Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Đồng Tháp có đáp án

Chọn C

$f\left( x \right) = {\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)^2} = {\sin ^2}\frac{x}{2} + {\cos ^2}\frac{x}{2} - 2.\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2} = 1 - \sin x$.

$\int f \left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {1 - \sin x} \right){\rm{d}}x} = x + \cos x + C$.

Chọn B

$\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} + {m_2}{x_2} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}$$= \frac{{9.30 + 9.90 + 5.150 + 7.210 + 2.270 + 1.330}}{{33}} \approx 126{,}3636...$

Thời gian người đó gọi điện trung bình trong tuần gần nhất với giá trị $126$ giây.

Chọn B

Điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $MA = 2MB$,

nên $\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB}$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - 3 = - 2\left( {x - 2} \right)}\\{y - 1 = - 2\left( {y + 3} \right)}\\{z + 2 = - 2\left( {z - 5} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{3x = 7}\\{3y = - 5}\\{3z = 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{7}{3}}\\{y = \frac{{ - 5}}{3}}\\{z = \frac{8}{3}}\end{array}} \right.} \right.$.

Chọn B

Ta có $y = \frac{{2{x^2} + 7x - 5}}{{4x - 2}} = \frac{1}{2}x + 2 - \frac{1}{{4x - 2}}$

Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {\frac{1}{2}x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {\frac{1}{2}x + 2 - \frac{1}{{4x - 2}} - \left( {\frac{1}{2}x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - 1}}{{4x - 2}} = 0$.

Suy ra $y = \frac{1}{2}x + 2$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{{2{x^2} + 7x - 5}}{{4x - 2}}$.

Chọn C

+ Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, mà $SA \subset \left( {SAC} \right)\, \Rightarrow \,\left( {SAC} \right)\, \bot \left( {BAC} \right) \Rightarrow$$\left[ {S\,;\,AC\,;\,B} \right] = {90^0}$, suy ra A đúng

+ Ta có $\left\{ \begin{array}{l}SO \bot BD,\,\,SO \subset \left( {SBD} \right)\\AO \bot BD,\,\,AO \subset \left( {ABD} \right)\\\left( {ABD} \right) \cap \left( {SBD} \right) = BD\end{array} \right.$$\Rightarrow$$\left[ {S\,;\,BD\,;\,A} \right] = \widehat {SOA}$. Suy ra B đúng

+ Ta có $\left\{ \begin{array}{l}SO \bot BD,\,\,SO \subset \left( {SBD} \right)\\CO \bot BD,\,\,CO \subset \left( {CBD} \right)\\\left( {CBD} \right) \cap \left( {SBD} \right) = BD\end{array} \right.$$\Rightarrow$$\left[ {S\,;\,BD\,;\,C} \right] = \widehat {SOC}$. Suy ra C sai

+ Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\SA \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)$, mà $BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)$. Suy ra D đúng

Chọn C

Ta có: $\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - 1} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {1 - {e^x}} \right)} \,{\rm{d}}x + \,\int\limits_0^1 {\left( {{e^x} - 1} \right)} \,{\rm{d}}x = \left. {\left( {x - {e^x}} \right)} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\left( {{e^x} - x} \right)} \right|_0^1$

$= - 1 - \left( { - 1 - {e^{ - 1}}} \right) + \left( {e - 1} \right) - 1$$= e + {e^{ - 1}} - 2$.

Theo bài có $\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - 1} \right|} \,dx = a.e + b.{e^{ - 1}} + c$.

Suy ra:$\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = - 2\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,a + b + c = 0$.

Chọn A

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\vec n = \left( {2;\, - 3\,;\,4} \right)$.

Ta có: $\left[ {\vec i\,,\,\,{{\vec n}_\alpha }} \right] = \left( {0\,;\, - 4\,;\, - 3} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa trục $Ox$và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có véc tơ pháp tuyến là:

${\vec n_P} = - \left[ {\vec i\,,\,\,{{\vec n}_\alpha }} \right] = \left( {0\,;\,4\,;\,3} \right)$.

Vậy phương trình của mặt phẳng $\left( P \right):\,\,4y + 3z = 0$.

Lời giải

Chọn C

Từ phương trình mặt phẳng $\left( P \right):\,\,2x + y - z - 1 = 0\, \Rightarrow \,$Véc tơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {2\,;\,1\,;\, - 1} \right)$

Từ phương án C, véc tơ chỉ phương của đường thẳng $d$: $\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{z}{1}$ là $\vec u = \left( { - 1\,;\,3\,;\,1} \right)$

Ta có: $\vec n.\vec u = - 2 + 3 - 1 = 0.$ Vậy đường thẳng $d{\rm{//}}\left( P \right)$.

Chọn B

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + d = 4\\{u_6} = {u_1} + 5d = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 1\\{u_1} = 3\end{array} \right. \Rightarrow {u_{100}} = {u_1} + 99d = 3 + 99 = 102$.

Chọn B

$\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}$.

Chọn C

Ta có đồ thị hàm số trong hình vẽ là đồ thị hàm bậc ba có hệ số $a < 0$

Mặt khác $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$ và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $- 4$ nên nó là đồ thị hàm số $y = - {x^3} + 3{x^2} - 4$.

Chọn A

Điều kiện: $x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$.

Bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) > - 5 \Rightarrow x - 2 < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 5}} \Leftrightarrow x < 34$.

Kết hợp điều kiện tập nghiệm bất phương trình là $\left( {2;\,34} \right)$

a) Đúng.

Ta có: $d\left( {J,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {{z_J}} \right| = \left| 3 \right| = 3$.

Khi đó, ${R_2} = \sqrt {{d^2}\left( {J,\left( {Oxy} \right)} \right) + r_2^2} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$.

b) Sai.

$\overrightarrow {IM} = \left( {5;5;10} \right) \Rightarrow IM = \sqrt {{5^2} + {5^2} + {{10}^2}} = 5\sqrt 6 > 4$: Điểm $M$ nằm ngoài mặt cầu $\left( {{S_1}} \right)$.

Do đó, quãng đường tối thiểu điểm $C$ di chuyển từ $M$ đến bề mặt khối cầu $\left( {{S_1}} \right)$ là

$s_1^{\min } = IM - {R_1} = 5\sqrt 6 - 4 \Rightarrow E_1^{\min } = \frac{{{{\left( {5\sqrt 6 - 4} \right)}^2}}}{{12}} = \frac{{166 - 40\sqrt 6 }}{{12}}$ (đơn vị năng lượng).

c) Đúng.

$\overrightarrow {IJ} = \left( {10;13;3} \right) \Rightarrow IJ = \sqrt {{{10}^2} + {{13}^2} + {3^2}} = \sqrt {278} > {R_1} + {R_2} = 4 + 5 = 9$.

Khi đó, $A{B_{\max }} = IJ + {R_1} + {R_2} = \sqrt {278} + 9 \approx 25{,}6733 > 25$.

d) Đúng.

$\overrightarrow {JM} = \left( { - 5; - 8;7} \right) \Rightarrow JM = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {138} > 5$: Điểm $M$ nằm ngoài mặt cầu $\left( {{S_2}} \right)$.

Do đó, quãng đường tối thiểu điểm $C$ di chuyển từ $M$ đến bề mặt khối cầu $\left( {{S_2}} \right)$ là

$s_2^{\min } = JM - {R_2} = \sqrt {138} - 5 \Rightarrow E_2^{\min } = \frac{{{{\left( {\sqrt {138} - 5} \right)}^2}}}{{12}} = \frac{{163 - 10\sqrt {138} }}{{12}} < E_1^{\min }$.

Vậy năng lượng tối thiểu để điểm $C$ di chuyển vào bên trong khối cầu $\left( {{S_2}} \right)$ nhỏ hơn năng lượng tối thiểu để điểm $C$ di chuyển vào bên trong khối cầu $\left( {{S_1}} \right)$.

Gọi X là biến cố: “bệnh nhân chọn thuốc A”;

Y là biến cố: “bệnh nhân bị tác dụng phụ”.

Theo giả thiết, ta có: $P\left( X \right) = 0{,}5;\,P\left( {Y|X} \right) = 0{,}2$.

a) Đúng.

Xác suất để bệnh nhân bị tác dụng phụ khi dùng thuốc A là $P\left( {Y|X} \right) = 0{,}2$.

b) Đúng.

Xác suất để bệnh nhân bị tác dụng phụ khi được chọn ngẫu nhiên dùng một trong hai loại thuốc là $P\left( Y \right) = P\left( X \right).P\left( {Y|X} \right) + P\left( {\overline X } \right).P\left( {Y|\overline X } \right) = 0{,}5.0{,}2 + 0{,}5.0{,}1 = 0{,}15$.

c) Sai.

Nếu biết bệnh nhân không bị tác dụng phụ, xác suất để bệnh nhân đó dùng thuốc B là

$$P\left( {\overline X |\overline Y } \right) = \frac{{P\left( {\overline X } \right).P\left( {\overline Y |\overline X } \right)}}{{P\left( {\overline Y } \right)}} = \frac{{0{,}5.0{,}9}}{{1 - 0{,}15}} = \frac{9}{{17}}$$

d) Sai.

Xác suất để bệnh nhân dùng thuốc A và không bị tác dụng phụ là$P\left( {X\overline Y } \right) = 0{,}5.\left( {1 - 0{,}2} \right) = 0{,}4$.

a) Vận tốc của hạt là $v\left( t \right) = x'\left( t \right) = \left( {40t - 10{t^2}} \right){e^{ - 0{,}5t}}\,\left( {m/s} \right).$

Khi đó vận tốc xuất phát của hạt tại thời điểm $t = 0$ là $v(0)={x}^{'}(0)=0\ (m/s).$

Vậy mệnh đề a) Sai.

b) Vận tốc của hạt trong suốt quá trình chuyển động là $v(t) = (40t - 10{t^2}){e^{ - 0{,}5t}}$

Ta có: $v(t) = (40t - 10{t^2}){e^{ - 0{,}5t}} = 0 \Leftrightarrow 40t - 10{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{t = 0}\\{t = 4}\end{array}} \right.$

Dựa vào BBT ta thấy hạt chỉ đổi chiều chuyển động đúng một lần duy nhất. Vậy b) Đúng.

c) Ta có GTLN của $x(t)$ trên $(0; + \infty )$ là $320{e^{ - 2}}\,\left( m \right)$, suy ra khoảng cách xa nhất mà hạt đạt được so với gốc $O$ là $320{e^{ - 2}}\,\left( m \right)$. Vậy c) Đúng.

d) Dựa vào BBT ta thấy, tổng quãng đường đi được của hạt:

+ Từ $t = 0$ đến $t = 4,$ hạt đi được $320{e^{ - 2}}\,\left( m \right)$.

+ Từ $t = 4$ về sau, hạt quay ngược lại và tiến dần về .

Vậy tổng quãng đường lớn hơn $320{e^{ - 2}}\,\left( m \right)$. Vậy mệnh đề d) Sai.

a) Ta có: Tập xác định của hàm số là $D = R\backslash \{ - 1\}$.

$y = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{x + 1}} = x - \frac{6}{{x + 1}}$

nên $\mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{6}{{x + 1}}} \right) = 0$ và $\mathop {lim}\limits_{x \to - \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to - \infty } \left( { - \frac{6}{{x + 1}}} \right) = 0$. Suy ra tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng $y = x$.

$\mathop {lim}\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {lim}\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^2} + x - 6}}{{x + 1}} = - \infty$ nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x = - 1$.

Tâm đối xứng của đồ thị $\left( C \right)$ là giao điểm hai đường tiệm cận, nên $I\left( { - 1; - 1} \right)$.

Vậy a) Đúng.

b) Ta có: $y'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 7}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right),\,\,\left( {{x_0} \ne - 1} \right)$ là tiếp điểm.

Vì tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại $M$ song song với đường thẳng $d:\,y = 7x + 18$ nên

$y'\left( {{x_0}} \right) = 7 \Leftrightarrow \frac{{{x_0}^2 + 2{x_0} + 7}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = - 2\end{array} \right.$, suy ra $\left[ \begin{array}{l}M\left( {0; - 6} \right)\\M\left( { - 2;4} \right)\end{array} \right.$

TH1: $M\left( {0; - 6} \right)$, ta có phương trình tiếp tuyến là ${d_1}:y = 7x - 6$. (Thỏa)

TH2: $M\left( { - 2;4} \right)$, ta có phương trình tiếp tuyến là ${d_2}:y = 7x + 18$ (Loại vì trùng với đường thẳng $d$)

Vậy b) Sai.

c) Gọi $A\left( {{x_1};{y_1}} \right);\,\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị $\left( C \right)$, ${x_1} < - 1 < \,\,{x_2}$

Vì $AB$ song song với trục hoành nên ${y_1} = {y_2} = {y_0}$ và ${x_1};\,\,{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${y_0} = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{x + 1}} \Leftrightarrow {x^2} + \left( {1 - {y_0}} \right)x - 6 - {y_0} = 0\,\,\left( 1 \right)\,\,$(với $x \ne - 1$).

$\begin{array}{l}{x_1} < - 1 < \,\,{x_2}\\ \Leftrightarrow {x_1} + 1 < 0 < {x_2} + 1 \Leftrightarrow \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) < 0\\ \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0 \Leftrightarrow - {y_0} - 6 + \left( {{y_0} - 1} \right) + 1 < 0 \Leftrightarrow - 6 < 0\end{array}$

Hiển nhiên đúng nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

$AB = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \sqrt {{{\left( {{y_0} - 1} \right)}^2} - 4\left( { - 6 - {y_0}} \right)} = \sqrt {{{\left( {{y_0} + 1} \right)}^2} + 24} \ge 2\sqrt 6$

Dấu “bằng” xảy ra khi chỉ khi ${y_0} = - 1$và giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng $AB$ bằng $2\sqrt 6$.

Vậy c) Sai.

d) Ta có $y = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{x + 1}} - x = \frac{{ - 6}}{{x + 1}}$ .

Thể tích cần tìm là $V = \pi {\int\limits_0^m {\left( {\frac{{ - 6}}{{x + 1}}} \right)} ^2}dx = 36\pi .\frac{m}{{m + 1}}$

$\mathop {lim}\limits_{m \to + \infty } V = \mathop {lim}\limits_{m \to + \infty } \left( {36\pi .\frac{m}{{m + 1}}} \right) = 36\pi$.

Vậy d) Đúng.

Đáp án: 6129

Bước 1: Thiết lập hệ tọa độ và phương trình các đường

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ có gốc $O$ là tâm hình vuông. Tọa độ các đỉnh: $A\left( { - 2;2} \right),D\left( {2;2} \right),C\left( {2; - 2} \right),B\left( { - 2; - 2} \right)$.

Parabol E có đỉnh $E\left( {0;1} \right)$ đi qua $C\left( {2; - 2} \right)$ và $B\left( { - 2; - 2} \right)$: $y = - \frac{3}{4}{x^2} + 1$.

Parabol P có đỉnh $P\left( {0; - 1} \right)$ đi qua $D\left( {2;2} \right)$ và $A\left( { - 2;2} \right)$: $y = \frac{3}{4}{x^2} - 1$.

Đường thẳng đối xứng: $y = x$.

Xác định các giao điểm:

Giao điểm của Parabol $E$ và $y = x$: $- \frac{3}{4}{x^2} + 1 = x \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$.

Giao điểm của Parabol $E$ và Parabol $P$: $- \frac{3}{4}{x^2} + 1 = \frac{3}{4}{x^2} - 1 \Leftrightarrow \frac{3}{2}{x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{{\sqrt 3 }}$.

Bước 2: Tính diện tích miền $H$ ($1/8$ phần gạch chéo)

Diện tích miền $H$ được tính theo công thức

Tích phân thứ nhất $\left( {{S_{H1}}} \right)$: ${S_{H1}} = \int_{2/3}^{2/\sqrt 3 } {\left[ {x - \left( { - \frac{3}{4}{x^2} + 1} \right)} \right]} dx \approx 0{,}267...$

Tích phân thứ hai $\left( {{S_{H2}}} \right)$: ${S_{H2}} = \int_{2/\sqrt 3 }^2 {\left[ {x - \left( {\frac{3}{4}{x^2} - 1} \right)} \right]} dx \approx 0{,}563...$

Nên ${S_H} = {S_{H1}} + {S_{H2}} \approx 0{,}831\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$

Bước 3: Tính tổng diện tích và chi phí

Diện tích phần sơn màu đỏ: ${S_D} = 8 \times {S_H} \approx 6{,}646...\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Diện tích phần sơn màu trắng: ${S_T} \approx 16 - {S_D} = 9{,}35...\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Tổng số tiền bác Tuấn cần:

$T \approx {S_D} \times 500 + {S_T} \times 300 \approx 6129$.

Làm tròn đến hàng đơn vị, bác Tuấn cần 6129 nghìn đồng.

Đáp án: $1560$.

Phần $O$ tiếp xúc với mọi phần khác, nên ta chọn nó đầu tiên.

- Có 6 cách chọn màu cho $O$.

- Trường hợp 1: $A$ và $C$ cùng màu

Chọn màu cho $A$: có 5 cách.

Chọn màu cho $C$: có 1 cách (phải giống $A$).

Chọn màu cho $B$: $B$tiếp giáp $O,A,C$. Vì $A$ và $C$cùng màu, nên $B$chỉ cần khác màu $O$và màu của $\{ A,C\}$. Vậy $B$ có $5 - 1 = 4$ cách.

Chọn màu cho $D$: Tương tự $B$, $D$ tiếp giáp $O,A,C$. $D$ có $5 - 1 = 4$ cách.

Số cách cho TH1: $5 \times 1 \times 4 \times 4 = 80$ cách.

- Trường hợp 2: $A$ và $C$ khác màu

Chọn màu cho $A$: có 5 cách.

Chọn màu cho $C$: có 4 cách (khác $O$ và khác $A$).

Chọn màu cho $B$: $B$ tiếp giáp $O,A,C$. Vì $A,C$ khác màu nhau và cùng khác $O$, nên $B$ phải khác 3 màu này. Vậy $B$ có $5 - 2 = 3$ cách.

Chọn màu cho $D$: Tương tự, $D$ cũng phải khác màu $O,A,C$. Vậy $D$ có $5 - 2 = 3$ cách.

Số cách cho TH2: $5 \times 4 \times 3 \times 3 = 180$ cách.

- Kết hợp với 6 cách chọn màu cho $O$, tổng số cách tô màu thỏa mãn yêu cầu là:$6.\left( {80 + 180} \right) = 1560$

- Đáp số: Bác Huy có 1560 cách tô màu.

Chọn gốc tọa độ tại trung điểm $M$ của$AB$ ta có:

$A( - 9,{\rm{ }}0,{\rm{ }}0)$;$B(9{,}0{,}0)$; $C\left( {0,{\rm{ }}3,{\rm{ }}0} \right);G\left( {0,{\rm{ }}1,{\rm{ }}0} \right)$.

Ta có $AE = 3AG$ suy ra $E = A + \overrightarrow {AE} = ( - 9 + 27{,}0 + 3{,}0) = (18{,}3{,}0)$.

Vì $A'A = A'B = 15$, hình chiếu của $A'$ xuống đáy nằm trên trục $Oy$. Gọi $A'(0,y,z)$.

$A'{A^2} = {(0 + 9)^2} + {y^2} + {z^2} = {15^2} = 225 \Rightarrow {y^2} + {z^2} = 144$

Chọn $A'(0{,}0{,}12)$ suy ra $\overrightarrow {AA'} = (0 - ( - 9),0 - 0{,}12 - 0) = (9{,}0{,}12)$

Tọa độ $B' = B + \overrightarrow {AA'} = (9 + 9{,}0 + 0{,}0 + 12) = (18{,}0{,}12)$.

· Đường thẳng $A'G$: Đi qua $A'(0{,}0{,}12)$, VTCP $\vec u = \overrightarrow {A'G} = (0{,}1, - 12)$.

· Đường thẳng $B'E$: Đi qua $B'(18{,}0{,}12)$, VTCP $\vec v = \overrightarrow {B'E} = 3(0{,}1, - 4)$.

Tính khoảng cách:

1. Tích có hướng:$[\vec u,\vec v] = (8{,}0{,}0)$.

2. Vectơ nối hai đường thẳng: $\overrightarrow {A'B'} = (18{,}0{,}0)$.

3. Áp dụng công thức:

$d(A'G,B'E) = \frac{{|[\vec u,\vec v] \cdot \overrightarrow {A'B'} |}}{{|[\vec u,\vec v]|}} = \frac{{|8 \cdot 18 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0|}}{{\sqrt {{8^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{8 \cdot 18}}{8} = 18$.

Đáp án: $18$.

Đáp án: 2,71.

$$\begin{array}{l}(d):\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{x + 2}}{1}\\ \Leftrightarrow \left( d \right):\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 1 + t}\\{y = 2t}\\{z = - 2 + t}\end{array}} \right.,t \in \mathbb{R}\end{array}$$

$M \in Oz$, gọi tọa độ điểm M là $M\left( {0;0;m} \right)$

$N \in d$, gọi tọa độ điểm N là $N\left( {1 + t;2t;t - 2} \right)$

$\begin{array}{l}\overrightarrow {MN} = \left( {1 + t;2t;t - 2 - m} \right)\\VTPT{\rm{ }}\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 1;1} \right)\end{array}$

Nên $3\left( {1 + t} \right) - 2t + t - 2 - m = 0 \Leftrightarrow m = 2t + 1$, vì $MN$song song với $\left( P \right)$nên $M \notin (P) \Rightarrow m \ne 25$

Suy ra $2t + 1 \ne 25 \Rightarrow t \ne 12$.

Suy ra $\overrightarrow {MN} = \left( {1 + t;2t; - t - 3} \right)$

$M{N^2} = 6{t^2} + 8t + 10 \ge \frac{{22}}{3}$

Dấu “=” xảy ra khi $t = \frac{{ - 2}}{3}$(thỏa mãn $t \ne 12$) khi đó $MN = \sqrt {\frac{{22}}{3}} \approx 2{,}71$.

Đáp số: 67.

Lợi nhuận $L\left( x \right) = R\left( x \right) - xC\left( x \right) = {x^3} - 397{x^2} + 80000\ln x + 38400x - 2000$.

$\Rightarrow L'\left( x \right) = 3{x^2} - 794x + \frac{{80000}}{x} + 38400 = 0 \Leftrightarrow 3{x^3} - 794{x^2} + 38400x + 80000 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 200\\x = 66{,}7\\x = - 2\end{array} \right.$. Vì $1 \le x \le 100 \Rightarrow x = 66{,}67 \simeq 67$.

Đáp án:$0{,}59$.

Gọi biến cố $A:$ “Xã A mưa”

$B:$ “Xã B mưa”

$\Rightarrow A \cup B:$” Có ít nhất một trong hai xã mưa”

Theo bài ra ta có: $P\left( {\bar A/\bar B} \right) = 0{,}65;\,P\left( {\bar B/\bar A} \right) = 0{,}6$, $P\left( {AB} \right) = 0{,}1$.

Đặt $x = P\left( {A \cup B} \right) \Rightarrow P\left( {\bar A\bar B} \right) = 1 - x$.

Ta có: $P\left( {\bar A} \right) = \frac{{P\left( {\bar A\bar B} \right)}}{{P\left( {\bar B/\bar A} \right)}} = \frac{{1 - x}}{{0{,}6}} \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - \frac{{1 - x}}{{0{,}6}} = \frac{{x - 0{,}4}}{{0{,}6}}$.

Tương tự: $P\left( {\bar B} \right) = \frac{{P\left( {\bar A\bar B} \right)}}{{P\left( {\bar A/\bar B} \right)}} = \frac{{1 - x}}{{0{,}65}} \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - \frac{{1 - x}}{{0{,}65}} = \frac{{x - 0{,}35}}{{0{,}65}}$.

Ta có: $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)$

$x = \frac{{x - 0{,}4}}{{0{,}6}} + \frac{{x - 0{,}35}}{{0{,}65}} - 0{,}1 \Leftrightarrow 0{,}86x = 0{,}509$.

$\Rightarrow x \approx 0{,}59$.