Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Phú Thọ lần 2 có đáp án

Chọn D

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu đã cho là $[22;24)$.

Chọn A

$n\left( \Omega \right) = C_{12}^2$.

Gọi biến cố A: “Lấy được 2 viên bi màu đỏ”, có: $n\left( A \right) = C_5^2$.

Xác suất $P\left( A \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_{12}^2}} = \frac{5}{{33}}$.

Chọn D

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {4;2; - 4} \right)$.

Đường thẳng đi qua hai điểm $A(1;2;3),B(5;4; - 1)$ và có vecto chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)$.

Vậy phương trình chính tắc là $\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}$.

Chọn A

$\int_2^5 {\left[ {f(x) - 2g\left( x \right)} \right]} dx = 2 - 2.5 = - 8$.

Chọn A

+/ ĐKXĐ: $x \in \mathbb{R}$

+/ Ta có: $\sqrt {2{x^2} + x + 3} = 1 - x\,\,\,\left( * \right)$

$\Rightarrow 2{x^2} + x + 3 = {\left( {1 - x} \right)^2}$$\Rightarrow 2{x^2} + x + 3 = 1 - 2x + {x^2}$$\Rightarrow {x^2} + 3x + 2 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\left( {t/m\,\,\,\left( * \right)} \right)\\x = - 2\,\,\left( {t/m\,\,\,\left( * \right)} \right)\end{array} \right.$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng $- 3$.

Chọn C

${u_{10}} = {u_1} + 9d = - 2 + 9.3 = 25$.

Chọn B

$f'\left( x \right) = {\left( {\sin x + \cos \left( {3x} \right)} \right)^\prime } = \cos x - {\left( {3x} \right)^\prime }\sin 3x = \cos x - 3\sin 3x$.

Chọn A

${\log _{\frac{1}{3}}}\left( {2x - 1} \right) > - 2$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0\\2x - 1 < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 2}}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\2x < 10\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\x < 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 5$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {\frac{1}{2};5} \right)$.

Chọn A

Ta có $f'\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

Chọn A

Ta có$f\left( x \right) = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}$ $\Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ và $f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left[ {2;5} \right]$.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}$ trên đoạn $\left[ {2;5} \right]$ bằng $f\left( 5 \right) = \frac{{13}}{4}$.

Chọn B

Ta có $\sin x = 0$ $\Leftrightarrow x = k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$.

Tập nghiệm của phương trình $\sin x = 0$ là $S = \left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Chọn A

Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'}$$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = AC'$.

Mà $AC' = \sqrt {A'{A^2} + A'{{B'}^2} + A'{{D'}^2}}$$= \sqrt {{6^2} + {2^2} + {3^2}} = 7$.

Vậy độ dài vectơ $\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {AD}+ \overrightarrow {AA'}$bằng $7$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {1;\, - 1;\, - 4} \right);\,\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;\, - 3;\, - 4} \right)$

$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 8;\,8;\, - 4} \right) = - 4\left( {2;\, - 2;\,1} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$: $2\left( {x - 0} \right) - 2\left( {y - 1} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0$.

$\Leftrightarrow 2x - 2y + z + 1 = 0$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;\,0;\, - 1} \right)$, bán kính $R = 2$.

a. Đúng

Ta có: $h = d\left( {I;\,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2.0 - 1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}$.

Bán kính của đường tròn giao tuyến bằng $r = \sqrt {{R^2} - {h^2}} = \sqrt {{2^2} - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}$.

b. Sai

$\left( {ABC} \right):2x - 2y + z + 1 = 0$

c. Đúng

$\overrightarrow {AB} = \left( {1;\, - 1;\, - 4} \right)$.

d. Sai

Tọa độ trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$ là $G\left( {0;\, - \frac{1}{3};\, - \frac{5}{3}} \right)$.

Khi đó: $0 + \left( { - \frac{1}{3}} \right) + \left( { - \frac{5}{3}} \right) = - 2$.

a) Sai

Tại thời điểm đúng $t$ tuần sau khi trồng, chiều cao của cây cà chua là

$h(t) = \int {h'(t)dt = \int {( - 0{,}02{t^3} + 0{,}32{t^2})dt} } = - \frac{{{t^4}}}{{200}} + \frac{{32{t^3}}}{{300}} + C$ ($C$ là hằng số)

Theo giả thiết, khi mới trồng cây cà chua có chiều cao 15cm tức là $h(0) = 15$$\Rightarrow C = 15$

Vậy tại thời điểm đúng $t$ tuần sau khi trồng, chiều cao của cây cà chua là $h(t) = - \frac{{{t^4}}}{{200}} + \frac{{32{t^3}}}{{300}} + 15$

b) Sai

Ta có $h''(t) = - 0{,}06{t^2} + 0{,}64t,h''(t) = 0 \Leftrightarrow - 0{,}06{t^2} + 0{,}64t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \frac{{32}}{3}\end{array} \right.$

Bảng biến thiên của hàm số $h'(t)$

Qua bảng biến thiên ta thấy tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua lớn nhất đạt tại thời điểm $t = \frac{{32}}{3}$, khi đó chiều cao của cây cà chua là $h\left( {\frac{{32}}{3}} \right) \approx 79{,}73(cm)$.

c) Đúng

Tốc độ tăng chiều cao trung bình của cây cà chua trong khoảng thời gian 10 tuần đầu kể từ khi trồng là $h{}_{tb} = \frac{{h(10) - h(0)}}{{10 - 0}} \approx 5{,}67$(cm/tuần) .

d) Đúng

Tại thời điểm đúng 6 tuần sau khi trồng, chiều cao của cây cà chua là $h(6) = 31{,}56$(cm).

Gọi các biến cố:

· A: "Công ty trúng thầu dự án thứ nhất".

· B: "Công ty trúng thầu dự án thứ hai".

Theo đề bài, ta có các dữ kiện sau:

$$\begin{array}{l}P\left( A \right) = 0{,}8 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2.\\P\left( {B|A} \right) = 0{,}9 \Rightarrow P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0{,}9 = 0{,}1.\\P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}2 \Rightarrow P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8.\end{array}$$

-Xác suất để công ty không trúng thầu dự án thứ nhất là: $P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2.$

- Xác suất để công ty trúng thầu cả hai dự án là:$P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) = 0{,}8 \cdot 0{,}9 = 0{,}72$.

- Xác suất để công ty trúng thầu dự án thứ hai là

$P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}8 \cdot 0{,}9 + 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}72 + 0{,}04 = 0{,}76$.

- Nếu công ty không trúng thầu dự án thứ hai thì xác suất trúng thầu dự án thứ nhất là

$P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {A\overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {\overline B |A} \right)}}{{1 - P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}08}}{{0{,}24}} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333$.

Kết luận: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng

a) Đúng.

Ta có

$$y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + 4}}{{x - 1}} = x - 2 + \frac{4}{{x - 1}}$$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {y - \left( {x - 2} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{4}{{x - 1}}} \right) = 0$ nên đường tiệm cận xiên là $y = x - 2$.

Suy ra $a = 1,b = - 2$. Khi đó $a - 2b = 5$.

b) Đúng.

Ta có $y' = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$, cho $y' = 0 \Rightarrow x = - 1;x = 3$

Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hai điểm cực trị lần lượt là $A\left( { - 1; - 5} \right)$ và $B\left( {3;3} \right)$

Phương trình đi qua hai điểm cực trị này có dạng:

$\frac{{x + 1}}{{3 + 1}} = \frac{{y + 5}}{{3 + 5}} \Leftrightarrow 2\left( {x + 1} \right) = y + 5 \Leftrightarrow y = 2x - 3$.

Cách trắc nghiệm:

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng: $y = \frac{{{{\left( {{x^2} - 3x + 6} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^\prime }}} = 2x - 3$.

c) Đúng.

Phương trình đường thẳng $AB$ là: $y = 2x - 3 \Leftrightarrow 2x - y - 3 = 0$

Ta có: $d\left( {O;AB} \right) = \frac{{\left| {2.0 - 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}$, $AB = \sqrt {{{\left( {3 + 1} \right)}^2} + {{\left( {3 + 5} \right)}^2}} = 4\sqrt 5$

Suy ra diện tích tam giác $OAB$ là: ${S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}.AB.d\left( {O;AB} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{3\sqrt 5 }}{5}.4\sqrt 5 = 6$.

Cách trắc nghiệm:

Diện tích tam giác $OAB$ là: $S = \frac{1}{2}\left| {{x_A}{y_B} - {y_A}{x_B}} \right| = \frac{1}{2}\left| { - 1.3 - \left( { - 5} \right).3} \right| = 6$.

d) Sai. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên từng khoảng $\left( { - 1;1} \right)$ và $\left( {1;3} \right)$.

Đáp án: 446

Ta có lợi nhuận của doanh nghiệp là

$R\left( x \right) = F\left( x \right) - xG\left( x \right) = - 0{,}03{x^2} + 800x - 450x - 50000$$= - 0{,}03{x^2} + 350x - 50000$

Để lợi nhuận lớn hơn $100$ triệu đồng ta có

$- 0{,}03{x^2} + 350x - 50000 > 100000$$\Leftrightarrow - 0{,}03{x^2} + 350x - 150000 > 0$

$\Leftrightarrow$$445{,}59 < x < 11221{,}07$, $x \in {\mathbb{N}^*}$

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất $446$ sản phẩm.

Đáp án: 864

Đáy ABCD là hình thoi có $\widehat {ABC} = 60^\circ \Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác đều.

Gọi độ dài cạnh hình thoi là $x$.

Vì $C'A = C'B = C'C$ nên hình chiếu vuông góc của C' lên mặt đáy (ABC) phải cách đều 3 đỉnh A, B, C. Tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ đều chính là trọng tâm G của tam giác đó.

Suy ra $C'G \bot (ABCD)$ và C'G chính là chiều cao $h$ của lăng trụ.

Gọi M là trung điểm của BC. Trong $\Delta ABC$ đều, $AM \bot BC$ và điểm G nằm trên AM. Do đó $GM \bot BC$.

Ta có $BC \bot C'G$ và $BC \bot GM \Rightarrow BC \bot (C'GM) \Rightarrow BC \bot C'M$.

Góc giữa hai mặt phẳng (BCC'B') và (ABC) chính là $\widehat {C'MG} = 45^\circ$.

Xét $\Delta C'GM$ vuông tại $G$, có $\widehat {C'MG} = 45^\circ$ nên là tam giác vuông cân $\Rightarrow h = C'G = GM$.

Ta có $AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow GM = \frac{1}{3}AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}$. Vậy $h = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}$.

Vì $AA'\parallel CC'$ nên $AA'\parallel (BCC'B')$. Do đó, khoảng cách $d(AA',BC) = d(A,(BCC'B')) = 6\sqrt 3$.

Trong mặt phẳng $(C'AM)$, kẻ $AH \bot C'M$ tại $H$. Vì $BC \bot (C'AM)$ nên $BC \bot AH$. Suy ra $AH \bot (BCC'B')$. Khoảng cách chính là đoạn $AH = 6\sqrt 3$.

Gọi $K$ là hình chiếu của $G$ lên C'M. Do A, G, M thẳng hàng và $AM = 3GM$ nên $d(A,(BCC'B')) = 3d(G,(BCC'B')) \Rightarrow AH = 3GK$.

Trong $\Delta C'GM$ vuông cân tại $G$: $GK = \frac{{C'G \cdot GM}}{{\sqrt {C'{G^2} + G{M^2}} }} = \frac{{GM}}{{\sqrt 2 }}$.

Ta có phương trình: $AH = 3 \cdot \frac{{GM}}{{\sqrt 2 }} = 6\sqrt 3 \Rightarrow GM = 2\sqrt 6$.

Thay $GM = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}$ vào, ta được: $\frac{{x\sqrt 3 }}{6} = 2\sqrt 6 \Rightarrow x = 12\sqrt 2$.

Suy ra chiều cao $h = GM = 2\sqrt 6$.

Diện tích đáy (hình thoi ABCD) bằng 2 lần diện tích $\Delta ABC$:

${S_{ABCD}} = 2 \cdot \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{(12\sqrt 2 )}^2}\sqrt 3 }}{2} = 144\sqrt 3$.

Thể tích khối lăng trụ: $V = {S_{ABCD}} \cdot h = 144\sqrt 3 \cdot 2\sqrt 6 = 288\sqrt {18} = 864\sqrt 2$.

Theo đề bài $V = a\sqrt 2$, ta suy ra $a = 864$.

Đáp án: 130

$$\begin{array}{l}\overrightarrow {AC'} {\,^2} = \,{\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,A{B^2} + A{D^2} + A{{A'}^2} + 2AB.AD.\cos 90^\circ + 2AB.AA'.\cos 60^\circ + 2AD.AA'.\cos 60^\circ \end{array}$$

$$= 9 + 16 + 25 + 15 + 20 = \,85\, \Rightarrow \,AC' = \sqrt {85}$$

${\overrightarrow {D'C} ^2} = {\overrightarrow {A'B} ^2} = A'{B^2} = A{A'^2} + A{B^2} - 2.AA'.AB.\cos 60^\circ = \,25 + 9 - 15 = 19\,$$\Rightarrow \,D'C = \sqrt {19}$

$$\overrightarrow {AC'} .\,\overrightarrow {D'C} \,\, = \,\,\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} } \right)\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} } \right)\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AD} } \right)$$

$$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} } \right)\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AA'} } \right) - \,\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} } \right)\overrightarrow {AD}$$

$$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,A{C^2} - A{A'^2} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD}$$

$$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,25\, - 25\, - \,AC\,.\,AD\,.\,\frac{{AD}}{{AC}} - AA'.AD.\cos 60^\circ$$

$$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \, - 16 - 10 = - 26$$

$\cos \left( {\overrightarrow {AC'} ,\overrightarrow {D'C} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AC'} .\,\overrightarrow {D'C} }}{{AC'.\,D'C}} = - \frac{{26}}{{\sqrt {85} .\sqrt {19} }}\,$.

$$\Rightarrow \,\left( {\overrightarrow {AC'} ,\overrightarrow {D'C} } \right) \approx 130^\circ \,$$

Đáp án: 3057

Tấm bìa hình vuông cạnh $40$ cm được chia thành:

• 4 hình chữ nhật ở giữa làm thân lồng đèn,

• 4 tam giác phía trên và 4 tam giác phía dưới tạo thành 2 hình chóp tứ giác đều.

Vì cạnh hình vuông là 40 và có 4 mặt bên bằng nhau nên cạnh đáy hình lăng trụ là $\frac{{40}}{4} = 10$ cm.

Đặt:

• $AH = KD = x$,

• chiều cao phần thân là $HK = 40 - 2x$.

Khi đó:

• phần thân là lăng trụ đáy vuông cạnh $10$, cao $40 - 2x$;

• mỗi đầu là một hình chóp tứ giác đều đáy cạnh $10$.

Với tam giác bên của chóp, đường cao mặt bên bằng $x$, nên chiều cao chóp là

$h = \sqrt {{x^2} - {{\left( {\frac{{10}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} - 25}$.

Thể tích đèn lồng: $V(x) = {10^2}(40 - 2x) + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot {10^2}\sqrt {{x^2} - 25}$

$= 100(40 - 2x) + \frac{{200}}{3}\sqrt {{x^2} - 25}$.

Lấy đạo hàm: $V'(x) = - 200 + \frac{{200x}}{{3\sqrt {{x^2} - 25} }}$.

Cho $V'(x) = 0$:

$- 200 + \frac{{200x}}{{3\sqrt {{x^2} - 25} }} = 0$$\Leftrightarrow x = 3\sqrt {{x^2} - 25}$$\Leftrightarrow {x^2} = 9{x^2} - 225$

$\Leftrightarrow 8{x^2} = 225$$\Rightarrow x = \frac{{15\sqrt 2 }}{4}$.

Thay vào $V(x)$:

${V_{\max }} = 4000 - \frac{{2000\sqrt 2 }}{3} \approx 3057{,}19$.

Đáp án: 13,8.

Vũng phát hiện của Ra đa là mặt cầu tâm $A\left( {12;8;3} \right)$, bán kính $30$ km:

$\left( S \right):{\left( {x - 12} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = {30^2}$.

Quỹ đạo bay của UAV là đường thẳng đi qua $M\left( {72;28;3} \right)$ và $N\left( { - 32; - 30;3} \right)$:

$d:\left\{ \begin{array}{l}x = 72 + 52t\\y = 28 + 29t\\z = 3\end{array} \right.$.

Gọi $I$, $K$ là các giao điểm của $d$ và $\left( S \right)$. Khi đó, hình ảnh của UAV xuất hiện trên màn hình của Ra đa khi UAV di chuyển trên đoạn $IK$.

Ta có: ${\left( {60 + 52t} \right)^2} + {\left( {20 + 29t} \right)^2} = {30^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \approx - 0{,}5802 \Rightarrow I\left( {41{,}8315;11{,}1753;3} \right)\\t \approx - 1{,}5073 \Rightarrow K\left( { - 6{,}3787; - 15{,}7112;3} \right)\end{array} \right.$.

Vậy tổng thời gian UAV xuất hiện trên màn hình Ra đa là

$\frac{{IK}}{v} \times 60 = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 6{,}3787 - 41{,}8315} \right)}^2} + {{\left( { - 15{,}7112 - 11{,}1753} \right)}^2}} }}{{240}} \times 60 \approx 13{,}8$ (phút).

Đáp án: $33{,}2$.

Dựng trục $Ox$ như hình vẽ

Xét mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $K$ có hoành độ bằng $x\left( {0 \le x \le 4} \right)$, thiết diện thu được là hình viên phân $IMN$ có bán kính $r = KI = KM = KN$.

Ta có $\frac{{IK}}{{OA}} = \frac{{SK}}{{SO}} \Rightarrow IK = \frac{{OA.SK}}{{SO}} = \frac{{6.\left( {8 - x} \right)}}{8} = \frac{{3\left( {8 - x} \right)}}{4} = 6 - 0{,}75x \Rightarrow r = 6 - 0{,}75x$.

${S_{\Delta KMN}} = \frac{1}{2}KH.MN = \frac{1}{2}.3.2\sqrt {{r^2} - 9} = 3\sqrt {{r^2} - 9} = 3\sqrt {{{\left( {6 - 0{,}75x} \right)}^2} - 9}$

Đặt $\widehat {MKN} = \alpha \left( {rad} \right) \Rightarrow \widehat {IKM} = \frac{\alpha }{2}$.

Ta có $\cos \frac{\alpha }{2} = \frac{3}{r} \Rightarrow \frac{\alpha }{2} = shift\cos \left( {\frac{3}{r}} \right) \Rightarrow \alpha = 2shiftcos\left( {\frac{3}{r}} \right)$

${S_{quat}} = \frac{\alpha }{{2\pi }}.\pi {r^2} = \frac{{\alpha .{r^2}}}{2} = {r^2}.shift\cos \left( {\frac{3}{r}} \right)$

Diện tích thiết diện là

$S\left( x \right) = {S_{quat}} - {S_{\Delta KMN}} = {r^2}.shift\cos \left( {\frac{3}{r}} \right) - 3\sqrt {{r^2} - 9}$

$= {\left( {6 - 0{,}75x} \right)^2}.shift\cos \left( {\frac{3}{{6 - 0{,}75x}}} \right) - 3\sqrt {{{\left( {6 - 0{,}75x} \right)}^2} - 9}$

Thể tích cần tính là: $V = \int\limits_0^4 {S\left( x \right)dx} \approx 33{,}2$ (Sử dụng máy tính).