Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở Hưng Yên có đáp án

Chọn B

Dựa vào công thức tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ . Ta có $y' = \frac{{2 \cdot 2 - 1 \cdot \left( { - 2} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{6}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$.

Chọn D

Công thức tính thể tích hình lăng trụ $V = S.h \Rightarrow h = \frac{V}{S}$ mà $S = 4.4 = 16 \Rightarrow h = \frac{{32}}{{16}} = 2$

Chọn B

Dựa vào đồ thị hàm số, $y = 2$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Chọn C

Theo quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \Rightarrow$ Độ dài của véc tơ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'}$ bằng độ dài đường chéo $AC' = \sqrt 3$.

Chọn D

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng ${Q_3} - {Q_1}$.

Chọn D

Gọi tọa độ $B\left( {x;y;z} \right)$.

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \left( {x;y + 1,z - 1} \right) = \overrightarrow u \left( {3; - 1;2} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y + 1 = - 1\\z - 1 = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 2\\z = 3\end{array} \right.\end{array}$

$\Rightarrow B\left( {3; - 2;3} \right)$.

Chọn C

Tọa độ $\overrightarrow {OM} = - 2\overrightarrow i + \overrightarrow j + 3\overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \left( { - 2;1;3} \right)$.

Tọa độ điểm M là $M\left( { - 2;1;3} \right)$.

Chọn A

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: $R = 180 - 155 = 25$.

ĐKXĐ $x > \frac{7}{4}$.

Phương trình tương đương: $(4x - 7) = {3^2} \Leftrightarrow 4x - 7 = 9 \Leftrightarrow x = 4$

Vậy nghiệm của phương trình $x = 4$.

Chọn B

Xét hàm số $y = 2{x^3} + x - 5 \Rightarrow y' = 6{x^2} + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

Đáp án: Sai/Sai/Sai/Đúng.

Tổng số học sinh của mỗi khối 10; 11 đều bằng 540 $\Rightarrow {N_{K10}} = {N_{K11}} = 540$.

a) Điểm trung bình của khối 11 là:

$\overline {{x_{K11}}} = \frac{{1{,}5.1 + 2{,}5.4 + 3{,}5.35 + 4{,}5.86 + 5{,}5.117 + 6{,}5.112 + 7{,}5.102 + 8{,}5.64 + 9{,}5.19}}{{540}} = \frac{{1691}}{{270}} \approx 6{,}26$

Vậy a) là mệnh đề sai.

b)

Ta có: $\frac{{{N_{K10}}}}{4} = 135 \Rightarrow$ Xét nhóm 3 có: $r = 3,\,\,c{f_2} = 63,\,\,{n_3} = 118,\,\,d = 1$.

${Q_1} = 3 + \frac{{135 - 63}}{{118}}.1 = \frac{{213}}{{59}}$

Ta có: $\frac{{3{N_{K10}}}}{4} = 405 \Rightarrow$ Xét nhóm 6 có: $r = 6,\,\,c{f_5} = 397,\,\,{n_6} = 62,\,\,d = 1$.

${Q_3} = 6 + \frac{{405 - 379}}{{62}}.1 = \frac{{199}}{{31}}$

Vậy $\Delta {Q_{K10}} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{199}}{{31}} - \frac{{213}}{{59}} \approx 2{,}81$.

Vậy b) là mệnh đề sai.

c) Khối 10:

$\overline {{x_{K10}}} = \frac{{1{,}5.11 + 2{,}5.52 + 3{,}5.118 + 4{,}5.121 + 5{,}5.95 + 6{,}5.62 + 7{,}5.47 + 8{,}5.27 + 9{,}5.7}}{{540}} = \frac{{1339}}{{270}}$

$\Rightarrow {s_{K10}} \approx 1{,}77$

Khối 11: $\overline {{x_{K11}}} = \frac{{1691}}{{270}} \Rightarrow {s_{K11}} \approx 1{,}59$

Ta thấy: ${s_{K10}} > {s_{K11}}$. Suy ra, học sinh khối 11 có điểm đồng đều hơn điểm học sinh khối 10.

Vậy c) là mệnh đề sai.

d) $R = 10 - 1 = 9$.

Vậy d) là mệnh đề đúng.

Đáp án: Sai/ Đúng/ Đúng/ Sai/.

a) Số học sinh chỉ giỏi một môn Ngoại ngữ là: $20 - 10 = 10$ (Học sinh).

Xác suất để chọn được học sinh chỉ giỏi một môn Ngoại ngữ là $\frac{{10}}{{50}} = 0{,}2$.

Nên a) sai.

b) Số học sinh giỏi cả Ngoại ngữ và Tin học là 10 học sinh.

Xác suất để chọn được học sinh giỏi cả Ngoại ngữ và Tin học là $\frac{{10}}{{50}} = 0{,}2$.

Nên b) đúng.

c) Số học sinh giỏi Ngoại ngữ là 20 học sinh.

Xác suất để chọn được học sinh giỏi Ngoại ngữ là $\frac{{20}}{{50}} = 0{,}4$.

Nên c) đúng.

d) Số học sinh giỏi Ngoại ngữ hoặc Tin học là: $20 + 15 - 10 = 25$ (Học sinh).

Xác suất để chọn được học sinh giỏi Ngoại ngữ hoặc Tin học là $\frac{{25}}{{50}} = 0{,}5$.

Nên d) sai.

Ta có hàm số $f(x) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{ 1\}$.

Đạo hàm: $f'(x) = \frac{{(x - 1) - (x - 2)}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}$.

a) Sai. Hàm số không đồng biến trên khoảng $( - \infty ; + \infty )$ vì nó không liên tục tại $x = 1$.

b) Đồ thị $(C)$ như hình vẽ dưới đây.

Ta xác định các yếu tố của đồ thị hàm số $f(x) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}$:

Tiệm cận đứng: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = + \infty$. Vậy đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng.
Tiệm cận ngang: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 - \frac{2}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 1$. Vậy đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang.

Giao điểm với trục $Ox$: Cho $f(x) = 0 \Rightarrow x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$. Điểm $(2;0)$.

Giao điểm với trục $Oy$: Cho $x = 0 \Rightarrow f(0) = \frac{{0 - 2}}{{0 - 1}} = 2$. Điểm $(0;2)$.

So sánh với hình vẽ, đồ thị trong hình vẽ có tiệm cận đứng $x = 1$, tiệm cận ngang $y = 1$, đi qua điểm $(2;0)$ và $(0;2)$, và có hình dạng của một hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có đạo hàm dương. Do đó, khẳng định b) là Đúng.

c) Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = |f(x)|$ trên đoạn $\left[ {\frac{3}{2};3} \right]$. Khi đó: $2M + 2026m = 2027$.

Xét hàm số $f(x) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}$ trên đoạn $\left[ {\frac{3}{2};3} \right]$.

Ta có $f'(x) = \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0$ với mọi $x \in \left[ {\frac{3}{2};3} \right]$.

Do đó, $f(x)$ là hàm đồng biến trên đoạn $\left[ {\frac{3}{2};3} \right]$.

Các giá trị của $f(x)$ trên đoạn này là: $f\left( {\frac{3}{2}} \right) = - 1$; $f(3) = \frac{1}{2}$.

Vậy, trên đoạn $\left[ {\frac{3}{2};3} \right]$, $f(x) \in \left[ { - 1;\frac{1}{2}} \right]$.

Bây giờ xét hàm số $y = |f(x)|$.

Khi $f(x) \in \left[ { - 1;\frac{1}{2}} \right]$, giá trị của $|f(x)|$ sẽ là:

Nếu $f(x) = - 1$, thì $|f(x)| = | - 1| = 1$. (Tại $x = \frac{3}{2}$)

Nếu $f(x) = 0$, thì $|f(x)| = |0| = 0$. (Tại $x = 2$)

Nếu $f(x) = \frac{1}{2}$, thì $|f(x)| = \left| {\frac{1}{2}} \right| = \frac{1}{2}$. (Tại $x = 3$)

Do $f(x)$ tăng từ $- 1$ đến $0$ rồi đến $\frac{1}{2}$, nên $|f(x)|$ sẽ giảm từ $1$ xuống $0$ (tại $x = 2$) rồi tăng lên $\frac{1}{2}$ (tại $x = 3$).

Vậy, giá trị lớn nhất của $|f(x)|$ trên đoạn $\left[ {\frac{3}{2};3} \right]$ là $M = 1$.

Giá trị nhỏ nhất của $|f(x)|$ trên đoạn $\left[ {\frac{3}{2};3} \right]$ là $m = 0$.

Suy ra: $2M + 2026m = 2(1) + 2026(0) = 2$. Vì $2 \ne 2027$, khẳng định c) là Sai.

d) Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận ngang $y = 1$ và đường tiệm cận đứng $x = 1$.

Như đã phân tích ở câu b), hàm số $f(x) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}$ có:

Tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 1$.

Tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 1$.

Do đó, khẳng định d) là Đúng.

a) Sai.

Do $SA = SB = AB = 3\sqrt 2$ nên $\Delta SAB$ đều, có trọng tâm $G$$\Rightarrow BG = 3\sqrt 2 \times \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}$.

b) Đúng.

c) Sai.

Hình vuông $ABCD$ có $AB = 3\sqrt 2 \Rightarrow OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{3\sqrt 2 \times \sqrt 2 }}{2} = 3 \Rightarrow C\left( {0;3;0} \right)$.

d) Đúng.

Ta có: $A\left( {0; - 3;0} \right)$, $B\left( {3;0;0} \right)$, $SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2} - {3^2}} = 3 \Rightarrow S\left( {0;0;3} \right)$.

Suy ra, tọa độ trọng tâm: $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{0 + 3 + 0}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{ - 3 + 0 + 0}}{3} = - 1\\{z_G} = \frac{{0 + 0 + 3}}{3} = 1\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {1; - 1;1} \right)$.

Gọi $G'$ là điểm đối xứng với $G$ qua mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$$\Rightarrow G'\left( { - 1; - 1;1} \right)$.

Xét $KG + KB = KG' + KB \ge G'B$, dấu bằng xảy ra khi ba điểm $B$, $K$, $G'$ thẳng hàng.

Khi đó: $\overrightarrow {G'K} = \left( {1;m + 1;n - 1} \right)$ cùng phương với $\overrightarrow {G'B} = \left( {4;1; - 1} \right)$

$\Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{{m + 1}}{1} = \frac{{n - 1}}{{ - 1}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \frac{3}{4}\\n = \frac{3}{4}\end{array} \right. \Rightarrow {m^2} + {n^2} = \frac{9}{8}$.

Đáp án: $3$.

Ta có $y' = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.$

$x = 0 \Rightarrow y = - 2$ và $x = - 2 \Rightarrow y = - 6$

Þ Toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị $\left( C \right)$ là $A\left( {0; - 2} \right),B\left( { - 2; - 6} \right)$

Þ $AB = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5$

Ta có phương trình đường thẳng $AB$ là $y = 2x - 2$ hay $2x - y - 2 = 0$.

Þ Khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $AB$ là $d\left( {M,AB} \right) = \frac{{\left| {2.1 - \left( { - 3} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 5 }}$

Þ Diện tích của tam giác $MAB$ là ${S_{\Delta MAB}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {M,AB} \right) = \frac{1}{2}.2\sqrt 5 .\frac{3}{{\sqrt 5 }} = 3$.

Đáp án: $2026$.

Theo bài ra, điểm $M$ thuộc đoạn $BC$ thỏa mãn $2BM = MC$ nên ta có: $2\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {MC}$.

$\Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM}$.

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow {AM} - 2\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM}$.

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)$.

Mà $2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \left( {3;\, - 3;\, - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \left( {1;\, - 1;\, - 1} \right)$.

Khi đó: $a = 1;\,b = c = - 1$.

Vậy: $26.1 + \left( { - 1} \right) - 2001.\left( { - 1} \right) = 2026$.

Đáp án: $0{,}16$.

Vì $SM = 3MB,NC = 2NS$ nên $\overrightarrow {AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AS} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {CS} + \frac{3}{4}\overrightarrow {CB}$,

Vì $AN$ vuông góc với $CM$ nên

$$\begin{array}{l}\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {CM} = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AS} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {CS} + \frac{3}{4}\overrightarrow {CB} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{6}\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CS} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CB} + \frac{1}{{12}}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CS} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{6}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \frac{1}{{12}}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CS} - \frac{1}{4}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 0\left( {do\;SA \bot CB} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{6}.\frac{{S{A^2} + S{C^2} - A{C^2}}}{2} - \frac{1}{{12}}.\frac{{C{A^2} + S{C^2} - S{A^2}}}{2} - \frac{1}{4}.\frac{{C{A^2} + C{B^2} - A{B^2}}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow S{A^2}.\frac{1}{8} + \frac{1}{{24}}.S{C^2} - \frac{1}{{24}} - \frac{1}{{24}} - \frac{1}{8} = 0\\ \Leftrightarrow S{A^2}.\frac{1}{8} + \frac{1}{{24}}.\left( {S{A^2} + A{C^2}} \right) - \frac{1}{4} = 0\\ \Leftrightarrow SA = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\end{array}$$

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\frac{{{1^2}.\sqrt 3 }}{4} \approx 0{,}16$.

Yêu cầu bài toán:

Tìm ra chu trình Hamilton có tổng trọng số ngắn nhất: $A \to \ldots \to \ldots \to \ldots \to A$

Cách 1: Láng giềng gần (không phải cách chặt chẽ)

· Từ A có 3 sự lựa chọn:

o $\to C:15$

o $\to D:30$

o $\to B:42$

$\Rightarrow$ Chọn C vì 15 là nhỏ nhất.

· Từ C có 2 sự lựa chọn (không về A nữa):

o $\to B:34$

o $\to D:35$

$\Rightarrow$ Chọn B.

· Từ B có 1 sự lựa chọn (không về A, C nữa):

o $\to D:20$

· Từ D về A: 30

Tổng chu trình:

15 + 34 + 20 + 30 = 99

Cách 2: Loại bỏ đường đi (không dùng được cho mọi bài)

Nhận xét: Chu trình Hamilton luôn đi qua mỗi đỉnh đúng 1 lần $\to$ mỗi đỉnh sẽ có 1 đường vào, 1 đường ra.

Mà mỗi đỉnh trong 4 đỉnh lại có tận 3 đường (3 cạnh) nối với nó.

$\Rightarrow$ Loại bỏ 2 cạnh không chung đỉnh có tổng trọng số lớn nhất:

· Loại AB, CD: $42 + 35 = 77$ (Lớn nhất $\to$ Chọn bỏ)

· Loại AC, BD: $15 + 20 = 35$

· Loại AD, BC: $30 + 34 = 64$

$\Rightarrow$ Chọn bỏ cạnh AB và CD.

Tổng trọng số:

= (Tất cả các cạnh) - (AB + CD)

$= 176 - 77 = {\bf{99}}$.

Đáp án: 99.

Đáp án: 28,3.

Gọi $O$ là tâm hình chữ nhật $ABCD$. Ta có $SO \bot \left( {ABCD} \right)$, $\left( {SA,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SAO} = 45^\circ$

Khi đó $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO}$

Theo đầu bài ta có $\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} } \right| = \left| {\overrightarrow P } \right| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} } \right| = 80 \Leftrightarrow 4\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = 80 \Rightarrow SO = 20$

Xét tam giác $SAO$ vuông tại $O$ có

$\sin \widehat {SAO} = \frac{{SO}}{{SA}} \Rightarrow SA = \frac{{SO}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{20}}{{\sin 45^\circ }} = 20\sqrt 2 \approx 28{,}3$.

Vậy cường độ lực căng của mỗi sợi dây cáp là khoảng $28{,}3kN.$

Đáp án: 50.

Lợi nhuận mà $A$ thu được khi bán $x$ tấn sản phẩm $(0 \le x \le 100)$ cho $B$ là

$H(x) = xP(x) - C(x) = x(90 - 0{,}01{x^2}) - (100 + 15x) = - 0{,}01{x^3} + 75x - 100$

$H(x) = - 0{,}01{x^3} + 75x - 100$

$H\prime (x) = - 0{,}03{x^2} + 75$

$H'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 50\\x = - 50\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có $A$ bán cho $B$ $50$ tấn sản phẩm thì lợi nhuận là lớn nhất.