Đề thi KSCL đầu năm Toán 9 (có đáp án) - Đề 1

Đáp án đúng là: B

Biểu thức $\frac{{x - 2}}{0}$ không phải là biểu thức đại số vì có mẫu bằng 0.

Đáp án đúng là: C

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b = 0$ với $a \ne 0$ nên phương trình $\frac{1}{2}x - 3 = 0$ là phương trình bậc nhất một ẩn với $a = \frac{1}{2} \ne 0.$

Đáp án đúng là: D

• Hệ số góc của đường thẳng $y = 2025x + 1$ là 2025;

• Hệ số góc của đường thẳng $y = 2026x + 1$ là 2026;

Vì $2025 \ne 2026$ nên đồ thị của hai hàm số $y = 2025x + 1$ và $y = 2026x + 1$ là hai đường thẳng cắt nhau.

Đáp án đúng là: C

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a$ và $b$ không đồng thời bằng 0.

Phương trình $2x + \frac{y}{2} = 1$ viết thành $2x + \frac{1}{2}y = 1$ là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án đúng là: A

Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $SH$ được gọi là đường cao.

Đáp án đúng là: D

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AC = 4\,\,{\rm{cm}},\,\,AB = 3\,\,{\rm{cm}}.$

Khi đó $\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3}.$

Đáp án đúng là: B

Trong các số 2; 3; 4; 5 thì có 2 và 4 chia hết cho 2.

Do đó, kết quả thuận lợi cho biến cố “Số ghi trên thẻ chia hết cho 2” là thẻ ghi số 2 và thẻ ghi số 4.

Đáp án đúng là: D

Vì theo tỉ số 2 nên $\frac{{BC}}{{NP}} = 2$ hay $BC = 2NP.$

Đáp án đúng là: C

Ta thay $x = - 2\,;\,\,y = - 3$ vào từng hệ phương trình:

⦁ Xét phương án A. $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 3\\2x + y = 4\end{array} \right..$

Thay $x = - 2\,;\,\,y = - 3$ vào hệ phương trình trên, ta được $\left\{ \begin{array}{l} - 2 - 2 \cdot \left( { - 3} \right) = 4 \ne 3\\2 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = 7 \ne 4\end{array} \right..$

Do đó cặp số $\left( { - 2\,;\,\, - 3} \right)$ không phải là nghiệm của hệ phương trình ở phương án A.

⦁ Xét phương án B. $\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 1\\x - 3y = 8\end{array} \right..$

Thay $x = - 2\,;\,\,y = - 3$ vào hệ phương trình trên, ta được $\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot \left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right) = - 1\\\left( { - 2} \right) - 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 7 \ne 8\end{array} \right..$

Do đó cặp số $\left( { - 2\,;\,\, - 3} \right)$ không phải là nghiệm của hệ phương trình ở phương án B.

⦁ Xét phương án C. $\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 1\\x - 3y = 7\end{array} \right..$

Thay $x = - 2\,;\,\,y = - 3$ vào hệ phương trình trên, ta được $\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot \left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right) = - 1\\\left( { - 2} \right) - 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 7\end{array} \right..$

Do đó cặp số $\left( { - 2\,;\,\, - 3} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình ở phương án C.

⦁ Xét phương án D. $\left\{ \begin{array}{l}4x - 2y = 0\\x - 3y = 5\end{array} \right..$

Thay $x = - 2\,;\,\,y = - 3$ vào hệ phương trình trên, ta được $\left\{ \begin{array}{l}4 \cdot \left( { - 2} \right) - 2 \cdot \left( { - 3} \right) = - 2 \ne 0\\\left( { - 2} \right) - 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 7 \ne 5\end{array} \right..$

Do đó cặp số $\left( { - 2\,;\,\, - 3} \right)$ không phải là nghiệm của hệ phương trình ở phương án D.

Vậy cặp số $\left( { - 2\,;\,\, - 3} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình ở phương án C.

Đáp án đúng là: B

Vì $ABCD$ là hình bình hành (gt) nên $\widehat B = \widehat D$ (hai góc đối của hình bình hành)

Xét $\Delta ADH$ và $\Delta ABK$ có $\widehat B = \widehat D$ (cmt); $\widehat {AHD} = \widehat {AKB} = 90^\circ .$

Do đó $ΔADH∽\ ΔABK$ (g.g)

Đáp án đúng là: A

Trong 50 lần thử, số lần gieo được mặt có số chấm là số lẻ là: $8 + 9 + 6 = 23$ (lần).

Xác suất thực nghiệm của biến cố “Gieo được mặt có số chấm là số lẻ” sau 50 lần thử trên là: $\frac{{23}}{{50}} = 0{,}46.$

Đáp án đúng là: B

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ $\widehat B$ và $\widehat C$ phụ nhau, do đó $\cos B = \;\sin C.$

Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H,$ theo định lí Pythagore, ta có:

$A{C^2} = A{H^2} + C{H^2}$.

Suy ra $A{H^2} = A{C^2} - C{H^2} = {15^2} - {6^2} = 189.$

Do đó $AH = 3\sqrt {21} \,\,{\rm{cm}}.$

Khi đó, $\cos B = \sin C = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{3\sqrt {21} }}{{15}} = \frac{{\sqrt {21} }}{5}.$

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Điều kiện xác định của biểu thức P là $x \ne 3\,;\,\,x \ne - 3.$ Do đó a) Sai.

b) Rút gọn $P = \frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{9 - {x^2}}} + \frac{{4x + 8}}{{x + 3}}$

$$= \frac{{{{\left( {3 - x} \right)}^2}}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} + \frac{{4x + 8}}{{x + 3}}$$

$$= \frac{{3 - x}}{{3 + x}} + \frac{{4x + 8}}{{x + 3}} = \frac{{3x + 11}}{{x + 3}}.$$

Do đó b) Đúng.

c) Với $x = - 2$ (TMĐK) nên $P\left( { - 2} \right) = \frac{{3 \cdot \left( { - 2} \right) + 11}}{{\left( { - 2} \right) + 3}} = \frac{{ - 6 + 11}}{1} = 5.$

Giá trị của P tại $x = - 2$ là 5 .

d) $x \in \left\{ { - 2\,;\,\, - 1\,;\,\, - 4} \right\}$ thì biểu thức $P$ nhận giá trị nguyên. Do đó c) Đúng.

Ta có $P = \frac{{3x + 11}}{{x + 3}} = \frac{{3\left( {x + 3} \right) + 2}}{{x + 3}} = 3 + \frac{2}{{x + 3}}.$

Để biểu thức $P$ nhận giá trị nguyên mà $3 \in \mathbb{Z}$ nên $\frac{2}{{x + 3}}$ là số nguyên.

Do đó $x + 3 \in$Ư$\left( 2 \right) = \left\{ { - 2\,;\,\, - 1\,;\,\,1\,;\,\,2} \right\}.$

Ta có bảng sau:

Như vậy, $x \in \left\{ { - 2\,;\,\, - 1\,;\,\, - 4\,;\,\, - 5} \right\}.$ Do đó d) Sai.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là $5\,;\,\,10\,;\,\,15\,;\,\,20\,;\,\,25.$ Do đó a) Sai.

b) Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố $B$ là $14\,;\,\,23.$ Do đó b) Đúng.

c) Xác suất của biến cố $A$ là $P\left( A \right) = \frac{5}{{25}} = \frac{1}{5}.$ Do đó c) Đúng.

d) Xác suất của biến cố $B$ là $P\left( B \right) = \frac{2}{{25}}.$ Do đó d) Đúng.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn.

b) Cặp số $\left( {5\,;\,\, - 1} \right)$ là một nghiệm của phương trình đã cho.

c) Tất cả nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng $y = 3 - \frac{1}{2}x.$

d) Phương trình đã cho có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát là $\left( {3 - 2y\,;\,\,y} \right)$ với $y \in \mathbb{R}$ tùy ý.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Xét $ABC$ cân tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường phân giác và đường cao của tam giác.

Xét $\Delta ABM$ vuông tại $M,$ khi đó $\widehat {BAM}$ và B là hai góc phụ nhau, nên sin BAM  cos B  cos . Do đó ý a) Đúng.

b) và c)

Xét $\Delta ABM$ vuông tại $M,$ ta có: $\cos B = \frac{{BM}}{{AB}}\,;\,\,\sin B = \frac{{AM}}{{AB}}.$

Suy ra $BM = AB \cdot \cos B = 2a \cdot \cos a$ và $AM = \;AB \cdot \sin B = \;2a \cdot \sin \alpha .$

Do đó ý b) và c) đều Sai.

d) Ta có $BC = 2BM = 2 \cdot 2a \cdot \cos \alpha = 4a \cdot \cos \alpha .$

Diện tích tam giác $ABC$ là: $S = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \left( {2a \cdot \sin \alpha } \right) \cdot \left( {4a \cdot \cos \alpha } \right) = 4{a^2} \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha .$

Do đó ý d) Đúng.

Đáp án: 66,3.

Vì cặp số $\left( {2\,;\,\, - 1} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình, ta thay $x = 2$ và $y = - 1$ vào hệ phương trình đã cho, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}a \cdot 2 + 6 \cdot \left( { - 1} \right) = 5\\5 \cdot 2 + b \cdot \left( { - 1} \right) = 4\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}2a - 6 = 5\\10 - b = 4\end{array} \right..$

Giải hệ phương trình ta được: $\left\{ \begin{array}{l}2a = 11\\b = 6\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{11}}{2}\\b = 6\end{array} \right..$

Tổng bình phương của $a$ và $b$ là: ${a^2} + {b^2} = {\left( {\frac{{11}}{2}} \right)^2} + {6^2} = \frac{{121}}{4} + 36 = 66{,}25 \approx 66{,}3.$

Đáp án: 59.

Gọi $k$ là số ngày trong 100 ngày ghi nhận tắc đường vào giờ cao điểm buổi sáng tại đường $X.$

Ta có $\frac{k}{{100}} \approx \frac{{217}}{{365}},$ suy ra $k \approx 100 \cdot \frac{{217}}{{365}} \approx 59.$

Vậy ta dự đoán trong 100 ngày tới có khoảng 59 ngày tắc đường trong giờ cao điểm tại đường $X.$

Đáp án: 5,88.

Thể tích hình chóp tam giác đều là: $V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h,$ suy ra $h = \frac{{3V}}{S}.$

Chiều cao của khối rubik là: $\frac{{3 \cdot 44{,}002}}{{22{,}45}} = 5{,}88\,\,{\rm{(cm)}}.$

Vậy chiều cao của khối rubik là $5{,}88\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}$

Đáp án: 120.

Đổi 20 phút $= \frac{1}{3}$ giờ.

Gọi quãng đường $AB$ là $x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\,\,\left( {x > 0} \right).$

Thời gian đi từ A đến B là $\frac{x}{{40}}$ (giờ).

Lúc về người đó tăng vận tốc thêm 5 km/h nên vận tốc lúc về của người đó là $40 + 5 = 45\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right).$

Thời gian đi từ B về A là $\frac{x}{{45}}$ (giờ).

Vì thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi là 20 phút ($= \frac{1}{3}$ giờ) nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{40}} - \frac{x}{{45}} = \frac{1}{3}$

$\frac{{9x}}{{360}} - \frac{{8x}}{{360}} = \frac{1}{3}$

$9x - 8x = 120$

$x = 120$ (TMĐK).

Vậy quãng đường AB là 120 km.

Đáp án: 2468

Đặt $BC = \;x\,\,({\rm{m}});\,\,AC = \;AB + \;BC = \;500 + \;x\,\,({\rm{m}}).$

Xét tam giác $ACD$ vuông tại $C,$ ta có: $\tan \widehat {CAD} = \frac{{CD}}{{AC}}.$

Suy ra $CD\; = \;AC \cdot \tan \widehat {CAD}\; = \;\left( {500\; + \;x} \right) \cdot \tan 34^\circ .$

Xét tam giác $BCD$ vuông tại $C,$ ta có: $\tan \widehat {CBD} = \frac{{CD}}{{BC}}.$

Suy ra $CD = BC \cdot \tan \widehat {CBD} = x \cdot \tan 38^\circ .$

Do đó, ta có: $\left( {500 + \;x} \right)\tan 34^\circ \; = \;x \cdot \tan 38^\circ$

$$500 \cdot \tan 34^\circ \; + \,x \cdot \tan 34^\circ = \;x \cdot \tan 38^\circ$$

$$\;x \cdot \tan 38^\circ - x \cdot \tan 34^\circ = 500 \cdot \tan 34^\circ$$

$$\;x \cdot \left( {\tan 38^\circ - \tan 34^\circ } \right) = 500 \cdot \tan 34^\circ$$

$\;x = \frac{{500 \cdot \tan 34^\circ }}{{\tan 38^\circ - \tan 34^\circ }}$.

Suy ra $\;CD = \frac{{500 \cdot \tan 34^\circ }}{{\tan 38^\circ - \tan 34^\circ }} \cdot \tan 38^\circ \approx 2468\,\,({\rm{m}}).$

Vậy ngọn núi cao khoảng $2468\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}$

Đáp án: 0,33.

Ta có ${a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {{a^3} + {b^3}} \right) + {c^3} - 3abc$

$= {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) + {c^3} - 3abc$

$= \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^3} + {c^3}} \right] - 3ab\left( {a + b + c} \right)$

$= \left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - c\left( {a + b} \right) + {c^2}} \right] - 3ab\left( {a + b + c} \right)$

$= \left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - c\left( {a + b} \right) + {c^2} - 3ab} \right]$

$= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac} \right)$

Vì ${a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc$ và $a + b + c \ne 0$ nên ${a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac = 0.$

Lại có $2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac} \right)$

$= \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right)$

$= {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2}.$

Như vậy, từ ${a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac = 0$ suy ra $a = b = c.$

Do đó, $N = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} = \frac{{3{a^2}}}{{9{a^2}}} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33.$