Đề thi tham khảo TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Bắc Giang

Đáp án đúng là: B

Độ dài cạnh của mảnh đất đó là: $\sqrt {300} = 10\sqrt 3 \approx {\rm{17{,}3\;(m)}}{\rm{.}}$

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt {2x - 4}$ là $2x - 4 \ge 0,$ hay $x \ge 2.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $A = \sqrt[3]{{ - 8}} - \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt[3]{{{{\left( { - 2} \right)}^3}}} - \left| {1 - \sqrt 2 } \right| = - 2 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right) = - 2 - \sqrt 2 + 1 = - \sqrt 2 - 1.$

Như vậy, số đối của $A$ là $- A = - \left( { - \sqrt 2 - 1} \right) = \sqrt 2 + 1.$

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình $3x - 2y = 7$:

⦁ Thay $x = - 1,\,\,y = - 3$ vào phương trình đã cho, ta được: $3 \cdot \left( { - 1} \right) - 2 \cdot \left( { - 3} \right) = 3 \ne 7.$ Do đó cặp số $\left( { - 1; - 3} \right)$ không là nghiệm của phương trình này.

⦁ Thay $x = 1,\,\,y = - 2$ vào phương trình đã cho, ta được: $3 \cdot 1 - 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 7.$ Do đó cặp số $\left( {1; - 2} \right)$ là nghiệm của phương trình này.

⦁ Thay $x = 3,\,\,y = - 1$ vào phương trình đã cho, ta được: $3 \cdot 3 - 2 \cdot \left( { - 1} \right) = 11 \ne 7.$ Do đó cặp số $\left( {3; - 1} \right)$ không là nghiệm của phương trình này.

⦁ Thay $x = 2,\,\,y = - 1$ vào phương trình đã cho, ta được: $3 \cdot 2 - 2 \cdot \left( { - 1} \right) = 8 \ne 7.$ Do đó cặp số $\left( {2; - 1} \right)$ không là nghiệm của phương trình này.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Vì hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{mx + 2y = n - 1}\\{x + \left( {n + 2} \right)y = 3}\end{array}} \right.$ có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)$ nên ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m \cdot 2 + 2 \cdot 1 = n - 1}\\{2 + \left( {n + 2} \right) \cdot 1 = 3.}\end{array}} \right.$

Giải hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m \cdot 2 + 2 \cdot 1 = n - 1}\\{2 + \left( {n + 2} \right) \cdot 1 = 3}\end{array}} \right.$

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2m - n = - 3}\\{n = - 1}\end{array}} \right.$

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2m = - 4}\\{n = - 1}\end{array}} \right.$

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m = - 2}\\{n = - 1}\end{array}} \right.$

Vậy ${m^2} + {n^2} = {\left( { - 2} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} = 5.$

Đáp án đúng là: D

Gọi số sản phẩm tổ I, tổ II làm được lần lượt là $x,\,\,y$ (sản phẩm) $\left( {0 < x,\,\,y < 1200} \right).$

Hai tổ công nhân cùng làm được 1200 sản phẩm nên ta có phương trình: $x + y = 1200.$ (1)

Ba lần số sản phẩm của tổ II nhiều hơn hai lần số sản phẩm của tổ I là 350 sản phẩm nên ta có phương trình: $3y = 2x + 350$hay $- 2x + 3y = 350.$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1200\\ - 2x + 3y = 350.\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình trên bằng máy tính cầm tay, ta được $\left\{ \begin{array}{l}x = 650\\y = 550.\end{array} \right.$

Tổ I làm được nhiều hơn tổ II số sản phẩm là: $650 - 550 = 100$ (sản phẩm).

Đáp án đúng là: C

⦁ Thay $x = - 2$ vào bất phương trình $3x - \left( {x + 1} \right) > x - 1,$ ta được:

$3 \cdot \left( { - 2} \right) - \left( { - 2 + 1} \right) > - 2 - 1$ hay $- 5 > - 3$ (vô lí).

Do đó $x = - 2$ không là nghiệm của bất phương trình $3x - \left( {x + 1} \right) > x - 1$.

⦁ Thay $x = - 2$ vào bất phương trình $3x + 4 > 2 - x,$ ta được:

$3 \cdot \left( { - 2} \right) + 4 > 2 - \left( { - 2} \right)$ hay $- 2 > 4$ (vô lí).

Do đó $x = - 2$ không là nghiệm của bất phương trình $3x + 4 > 2 - x$.

⦁ Thay $x = - 2$ vào bất phương trình $3 - x \ge 1 - 2x,$ ta được:

$3 - \left( { - 2} \right) \ge 1 - 2 \cdot \left( { - 2} \right)$ hay $5 \ge 5$ (đúng).

Do đó $x = - 2$ là nghiệm của bất phương trình $3 - x \ge 1 - 2x$.

⦁ Thay $x = - 2$ vào bất phương trình $2x < - 4,$ ta được:

$2 \cdot \left( { - 2} \right) < - 4$ hay $- 4 < - 4$ (vô lí).

Do đó $x = - 2$ không là nghiệm của bất phương trình $2x < - 4$.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình $\left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 2m = 0$ là phương trình bậc hai một ẩn $x$ khi $m - 1 \ne 0,$ hay $m \ne 1.$

Đáp án đúng là: C

Phương trình ${x^2} - x + m - 1 = 0$ có $\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {m - 1} \right) = 5 - 4m.$

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ khi $\Delta > 0,$ tức là $5 - 4m > 0,$ hay $m < \frac{5}{4}.$

Theo định lí Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = 1;\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = m - 1.$

Theo bài, ${x_1} + 2{x_2} = 5$ nên ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1} + 2{x_2} = 5\end{array} \right..$

Giải hệ phương trình trên bằng máy tính cầm tay, ta được $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = - 3\\{x_2} = 4.\end{array} \right.$

Thay vào ${x_1}{x_2} = m - 1,$ ta có $\left( { - 3} \right) \cdot 4 = m - 1,$ suy ra $m = - 11.$

Như vậy, $4 - \left( { - 3} \right) - \left( { - 11} \right) = 18.$

Đáp án đúng là: C

Quãng đường đi được của vật từ lúc thả đến khi cách mặt đất 40 m là: $y = 120 - 40 = 80{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Thay $y = 80{\rm{\;(m)}}$ vào công thức $y = 5{x^2},$ ta được:

$80 = 5{x^2}$

${x^2} = 16$

$x = 4$ hoặc $x = - 4$.

Vì $x > 0$ nên chỉ có giá trị $x = 4$ thỏa mãn.

Vậy sau khi thả được 4 giây thì vật đó sẽ cách mặt đất 40 m.

Đáp án đúng là: A

Số lần xuất hiện mặt 4 chấm là: $40 - \left( {5 + 10 + 7 + 8 + 2} \right) = 8$ (lần).

Tần số tương đối xuất hiện của mặt 4 chấm là: $\frac{8}{{40}} \cdot 100\% = 20\% .$

Đáp án đúng là: C

Tần số tương đối của 8 học sinh làm xong bài kiểm tra trước 15 phút là $20\% .$

Ta có $f = \frac{m}{N} \cdot 100\% ,$ suy ra $N = \frac{m}{f} \cdot 100\% = \frac{8}{{20\% }} \cdot 100\% = 40$ (học sinh).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Các cung $MN,\,\,NP,\,\,PM$ chia đường tròn $\left( O \right)$ thành ba cung có số đo bằng nhau, suy ra mỗi cung có số đo bằng $\frac{{360^\circ }}{3} = 120^\circ .$

Phép quay ngược chiều $240^\circ$ tâm $O$ biến các điểm $N,\,\,M,\,\,P$ thành các điểm $M,\,\,P,\,\,N.$

Đáp án đúng là: B

Kí hiệu 4 học sinh nam lần lượt là X$_{1}$, X$_{2}$, X$_{3}$, X$_{4}$ và 2 học sinh nữ lần lượt là Y$_{1}$, Y$_{2}$.

Không gian mẫu của phép thử là:

$\Omega =${X$_{1}$X$_{2}$; X$_{1}$X$_{3}$; X$_{1}$X$_{4}$; X$_{2}$X$_{3}$; X$_{2}$X$_{4}$; X$_{3}$X$_{4}$; Y$_{1}$Y$_{2}$; X$_{1}$Y$_{1}$; X$_{1}$Y$_{2}$; X$_{2}$Y$_{1}$; X$_{2}$Y$_{2}$; X$_{3}$Y$_{1}$; X$_{3}$Y$_{2}$; X$_{4}$Y$_{1}$; X$_{4}$Y$_{2}$}.

Không gian mẫu có 15 phần tử.

Gọi A là biến cố: “Hai học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nữ”.

Có 9 kết quả thuận lợi cho biến cố A là: Y$_{1}$Y$_{2}$; X$_{1}$Y$_{1}$; X$_{1}$Y$_{2}$; X$_{2}$Y$_{1}$; X$_{2}$Y$_{2}$; X$_{3}$Y$_{1}$; X$_{3}$Y$_{2}$; X$_{4}$Y$_{1}$; X$_{4}$Y$_{2}$.

Xác suất của biến cố A là: $\frac{9}{{15}} = \frac{3}{5}.$

Đáp án đúng là: C

Tần số tương đối của Vải thiều, Nho xanh lần lượt là $50\% ,\,\,15\% .$

Tổng khối lượng của các loại quả bán được là: $\frac{{24}}{{15\% }} \cdot 100\% = 160{\rm{\;(kg)}}{\rm{.}}$

Khối lượng của Vải thiều là: $160 \cdot 50\% = 80{\rm{\;(kg)}}{\rm{.}}$

Đáp án đúng là: D

Xét tứ giác $MNPQ$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right),$ ta có:

$\widehat {MNP} + \widehat {MQP} = 180^\circ$ (tổng hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp).

Suy ra $2\widehat {MQP} + \widehat {MQP} = 180^\circ$

Hay $3\widehat {MQP} = 180^\circ ,$ suy ra $\widehat {MQP} = 60^\circ .$

Lại có $\widehat {MQP},\,\,\widehat {MOP}$ lần lượt là góc nội tiếp, góc ở tâm cùng chắn cung $MP$ của đường tròn $\left( O \right)$ nên $\widehat {MOP} = 2\widehat {MQP} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh $2\sqrt 2 \;{\rm{cm}}$ là $\frac{{2\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 }}{2} = 2{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Đáp án đúng là: A

Bán kính của của bóng rổ size 7 là: $\frac{{24}}{2} = 12{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Thể tích của quả bóng rổ size 7 là: $\frac{4}{3}\pi \cdot {12^3} = 2304\pi \approx 7\,\,238{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Đáp án đúng là: C

Chiều cao (mực nước) của nước đã đổ vào bể trước khi trang trí và thả cá vào bể là:

$50 - 10 = 40{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Bán kính đáy của bể là: $\frac{{20}}{2} = 10{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Thể tích nước đã đổ vào bể là: $\pi \cdot {10^2} \cdot 40 = 4\,000\pi \approx 12\;566{,}4\;{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Đáp án đúng là: A

Giả sử các điểm $C,\,\,D$ có vị trí như hình vẽ.

Xét $\Delta ACD$ vuông tại $D,$ ta có:

$AD = CD \cdot \cot A = CD \cdot \cot 40^\circ .$

Xét $\Delta BCD$ vuông tại $D,$ ta có: $BD = CD \cdot \cot B = CD \cdot \cot 30^\circ .$

Ta có: $AB = BD - AD = CD \cdot \cot 30^\circ - CD \cdot \cot 40^\circ$

Suy ra $600 = CD\left( {\cot 30^\circ - \cot 40^\circ } \right)$

Do đó, $CD = \frac{{600}}{{\cot 30^\circ - \cot 40^\circ }} \approx 1\,\,110{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Để đồ thị của hàm số $y = \left( {m - 1} \right){x^2}\,\,\left( {m \ne 1} \right)$ đi qua điểm $A\left( { - 1;2} \right)$ thì tọa độ điểm $A$ thỏa mãn hàm số đó.

Thay $x = - 1,\,\,y = 2$ vào hàm số $y = \left( {m - 1} \right){x^2},$ ta được:

$2 = \left( {m - 1} \right) \cdot {\left( { - 1} \right)^2}$ hay $m - 1 = 2,$ nên $m = 3$ (thỏa mãn).

Vậy $m = 3.$

Với $x > 0,\,\,x \ne 4,$ ta có:

$A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{2}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{4\sqrt x }}{{4 - x}}} \right):\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}$

$= \left[ {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{2}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}} \right] \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$

$= \left[ {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}} \right] \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$

$= \frac{{x + 2\sqrt x - 2\sqrt x + 4 - 4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$

$= \frac{{x - 4\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$

$$= \frac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2} \cdot \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) \cdot \left( {\sqrt x - 2} \right)}}$$

$$= \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.$$

Vậy với $x > 0,\,\,x \ne 4$ thì $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.$

Giải bất phương trình:

$3 - 4x < 0$

$- 4x < - 3$

$x > \frac{3}{4}.$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là $x > \frac{3}{4}.$

Khi $m = - 1,$ ta có phương trình ${x^2} + 3x - 4 = 0.$

Phương trình trên có $a = 1,\,\,b = 3,\,\,c = - 4$ nên $a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0.$

Khi đó, phương trình này có hai nghiệm là ${x_1} = 1;\,\,{x_2} = - 4.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = 1;\,\,{x_2} = - 4.$

Xét phương trình ${x^2} - \left( {m - 2} \right)x + m - 3 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)$

⦁ Phương trình (1) có

$\Delta = {\left[ { - \left( {m - 2} \right)} \right]^2} - 4\left( {m - 3} \right) = {m^2} - 4m + 4 - 4m + 12 = {m^2} - 8m + 16 = {\left( {m - 4} \right)^2} \ge 0$ với mọi $m.$

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ thì $\Delta > 0,$ tức là ${\left( {m - 4} \right)^2} > 0,$ suy ra ${\left( {m - 4} \right)^2} \ne 0$ nên $m - 4 \ne 0$ hay $m \ne 4.$

Với $m \ne 4,$ phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn định lí Viète:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 2\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x_1}{x_2} = m - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.$

⦁ Cách 1. Từ $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 2\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} - 1 = m - 3\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.$

Suy ra ${x_1} + {x_2} - 1 = {x_1}{x_2}$

$\left( {{x_1} - {x_1}{x_2}} \right) + \left( {{x_2} - 1} \right) = 0$

$${x_1}\left( {{x_2} - 1} \right) + \left( {{x_2} - 1} \right) = 0$$

$\left( {{x_2} - 1} \right)\left( {{x_1} - 1} \right) = 0$

${x_2} - 1 = 0$ hoặc ${x_1} - 1 = 0$

${x_2} = 1$ hoặc ${x_1} = 1.$

Trường hợp 1. Nếu ${x_2} = 1$ thì $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + 1 = m - 2\\{x_1} \cdot 1 = m - 3\end{array} \right.$ suy ra ${x_1} = m - 3.$

Theo bài, ta có: $3{x_1} = x_2^2 + 2$

$3\left( {m - 3} \right) = {1^2} + 2$

$m - 3 = 1$

$m = 4$ (không thỏa mãn $m \ne 4).$

Trường hợp 2. Nếu ${x_1} = 1$ thì $\left\{ \begin{array}{l}1 + {x_2} = m - 2\\1 \cdot {x_2} = m - 3\end{array} \right.$ suy ra ${x_2} = m - 3.$

Theo bài, ta có: $3{x_1} = x_2^2 + 2$

$3 \cdot 1 = {\left( {m - 3} \right)^2} + 2$

${\left( {m - 3} \right)^2} = 1$

$m - 3 = 1$ hoặc $m - 3 = - 1$

$m = 4$ (không thỏa mãn $m \ne 4)$ hoặc $m = 2$ (thỏa mãn $m \ne 4).$

Vậy $m = 2.$

Cách 2. Do ${x_2}$ là một nghiệm của phương trình (1) nên ta có: $x_2^2 - \left( {m - 2} \right){x_2} + m - 3,$ suy ra $x_2^2 = \left( {m - 2} \right){x_2} - m + 3.$

Theo bài, $3{x_1} = x_2^2 + 2$ nên ta có $3{x_1} = \left( {m - 2} \right){x_2} - m + 3 + 2$ hay $3{x_1} = \left( {m - 2} \right){x_2} - m + 5.\,\,\,\,\left( * \right)$

Từ (2), ta có ${x_1} = m - 2 - {x_2},$ thay vào (*), ta được:

$$3\left( {m - 2 - {x_2}} \right) = \left( {m - 2} \right){x_2} - m + 5$$

$$3m - 6 - 3{x_2} = \left( {m - 2} \right){x_2} - m + 5$$

$$\left( {m + 1} \right){x_2} = 4m - 11\,\,\,\left( {**} \right)$$

Nếu $m = - 1,$ phương trình $\left( {**} \right)$ trở thành $0{x_2} = - 15$ (phương trình này vô nghiệm).

Như vậy, $m = - 1$ không thỏa mãn.

Nếu $m \ne - 1,$ thì phương trình $\left( {**} \right)$ có nghiệm ${x_2} = \frac{{4m - 11}}{{m + 1}}.$

Khi đó, ${x_1} = m - 2 - \frac{{4m - 11}}{{m + 1}} = \frac{{{m^2} + m - 2m - 2 - 4m + 11}}{{m + 1}} = \frac{{{m^2} - 5m + 9}}{{m + 1}}.$

Thay ${x_1} = \frac{{{m^2} - 5m + 9}}{{m + 1}}$ và ${x_2} = \frac{{4m - 11}}{{m + 1}}$ vào $\left( 3 \right),$ ta được:

$$\frac{{{m^2} - 5m + 9}}{{m + 1}} \cdot \frac{{4m - 11}}{{m + 1}} = m - 3$$

$$\left( {{m^2} - 5m + 9} \right)\left( {4m - 11} \right) = \left( {m - 3} \right){\left( {m + 1} \right)^2}$$

$4{m^3} - 11{m^2} - 20{m^2} + 55m + 36m - 99 = \left( {m - 3} \right)\left( {{m^2} + 2m + 1} \right)$

$4{m^3} - 31{m^2} + 91m - 99 = {m^3} + 2{m^2} + m - 3{m^2} - 6m - 3$

$3{m^3} - 30{m^2} + 96m - 96 = 0$

$\left( {3{m^3} - 6{m^2}} \right) - \left( {24{m^2} - 48m} \right) + \left( {48m - 96} \right) = 0$

$3{m^2}\left( {m - 2} \right) - 24m\left( {m - 2} \right) + 48\left( {m - 2} \right) = 0$

$\left( {m - 2} \right)\left( {3{m^2} - 24m + 48} \right) = 0$

$\left( {m - 2} \right) \cdot 3\left( {{m^2} - 8m + 16} \right) = 0$

$3\left( {m - 2} \right){\left( {m - 4} \right)^2} = 0$

$m - 2 = 0$ hoặc ${\left( {m - 4} \right)^2} = 0$

$m = 2$ (thỏa mãn $m \ne - 1,\,\,m \ne 4)$ hoặc $m = 4$ (không thỏa mãn $m \ne 4).$

Vậy $m = 2.$

Không gian mẫu của phép thử là:

$\Omega = \left\{ {\left( {10,\,\,11} \right);\,\,\left( {10,\,\,13} \right);\,\,\left( {10,\,\,15} \right);\,\,\left( {12,\,\,11} \right);\,\,\left( {12,\,\,13} \right);\,\,\left( {12,\,\,15} \right);\,\,\left( {14,\,\,11} \right);\,\,\left( {14,\,\,13} \right);\,\,\left( {14,\,\,15} \right)} \right\}.$

Không gian mẫu có 9 phần tử.

Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố B là: $\left( {12,\,\,11} \right);\,\,\left( {14,\,\,11} \right);\,\,\left( {14,\,\,13} \right).$

Vậy xác suất của biến cố B là: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}.$

Vì điểm $M$ nằm trên đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ nên $\widehat {AMB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra $\widehat {AMP} = 90^\circ .$

$\Delta AMP$ vuông tại $M$ nên đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là trung điểm của cạnh huyền $AP.$ Do đó ba điểm $A,\,\,M,\,\,P$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AP.$

$\Delta ACP$ vuông tại $C$ nên đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là trung điểm của cạnh huyền $AP.$ Do đó ba điểm $A,\,\,M,\,\,C$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AP.$

Như vậy, bốn điểm $A,\,\,C,\,\,P,\,\,M$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AP.$

Vậy tứ giác $ACPM$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $AP.$

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta PBC$ có: $\widehat {AMB} = \widehat {PCB} = 90^\circ$ và $\widehat {CBP}$ là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{AB}}{{PB}} = \frac{{BM}}{{BC}}$ hay $BM \cdot BP = AB \cdot BC.$

Mà $BC = AB + AC = 2R + R = 3R.$

Suy ra $BM \cdot BP = AB \cdot BC = 2R \cdot 3R = 6{R^2}.$

Gọi $K$ là trung điểm của $BC.$ Khi đó, $KC = KB.$ (1)

Do $G$ là trọng tâm của $\Delta MBC$ nên $\frac{{MG}}{{MK}} = \frac{2}{3}$ và $\frac{{KG}}{{KM}} = \frac{1}{3}.$

Ta có $KC = KA + CA = KA + R$ và $KB = KO + OB = KO + R.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $KA = KO.$ Do đó $K$ là trung điểm của $AO$ nên $KA = KO = \frac{1}{2}AO.$ (3)

Gọi $E,\,\,I$ là các điểm thuộc đoạn $AO$ sao cho $AE = EI = IO = \frac{1}{3}AO.$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\frac{{AE}}{{AK}} = \frac{{\frac{1}{3}AO}}{{\frac{1}{2}AO}} = \frac{2}{3}.$

Xét $\Delta AKM$ có $\frac{{AE}}{{AK}} = \frac{{MG}}{{MK}} = \frac{2}{3}$ nên $EG\,{\rm{//}}\,AM$ (định lí Thalès đảo).

Lại có $AM \bot BM$ nên $EG \bot BM.$ (5)

Ta có $KB = KO + OB = KO + OA = KO + 2KO = 3KO$ nên $\frac{{KO}}{{KB}} = \frac{1}{3}.$

Xét $\Delta BKM$ có $\frac{{KO}}{{KB}} = \frac{{KG}}{{KM}} = \frac{1}{3}$ nên $OG\,{\rm{//}}\,BM$ (định lí Thalès đảo). (6)

Từ (5) và (6) suy ra $EG \bot OG$ hay $\widehat {EGO} = 90^\circ .$

Xét $\Delta EGO$ vuông tại $G$ có $I$ là trung điểm của cạnh huyền $EO$ nên đường tròn ngoại tiếp $\Delta EGO$ có tâm là $I$ và bán kính bằng $\frac{{EO}}{2}.$

Do $AB$ cố định nên $O,\,\,E,\,\,I$ cố định.

Như vậy, điểm $G$ nằm trên đường tròn đường kính $EO$ cố định.

Gọi $x{\rm{\;(m)}}$ là chiều rộng của đáy bể hình hộp chữ nhật $\left( {x > 0} \right).$

Khi đó, chiều dài của đáy bể hình hộp chữ nhật là $2x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Diện tích đáy bể hình hộp chữ nhật là: $x \cdot 2x = 2{x^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Chiều cao của bể nước hình hộp chữ nhật đó là: $\frac{9}{{2{x^2}}}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Diện tích xung quanh của bể nước hình hộp chữ nhật là: $2\left( {x + 2x} \right) \cdot \frac{9}{{2{x^2}}} = \frac{{54x}}{{2{x^2}}} = \frac{{27}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Diện tích mặt đáy và nắp đậy của bể nước hình hộp chữ nhật là: $2 \cdot 2{x^2} = 4{x^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Diện tích cần xây (diện tích toàn phần của bể nước) là: $S = \frac{{27}}{x} + 4{x^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Như vậy, yêu cầu bài toán đưa về việc tìm giá trị nhỏ nhất của $S.$

Ta có: $S = \frac{{27}}{x} + 4{x^2} = \frac{{27}}{{2x}} + \frac{{27}}{{2x}} + 4{x^2}.$

Do $x > 0$ nên $\frac{{27}}{{2x}} > 0$ và $4{x^2} > 0,$ áp dụng định lí Cauchy cho ba số dương ta được:

$S = \frac{{27}}{{2x}} + \frac{{27}}{{2x}} + 4{x^2} \ge \sqrt[3]{{\frac{{27}}{{2x}} \cdot \frac{{27}}{{2x}} \cdot 4{x^2}}} = 9.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{{27}}{{2x}} = \frac{{27}}{{2x}} = 4{x^2},$ tức là $8{x^3} = 27$ hay $x = \frac{3}{2} = 1{,}5$ (thỏa mãn).

Do đó, diện tích xây bể nhỏ nhất là $27{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}$ khi $x = 1{,}5{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Chi phí thấp nhất để xây bể lúc này là: $27 \cdot 550\,\,000 = 14\,\,850\,\,000$ (đồng).

Vậy bác Minh muốn chi phí xây bể là thấp nhất có thể thì cần xây bể với chiều rộng là $1{,}5{\rm{\;m,}}$ chiều dài là $2 \cdot 1{,}5 = 3{\rm{\;(m),}}$ chiều cao là $\frac{9}{{2 \cdot 1,{5^2}}} = 2{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$