Đề thi minh họa (Dự thảo) TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Thanh Hóa

Đáp án đúng là: C

Giải phương trình:

$3x - 9 = 0$

$3x = 9$

$x = 3$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với $x \ge 0,$ ta có: $2x\sqrt x = 2\sqrt {{x^2} \cdot x} = 2\sqrt {{x^3}} .$

Đáp án đúng là: D

⦁ Thay $x = 3$ vào hàm số $y = {x^2},$ ta được: $y = {3^2} = 9 \ne 3.$ Do đó đồ thị hàm số $y = {x^2}$ không đi qua điểm $\left( {3;3} \right).$

⦁ Thay $x = 3$ vào hàm số $y = \frac{1}{2}{x^2},$ ta được: $y = \frac{1}{2} \cdot {3^2} = \frac{9}{2} \ne 3.$ Do đó đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2}{x^2}$ không đi qua điểm $\left( {3;3} \right).$

⦁ Thay $x = 3$ vào hàm số $y = 3{x^2},$ ta được: $y = 3 \cdot {3^2} = 27 \ne 3.$ Do đó đồ thị hàm số $y = 3{x^2}$ không đi qua điểm $\left( {3;3} \right).$

⦁ Thay $x = 3$ vào hàm số $y = \frac{1}{3}{x^2},$ ta được: $y = \frac{1}{3} \cdot {3^2} = 3.$ Do đó đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3}{x^2}$ đi qua điểm $\left( {3;3} \right).$

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Giải bất phương trình:

$2x + 3 \le 9$

$2x \le 6$

$x \le 3.$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm $x \le 3.$

Đáp án đúng là: A

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ ta có:

$\tan B = \cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3};\,\,\tan C = \cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}.$

Đáp án đúng là: A

Đường tròn đi qua bốn đỉnh của hình chữ nhật $MNPQ$ là đường tròn đường kính $MP.$

Xét $\Delta MPQ$ vuông tại $Q,$ theo định lí Pythagore, ta có:

$M{P^2} = M{Q^2} + P{Q^2} = {5^2} + {12^2} = 169.$ Do đó $MP = 13{\rm{\;cm}}.$

Vậy đường kính của đường tròn đi qua bốn đỉnh của hình chữ nhật $MNPQ$ là $13{\rm{\;cm}}.$

Đáp án đúng là: B

Số học sinh có chiều cao từ 158 cm đến dưới 161 cm là 12 học sinh.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt 4 chấm là $\frac{3}{{10}}.$

Phương trình ${x^2} + 3x - 4 = 0$ có $a = 1,\,\,b = 3,\,\,c = - 4$ có $a + b + c = 1 + 3 + \left( { - 4} \right) = 0.$

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1} = 1,\,\,{x_2} = - 4.$

Xét hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x + 2y = 7\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{3x - 2y = - 1\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho, ta được phương trình:

$6x = 6,$ suy ra $x = 1.$

Thay $x = 1$ vào phương trình $\left( 1 \right),$ ta được: $3 \cdot 1 + 2y = 7,$ suy ra $y = 2.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $\left( {1;\,\,2} \right).$

Với $x \ge 0,\,\,x \ne 1,$ ta có:

$P = \frac{2}{{\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 5}}{{x - 1}}$

$$= \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 5}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$$

$$= \frac{{2\sqrt x - 2 + 2\sqrt x + 2 + \sqrt x - 5}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$$

$$= \frac{{5\sqrt x - 5}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$$

$$= \frac{{5\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{5}{{\sqrt x + 1}}.$$

Vậy với $x \ge 0,\,\,x \ne 1$ thì $P = \frac{5}{{\sqrt x + 1}}.$

Xét phương trình ${x^2} - 5x + m = 0.$

Phương trình trên có $\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot m = 25 - 4m.$

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta > 0,$ tức là $25 - 4m > 0,$ suy ra $m < \frac{{25}}{4}.$

Theo định lí Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = 5;\,\,{x_1}{x_2} = m.$

Ta có: ${x_1} + {x_2} - 101{x_1}{x_2} = 2\,\,025$

$5 - 101 \cdot m = 2\,\,025$

$101m = - 2\,\,020$

$m = - 20$ (thỏa mãn điều kiện $m < \frac{{25}}{4}).$

Vậy $m = - 20.$

Gọi $x$ (triệu đồng), $y$ (triệu đồng) lần lượt là số tiền người đó chia cho khoản đầu tư thứ nhất và thứ hai $\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).$

Vì người đó chia số tiền 800 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư nên ta có phương trình $x + y = 800.\,\,\,\left( 1 \right)$

Số tiền lãi người đó nhận được cho khoản đầu tư thứ nhất sau một năm là $6\% x = 0{,}06x$ (triệu đồng).

Số tiền lãi người đó nhận được cho khoản đầu tư thứ hai sau một năm là $8\% y = 0{,}08y$ (triệu đồng).

Sau một năm, tổng số tiền lãi người đó thu được là 54 triệu đồng nên ta có phương trình:

$0{,}06x + 0{,}08y = 54$ hay $3x + 4y = 2\,\,700.\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 800\\3x + 4y = 2\,\,700.\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình trên ta được $\left\{ \begin{array}{l}x = 500\\y = 300\end{array} \right.$ (thỏa mãn).

Vậy số tiền người đó đầu tư cho khoản thứ nhất và khoản thứ hai lần lượt là $500$ triệu đồng; $300$ triệu đồng.

Thay $D = 7\,\,800$ kg/m$^{3}$ và $P = 1\,\,300\pi$ (kg) vào công thức $P = V \cdot D,$ ta được:

$1\,\,300\pi = V \cdot 7\,\,800,$ suy ra $V = \frac{\pi }{6}$ (m$^{3}$).

Vậy thể tích của khối cầu sắt $\left( C \right)$ bằng $\frac{\pi }{6}$ (m$^{3}$).

Ta có công thức tính thể tích của hình cầu là: $V = \frac{4}{3}\pi {R^3},$ suy ra $R = \sqrt[3]{{\frac{{3V}}{{4\pi }}}} = \sqrt[3]{{\frac{{3 \cdot \frac{\pi }{6}}}{{4\pi }}}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} = \frac{1}{2}$ (m).

Diện tích bề mặt của khối cầu sắt $\left( C \right)$ là: $S = 4\pi {R^2} = 4\pi \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \pi {\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Do $\Delta ABD$ vuông tại $D$ nên đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh huyền $AB.$ Do đó, ba điểm $A,\,\,B,\,\,D$ nằm trên đường tròn đường kính $AB.$

Tương tự, ba điểm $A,\,\,B,\,\,E$ nằm trên đường tròn đường kính $AB.$

Vậy tứ giác $ABDE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB.$

Ta có $\widehat {EBC} + \widehat C = 90^\circ$ và $\widehat {DAC} + \widehat C = 90^\circ$ (tổng hai góc nhọn của một tam giác vuông)

Suy ra $\widehat {EBC} = \widehat {DAC}.$

Xét $\Delta DHB$ và $\Delta DCA$ có: $\widehat {HDB} = \widehat {CDA} = 90^\circ$ và $\widehat {HBD} = \widehat {CAD}.$

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{DH}}{{DC}} = \frac{{DB}}{{DA}}$ hay $DH \cdot DA = DB \cdot DC.$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$DB + DC \ge 2\sqrt {DB \cdot DC}$

$BC \ge 2\sqrt {DB \cdot DC}$

$\sqrt {DB \cdot DC} \le \frac{{BC}}{2}$

$DB \cdot DC \le \frac{{B{C^2}}}{4}.$

Khi đó, $DH \cdot DA \le \frac{{B{C^2}}}{4}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $DB = DC$ hay $D$ là trung điểm của $BC.$

Khi đó, $AD \bot BC$ tại trung điểm $D$ của $BC$ nên $AD$ là đường trung trực của $BC.$ Lúc này, $A$ là giao điểm của đường trung trực của $BC$ với đường tròn $\left( O \right)$.

Vậy điểm $A$ là giao điểm của đường trung trực của $BC$ với đường tròn $\left( O \right)$ thì $DH \cdot DA$ lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là $\frac{{B{C^2}}}{4}.$

Vận tốc của người đó chạy ngược chiều gió là: $v - 6$ (km/h) $\left( {v > 6} \right).$

Thời gian người đó chạy hết quãng đường $s$ (km) là: $\frac{s}{{v - 6}}$ (giờ).

Khi đó, $E\left( v \right) = c \cdot {v^3} \cdot \frac{s}{{v - 6}} = \frac{{cs{v^3}}}{{v - 6}}$ (Jun).

Để năng lượng tiêu hao ít nhất thì $E\left( v \right) = \frac{{cs{v^3}}}{{v - 6}}$ nhỏ nhất.

Ta có: $E\left( v \right) = \frac{{cs{v^3}}}{{v - 6}} = cs \cdot \left( {{v^2} + 6v + 36 + \frac{{216}}{{v - 6}}} \right) = cs \cdot \left[ {{{\left( {v - 6} \right)}^2} + 18\left( {v - 6} \right) + 108 + \frac{{216}}{{v - 6}}} \right]$

$$= cs \cdot \left[ {{{\left( {v - 6} \right)}^2} + \frac{{27}}{{v - 6}} + \frac{{27}}{{v - 6}} + 18\left( {v - 6} \right) + \frac{{162}}{{v - 6}} + 108} \right]$$

$\ge cs \cdot \left[ {3\sqrt[3]{{{{\left( {v - 6} \right)}^2} \cdot \frac{{27}}{{v - 6}} \cdot \frac{{27}}{{v - 6}}}} + 2\sqrt {18\left( {v - 6} \right) \cdot \frac{{162}}{{v - 6}}} + 108} \right]$ (Bất đẳng thức Cauchy)

$$= cs \cdot \left[ {3 \cdot 9 + 2 \cdot 54 + 108} \right] = 243cs.$$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {v - 6} \right)^2} = \frac{{27}}{{v - 6}}\\18\left( {v - 6} \right) = \frac{{162}}{{v - 6}}\end{array} \right.,$ tức là $v = 9$ (thỏa mãn).

Vậy người đó cần chạy với vận tốc 9 km/h để năng lượng tiêu hao trong quá trình chạy là ít nhất bằng $243cs$ Jun.