge 0$.

b) Gọi $x,y$ lần lượt là số tấn sơn nội thất và sơn ngoài trời cần sản xuất $x \ge 0,y \ge 0$.

Theo đề bài ta có $\left\{ \begin{array}{l}2x + y \le 6\\x + 2y \le 8\\x - y \le 1\\0 \le x \le 2\\y \ge 0\end{array} \right.$ .

b) (Sai) Biểu thức doanh thu $F\left( {x,y} \right) = 60x + 30y$

Dựa vào đồ thị ta có các điểm $A\left( {\frac{4}{3};\frac{{10}}{3}} \right),B\left( {2;2} \right),C\left( {2;1} \right),D\left( {0;4} \right);E\left( {1;0} \right);O\left( {0;0} \right)$;

Khi đó$F\left( {x;y} \right) = F\left( {0;0} \right) = 0$; $F\left( {x;y} \right) = F\left( {\frac{4}{3};\frac{{10}}{3}} \right) = 180$; $F\left( {x;y} \right) = F\left( {2;2} \right) = 180$; $F\left( {x;y} \right) = F\left( {0;4} \right) = 120$; $F\left( {x;y} \right) = F\left( {1;0} \right) = 60$

c) (Đúng) Do đó $MaxF\left( {x;y} \right) = 180$.

d) (Đúng) Ta có $x + y \le 4{,}5$.

Doanh thu lớn nhất khi $MaxF\left( {x;y} \right) = F\left( {\frac{4}{3};\frac{{10}}{3}} \right) = F\left( {2;2} \right) = 180$ đều thỏa mãn$x + y \le 4{,}5$ .

Vì $0 \le x \le 2$ nên lượng sơn nội thất cần sản suất ít nhất là $1{,}4$ tấn.

Đáp án: 8,94.

$y' = 3{x^2} - 12x + 9$

$y' = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.$.

Hai điểm cực trị là $A\left( {1;5} \right),\,\,B\left( {3;1} \right)$.

$\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 4} \right) \Rightarrow AB = 2\sqrt 5$.

Độ dài thực tế của khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ là $2.2\sqrt 5 = 8{,}94$ mét.

Đáp án: $162$

Chỉ số tại thời điểm bắt đầu dự báo vào tháng 1 năm 2020 là $CP{I_0} = \,118{,}09$

Vào tháng 1 năm 2030, tương ứng sau 10 năm, tức là $n = 10$, chỉ số CPI là

$CP{I_{10}} = CP{I_0}{(1 + g)^{10}} = 118{,}09{(1 + 3{,}21\% )^{10}}\, \approx 162$.

Đáp án: 15

Thay $S\left( t \right) = \frac{{10t + 5}}{{t + 1}}$ vào $V\left( S \right) = \frac{{5S}}{{S + 2}}$, ta được $V\left( t \right) = \frac{{5\left( {\frac{{10t + 5}}{{t + 1}}} \right)}}{{\frac{{10t + 5}}{{t + 1}} + 2}}$$= \frac{{50t + 25}}{{12t + 7}}$.

Khi thời gian $t$ kéo dài, tốc độ sinh trưởng $V$ tăng dần và ổn định quanh một ngưỡng $K$ nhất định

Suy ra ngưỡng $K$ chính là giới hạn của tốc độ sinh trưởng khi thời gian $t$ tiến ra vô hạn $\left( {t \to + \infty } \right)$

$K = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } V\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{50t + 25}}{{12t + 7}} = \frac{{50}}{{12}} = \frac{{25}}{6}$

Theo yêu cầu bài toán, ta cần tìm $t$ sao cho $V\left( t \right) = 90\% \cdot K$$= 0{,}9 \cdot \frac{{25}}{6} = \frac{9}{{10}} \cdot \frac{{25}}{6} = 3{,}75$.

Ta có phương trình $\frac{{50t + 25}}{{12t + 7}} = 3{,}75$

$\Leftrightarrow 50t + 25 = 3{,}75 \cdot \left( {12t + 7} \right)$

$\Leftrightarrow t = 0{,}25\;$(giờ)$= 15\;$(phút)

Vậy sau $15$ phút thì tốc độ sinh trưởng của vi khuẩn sẽ đạt $90\%$ ngưỡng ổn định $K$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $O$ là trung điểm chân cổng, trục $Oy$ thẳng đứng, đơn vị là mét.

Khi đó vòm cổng là một parabol có đỉnh $I(0;4)$, đi qua hai điểm $( - 2;0)$ và $(2;0)$, nên có phương trình $y = - {x^2} + 4.$

Suy ra tại độ cao $y$, bề rộng cổng là $2x = 2\sqrt {4 - y} .$

Gọi ${S_n}$ là diện tích lớp thứ $n(n = 1{,}2, \ldots ,8)$.

Mỗi lớp cao $0{,}5\;m$ nên ${S_n} = \int_{0{,}5(n - 1)}^{0{,}5n} 2 \sqrt {4 - y} dy = \frac{4}{3}\left[ {{{(4 - 0{,}5(n - 1))}^{3/2}} - {{(4 - 0{,}5n)}^{3/2}}} \right]$

Đơn giá ốp Alu của lớp thứ $n$ là ${c_n} = 400 + 50(n - 1)$ (nghìn đồng/m2)

Vì lối đi hình chữ nhật ở giữa rộng 2 m, cao 2 m nên nó chiếm đúng 4 lớp đầu; trong mỗi lớp đầu bị loại đi diện tích $2 \cdot 0{,}5 = 1\;{m^2}.$

Do đó tổng chi phí là $T = \sum\limits_{n = 1}^8 {{S_n}} {c_n} - (400 + 450 + 500 + 550).$ Suy ra được $T \approx 3814{,}4.$

Vậy chi phí cần tìm là 3814 nghìn đồng.

Đáp án: 73,5

Phương trình mặt chắn của $\left( P \right)$ là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ (1)

Ta có $|OA| = a$, $|OB| = b,|OC| = c$với $a,b,c > 0$

Vì $OA = 2OB = 4OC$ nên $a = 2b = 4c\quad (2)$

Từ (1), (2) ta có: $\frac{x}{{4c}} + \frac{y}{{2c}} + \frac{z}{c} = 1$

$\Leftrightarrow x + 2y + 4z - 4c = 0{\rm{ }}\left( P \right)$.

$\left( P \right)$ qua điểm $M$ nên: $2 + 2 \cdot 4 + 4 \cdot 8 - 4c = 0$$\Leftrightarrow c = 10{,}5$.

Vậy $a = 42,b = 21,c = \frac{{21}}{2}$.

$T = a + b + c = 73{,}5$.

Đáp án: 2371

Gọi ${X_0}$là tập hợp các số thuộc $X$chia hết cho $3$ ( chia $3$ dư $0$) $\Rightarrow {X_0} = \left\{ {3;6} \right\}$

${X_1}$là tập hợp các số thuộc $X$chia $3$ dư $1$$\Rightarrow {X_1} = \left\{ {1;4;7} \right\}$

${X_2}$là tập hợp các số thuộc $X$chia $3$ dư $2$ $\Rightarrow {X_2} = \left\{ {2;5;8} \right\}$

Số tự nhiên có $4$chữ số được lập từ tập $X$là $\overline {abcd}$

Theo giả thiết $a,b,c,d$đều có $8$cách chọn nên số các số tự nhiên có 4 chữ số lập được là ${8^4} = 4096$

Để $\overline {abcd}$chia hết cho $3$thì tổng của $4$chữ số phải chia hết cho $3$ do đó ta có các trường hợp

TH1: cả $4$chữ số đều chia hết cho $3$khi đó $a,b,c,d$thuộc ${X_0}$ do đó số các số TN lập được là ${2^4} = 16$

TH2: Có 2 chữ số chia hết cho $3$, $1$chữ số chia $3$ dư 1, 1 chữ số chia 3 dư 2

Số các số TN lập được là $C_4^2{.2^2}.C_2^1.3.3 = 432$

TH3: Có 3 chữ số chia 3 dư 1 và có 1 chữ số chia hết cho 3

Số các số TN lập được là $C_4^3{.3^3}.2 = 216$ (số)

TH4: có 3 chữ số chia 3 dư 2 và 1 chữ số chia hết cho 3

Số các số TN lập được là $C_4^3{.3^3}.2 = 216$ (số)

TH5: Có 2 chữ số chia 3 dư 1và 2 chữ số chia 3 dư 2

Số các số TN lập được là $C_4^2{.3^2}{.3^2} = 486$ (số)

Suy ra xác suất để chọn được số chia hết cho 3 là $P = \frac{{16 + 432 + 216 + 216 + 486}}{{4096}} = \frac{{683}}{{2048}}$.

Suy ra $a = 683,b = 2048$. Vậy $T = a + b = 2731$.