Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Ninh Bình lần 3 có đáp án

Chọn C

Nếu $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thì $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$

Vậy hàm số cần tìm là $f\left( x \right) = F'\left( x \right) = {\left( {\ln \,x} \right)^\prime } = \frac{1}{x}.$

Chọn B

Ta có: $\cot \,\left( {3x - 45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

$\Leftrightarrow$$\cot \,\left( {3x - 45^\circ } \right) = \cot 60^\circ$

$\Leftrightarrow 3x - 45 = 60^\circ + k180^\circ$

$\Leftrightarrow 3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 105^\circ + k180^\circ$

$\Leftrightarrow x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 35^\circ + k60^\circ .$

Chọn A

Áp dụng tính chất đổi cận, ta có:

$\int\limits_b^a {2f\left( x \right)} \,dx = - \int\limits_a^b {2f\left( x \right)} \,dx = - 2\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,dx = - 2.\,2026 = - 4052.$

Chọn B

Tập xác định $D = \left( {1;\, + \infty } \right)$

Ta có: ${\log _4}\left( {x - 1} \right) = 3$

$\Leftrightarrow x - 1 = {4^3}$

$\Leftrightarrow x - 1 = 64$

$\Rightarrow x = 65$(thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 65.$

Chọn C

Dựa vào đồ thị ta có $M = 4;m = - 2$.

Vậy $M - m = 6$.

Chọn D

$d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{3}$

Vậy vectơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow {{u_3}} = \left( {2; - 5;3} \right)$.

Chọn D

${u_2} = {u_1}q = - 6$.

Chọn C

Ta có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên hình chiếu của đường thẳng $SC$ trên mặt phẳng $ABCD$ là đường thẳng $AC$.

Chọn.A.

Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = C_{50}^1 = 50$.

Gọi $A$là biến cố: “Người được chọn thành thạo tiếng Anh”;

$B$là biến cố: “Người được chọn thành thạo tiếng Pháp”;

$AB$ là biến cố: “Người được chọn thành thạo cả hai thứ tiếng”;

$A \cup B$là biến cố: “Người được chọn thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng Anh hoặc Pháp”.

Khi đó, $P\left( A \right) = \frac{{31}}{{50}};P\left( B \right) = \frac{{21}}{{50}};P\left( {AB} \right) = \frac{5}{{50}}$.

Xác suất để người được chọn thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng Anh hoặc Pháp là$P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = \frac{{31}}{{50}} + \frac{{21}}{{50}} - \frac{5}{{50}} = \frac{{47}}{{50}}$.

Chọn C

Loại đáp án A và B do hệ số của ${x^2},{y^2}$và ${z^2}$ không bằng nhau.

Loại D do không thỏa mãn điều kiện ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$.

Xét đáp án C, ta thấy ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 2} \right) = 10 > 0$$\Rightarrow$ Chọn C.

Chọn C

Tọa độ của vectơ là $\overrightarrow b = \left( {2;3; - 1} \right)$.

Khi đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow u = 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b = 2\left( {5;3; - 2} \right) + 3\left( {2;3; - 1} \right) = \left( {16;15; - 7} \right)$.

Chọn A

Theo bảng xét dấu, ta thấy có 2 điểm cực trị $x = - 2$ và $x = 5$ mà$y'$ đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đã cho có 2 điểm cực đại.

Chọn a) Đúng | b) Đúng| c) Sai | d) Sai

a) Ta có: $M\left( 6 \right) = 75 - 20\ln 7 \approx 36\%$. Suy ra là mệnh đề đúng.

b) Ta có: $M'\left( t \right) = - \frac{{20}}{{t + 1}} < 0\,\,\forall t \in \left[ {0;12} \right]$ suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn $\left[ {0;12} \right]$. Mệnh đề đúng.

c) Ta có: $M = 75 - 20\ln \left( {t + 1} \right) \Rightarrow \ln \left( {t + 1} \right) = \frac{{75 - M}}{{20}} \Rightarrow t = {e^{\frac{{75 - M}}{{20}}}} - 1$.

Suy ra là mệnh đề sai.

d) $M\left( t \right) < 25 \Rightarrow 75 - 20\ln \left( {t + 1} \right) < 25 \Rightarrow t > {e^{\frac{5}{2}}} - 1 \approx 11{,}2$

Vậy sau ít nhất 12 tháng thì khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó còn dưới 25%.

Mệnh đề sai.

Chọn a) Đúng | b) Sai| c) Sai | d) Đúng

a) Ta có $\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; - 1;3} \right)$ và $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2;2} \right)$.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $DH$ là ${\overrightarrow u _{DH}} = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {4;5;3} \right)$.

Chọn ĐÚNG.

b) $\overrightarrow {AD} = \left( {0; - 1;2} \right)$

Suy ra $\sin \left( {AD,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AD} \cdot {{\overrightarrow u }_{DH}}} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \left| {{{\overrightarrow u }_{DH}}} \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 5 \cdot 5\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{50}}$.

$\cos \left( {AD,\left( {ABC} \right)} \right) = \sqrt {1 - \frac{{10}}{{2500}}} = \frac{{\sqrt {2490} }}{{50}}$.

Chọn SAI.

c) Theo trên, ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {4;5;3} \right)$

Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là : $4x + 5y + 3z - 11 = 0$

Do đó ${\rm{d}}\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {4 \cdot 1 + 5 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 11} \right|}}{{\sqrt {44} }} = \frac{1}{{\sqrt {44} }}$.

Phương trình mặt cầu tâm $D$, tiếp xúc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{1}{{44}}$.

Chọn SAI.

d) Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên suy ra $G\left( {1;1;\frac{2}{3}} \right)$.

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua điểm $G$.

Ta có ${\rm{d}}\left( {D,\left( P \right)} \right) \le DG$.

Do đó, khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ lớn nhất là $DG$.

Suy ra mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $G$ và nhận $\overrightarrow {GD} = \frac{1}{3}\left( {0;0;1} \right)$ làm vecto pháp tuyến.

$\Rightarrow$ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):3z - 2 = 0$.

Vậy $a = b = 0,c = 3$.

$a + 2b + 3c = 9$.

Chọn ĐÚNG.

a) Sai

Giá trị đại diện của nhóm $\left[ {50;{\rm{ }}60} \right)$là $55$.

b) Đúng

Số người được dự báo xem phim thuộc nhóm $\left[ {50;{\rm{ }}60} \right)$ là 2 người. Ít nhất trong các nhóm.

c) Đúng

Nhóm $\left[ {30;{\rm{ 4}}0} \right)$ có $16$ người cao nhất nên nhóm $\left[ {30;{\rm{ 4}}0} \right)$ chứa mốt.

d) Sai

Độ tuổi được dự báo xem phim nhiều nhất chính là mốt.

Nhóm $\left[ {30;{\rm{ 4}}0} \right)$ chứa mốt

Mốt: ${M_o} = 30 + \frac{{16 - 12}}{{\left( {16 - 12} \right) + \left( {16 - 7} \right)}}.10 \approx 33 \ne 31$.

a) Ta có chiều cao bồn chứa hình trụ là $h = \frac{V}{S} = \frac{{1000}}{{100}} = 10\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Tốc độ giảm thể tích tổng cộng của hóa chất trong bồn là

${v_g}\left( t \right) = {v_r}\left( t \right) + {v_b}\left( t \right) = 10\sqrt {h\left( t \right)} + \frac{{200}}{{t + 1}}$

Ta có ${v_g}\left( 0 \right) = {v_r}\left( 0 \right) + {v_b}\left( 0 \right) = 10\sqrt {h\left( 0 \right)} + \frac{{200}}{1}$

Mà $h\left( 0 \right) = 10\,\left( {\rm{m}} \right)$ nên ta có ${v_g} = 10\sqrt {10} + 200 \approx 231{,}6\,$(${{\rm{m}}^{\rm{3}}}$/giờ)

Chọn Đúng.

b) Ta có $V'\left( t \right) = - {v_g}$

Mà $V\left( t \right) = S.h\left( t \right) = 100h\left( t \right)$ suy ra $V'\left( t \right) = 100h'\left( t \right)$

Nên ta có $100h'\left( t \right) = - 10\sqrt {h\left( t \right)} - \frac{{200}}{{t + 1}}$$\Leftrightarrow h' = - 0{,}1\sqrt h - \frac{2}{{t + 1}}$ (Do bốc hơi nên chiều cao sẽ giảm nên $h'\left( t \right) < 0$)

Chọn Đúng

c) Xét hàm số ${v_g}\left( t \right) = 10\sqrt {h\left( t \right)} + \frac{{200}}{{t + 1}} = f\left( t \right) \Rightarrow f'\left( t \right) = \frac{{10.h'\left( t \right)}}{{2\sqrt {h\left( t \right)} }} - \frac{{200}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} < 0$( do $h'\left( t \right) < 0$)

Ta có khi $t$ tăng thì $h\left( t \right)$ giảm nên $10\sqrt {h\left( t \right)}$ giảm

Khi $t$ tăng thì $\frac{{200}}{{t + 1}}$ giảm

Vậy ${v_g}\left( t \right)$ giảm

Chọn Sai.

d) Cho ${v_b} = 0$ thì ta có $h'\left( t \right) = - \frac{1}{{10}}\sqrt {h\left( t \right)}$$\Leftrightarrow \frac{{h'\left( t \right)}}{{2\sqrt {h\left( t \right)} }} = - \frac{1}{{20}}$

Lấy nguyên hàm hai vế ta có

$\int {\frac{{h'\left( t \right)}}{{2\sqrt {h\left( t \right)} }}dt = \int { - \frac{1}{{20}}dt} }$$\Leftrightarrow \sqrt {h\left( t \right)} = - \frac{1}{{20}}t + C$

Với $t = 0$ thì $h\left( 0 \right) = 10$ ta có $C = \sqrt {10}$ suy ra $\sqrt {h\left( t \right)} = - \frac{1}{{20}}t + \sqrt {10}$

Khi $h = 0$ thì ta có $- \frac{1}{{20}}t + \sqrt {10} = 0 \Leftrightarrow t = 20\sqrt {10}$ (giờ)

Chọn Sai

Đáp án: 266

Ta có cấp số cộng với ${u_1} = 50;\,d = - 1$ và ${u_n} = 21$, khi đó

${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Rightarrow 21 = 50 - \left( {n - 1} \right) \Rightarrow n = 30$.

Tổng số ống thép là: ${S_{30}} = \frac{{{u_1} + {u_{30}}}}{2} \cdot n = \frac{{50 + 21}}{2} \cdot 30 = 1065$.

Tổng số tiền công ty đó đã chi để nhập toàn bộ số ống thép trên lag:

$T = 1065 \cdot 250.000 = 266\,250\,000$ (đồng), suy ra $T \approx 266$ (triệu đồng).

Đáp án: 54.

Gọi $A$ là biến cố: “Người được phỏng vấn mặc áo thi đấu”;

$B$ là biến cố: “Người được phỏng vấn thực sự xem trận đấu”.

Ta có: $P\left( A \right) = 0{,}2$; $P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$;

$P\left( {\left. B \right|A} \right) = 0{,}85$; $P\left( B \right) = 0{,}6 \times 0{,}9 + 0{,}4 \times \left( {1 - 0{,}85} \right) = 0{,}6$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$P\left( B \right) = P\left( {\left. B \right|A} \right) \times P\left( A \right) + P\left( {\left. B \right|\overline A } \right) \times P\left( {\overline A } \right)$

$\Rightarrow 0{,}6 = 0{,}85 \times 0{,}2 + P\left( {\left. B \right|\overline A } \right) \times 0{,}8 \Leftrightarrow P\left( {\left. B \right|\overline A } \right) = 0{,}5375 = 53{,}75\% \approx 54\%$.

Vậy $a = 54$.

Đáp án: 1230

Lợi nhuận $L$ bằng doanh thu trừ chi phí và tiền thuế:

Ta có $L\left( x \right) = x \cdot P\left( x \right) - C\left( x \right) - \left( {t \cdot x} \right)$$= x\left( {1760 - 0{,}5x} \right) - \left( {\frac{1}{3}{x^3} - 10{x^2} + 200x + 1000} \right) - tx$

$= - \frac{1}{3}{x^3} + 9{,}5{x^2} + 1560x - 1000 - tx$.

$L\prime \left( x \right) = - {x^2} + 19x + 1560 - t$.

Ta có $L\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất khi $L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow t = - {x^2} + 19x + 1560\,\,\left( 1 \right)$.

Tổng tiền thuế $T$ thu được là: $T\left( x \right) = t \cdot x = \left( { - {x^2} + 19x + 1560} \right) \cdot x$$= - {x^3} + 19{x^2} + 1560x$.

$T\prime \left( x \right) = - 3{x^2} + 38x + 1560$

$T'\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow x = 30$ hoặc $x = - \frac{{52}}{3}$ (loại vì $x > 0$).

Bảng biến thiên

Thay $x = 30$ vào phương trình $\left( 1 \right)$ ta được: $t = - {30^2} + 19 \cdot 30 + 1560$$= 1230$.

Đáp án: $50$

${d_{1\,}}\,\,\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u = \left( {0;\, - 2;\,1} \right)\,\,:{\rm{VTCP}}\\{\rm{qua}}\,A\left( {1;1;1} \right)\,\end{array} \right.$, ${d_2}\,\,{\rm{qua}}\,\,B\left( {0; - 2;1} \right)$; $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 3;0} \right)$; $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {AB} \,} \right]\, = \left( {3; - 1; - 2} \right) = \,\overrightarrow n$.

$\overrightarrow v = \left( {a;b;6} \right)$ là VTCP của đường thẳng biểu diễn cho máng nước.

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa hai thanh dầm ${d_1},\,\,{d_2}$$\,\left( {{d_1}{\rm{//}}\,{d_2}} \right)$, suy ra $\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow n = \left( {3; - 1; - 2} \right)$ là VTPT.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\,\overrightarrow v \cdot \,\overrightarrow u = 0\\\overrightarrow v \cdot \,\overrightarrow n = 0\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l} - 2b + 6 = 0\\3a - b - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,T\, = \,7a + 5b = 35 + 15 = 50$.

Đáp án: 600.

Tìm bán kính $R$ của viên kẹo: $M(\sqrt {20} ;20) \in (P):y = {x^2}$.

Tiếp tuyến tại $M$ có hệ số góc $k = y'({x_M}) = 2\sqrt {20} \Rightarrow y = 2\sqrt {20} \left( {x - \sqrt {20} } \right) + 20$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M$: $2\sqrt {20} x - y - 20 = 0 \Rightarrow VTCP\left( {1;2\sqrt {20} } \right)$.

Tâm $I(0;b)$ thuộc$Oy$, vectơ $\overrightarrow {IM} = (\sqrt {20} ;20 - b)$ vuông góc với tiếp tuyến:

$\overrightarrow {IM} \times (1;2\sqrt {20} ) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {20} + 2\sqrt {20} (20 - b) = 0 \Rightarrow b = 20.5{\rm{ mm}}$.

$R = \left| {\overrightarrow {IM} } \right| = \sqrt {{{\left( {\sqrt {20} } \right)}^2} + {{\left( {20 - 20.5} \right)}^2}} = \frac{9}{2} = 4.5$

Thể tích vỏ nhựa (${V_v}$) giới hạn từ $y = 0$ đến$y = 25$.

${V_v} = \pi \int_0^{25} y {\mkern 1mu} dy = \pi \left[ {\frac{{{y^2}}}{2}} \right]_0^{25} = \frac{{625\pi }}{2}$

Thể tích viên kẹo (${V_K}$):

${V_K} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{9}{2}} \right)^3} = \frac{{243\pi }}{2}$.

Thể tích nước ($V$):

$V = {V_V} - {V_K} = \frac{{625\pi }}{2} - \frac{{243\pi }}{2} = \frac{{382\pi }}{2} = 191\pi \approx 600{\rm{ m}}{{\rm{m}}^3}$.

Đáp án: $16{,}4$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2a = 20}\\{c = 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = 10}\\{c = 8}\end{array};b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {8^2}} = 6} \right.} \right.$

$\begin{array}{l}(E):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\\M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in (E) \Leftrightarrow \frac{{{x_M}^2}}{{100}} + \frac{{{y_M}^2}}{{36}} = 1\end{array}$

Mà ${x_M} = - 8;{y_M} > 0 \Rightarrow {y_M} = 3{,}6.$

$M{F_1} + M{F_2} = 2a = 20$ mà $M{F_1} = 3{,}6 \Rightarrow M{F_2} = 16{,}4.$