Đề thi KSCL đầu năm Toán 10 (có đáp án) - Đề 1

Giải bất phương trình:

$2x - 10 \ge 0$

$2x \ge 10$

$x \ge 5.$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là $x \ge 5$ hay $5 \le x.$ Chọn D.

Giải phương trình:

$\left( {2x + 6} \right)\left( {12 - 3x} \right) = 0$

$2x + 6 = 0$ hoặc $12 - 3x = 0$

$2x = - 6$ hoặc

$x = - 3$ hoặc $x = 4$

Như vậy, phương trình đã cho có các nghiệm là $x = - 3;\,\,x = 4.$

Vậy tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là $\left\{ { - 3;\,\,4} \right\}.$ Chọn A.

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $\widehat {BAC},\,\,\widehat {BOC}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $BC$.

Do đó $\widehat {BAC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC} = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ .$ Chọn C.

Tổng các góc của hình lục giác đều $ABCDEF$ bằng tổng các góc của hai tứ giác $ABCD$ và $ADEF,$ và bằng $2 \cdot 360^\circ = 720^\circ .$

Vì $ABCDEF$ là lục giác đều nên sáu góc của lục giác đều này bằng nhau và bằng: $\frac{{720^\circ }}{6} = 120^\circ .$

Vậy $\widehat {FAB} = 120^\circ .$ Chọn A.

⦁ Thay $x = 3$ vào hàm số $y = {x^2},$ ta được: $y = {3^2} = 9 \ne 3.$ Do đó đồ thị hàm số $y = {x^2}$ không đi qua điểm $\left( {3;3} \right).$

⦁ Thay $x = 3$ vào hàm số $y = \frac{1}{2}{x^2},$ ta được: $y = \frac{1}{2} \cdot {3^2} = \frac{9}{2} \ne 3.$ Do đó đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2}{x^2}$ không đi qua điểm $\left( {3;3} \right).$

⦁ Thay $x = 3$ vào hàm số $y = 3{x^2},$ ta được: $y = 3 \cdot {3^2} = 27 \ne 3.$ Do đó đồ thị hàm số $y = 3{x^2}$ không đi qua điểm $\left( {3;3} \right).$

⦁ Thay $x = 3$ vào hàm số $y = \frac{1}{3}{x^2},$ ta được: $y = \frac{1}{3} \cdot {3^2} = 3.$ Do đó đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3}{x^2}$ đi qua điểm $\left( {3;3} \right).$

Chọn D.

Ta có $25 = {5^2}$ nên 25 là số chính phương, vậy mệnh đề ở đáp án A đúng.

Số 8 có nhiều hơn 2 ước khác 1 và 8 nên nó là hợp số, vậy mệnh đề ở đáp án B là đúng.

Số 17 chỉ có 2 ước là 1 và 17 nên nó là số nguyên tố, vậy mệnh đề ở đáp án C đúng.

Số 21 không chia hết cho 5, vậy mệnh đề ở đáp án D sai. Chọn D.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\ - 2 \le k \le 2\end{array} \right. \Rightarrow k = \left\{ { - 2\,;\, - 1\,;\,0\,;\,1\,;\,2} \right\} \Rightarrow {k^2} = \left\{ {0\,;\,1\,;\,4} \right\}$.

Do đó $A = \left\{ {0;1;4} \right\}$. Chọn D.

a) Đúng. Mệnh đề đảo của mệnh đề “$P \Rightarrow Q$” là mệnh đề “$Q \Rightarrow P$” và được phát biểu là: “Nếu $ABCD$ là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác $ABCD$ là hình vuông”.

b) Sai. Hai mệnh đề $P$ và $Q$ tương đương với nhau.

c) Sai. Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ là mệnh đề đúng.

d) Đúng. Vì $P$ và $Q$ tương đương nên $P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$.

a) Sai. Ta có $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\cos \alpha < 0$.

b) Đúng. Vì ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}$.

Do đó $\cos \alpha = - \sqrt {\frac{{16}}{{25}}} = - \frac{4}{5}$.

c) Sai. Ta có $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{3}{4} \Rightarrow \,\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha = \frac{3}{4}$.

d) Đúng. $A = \frac{{\tan \alpha - \cot \left( {180^\circ - \alpha } \right)}}{{\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right)}} = \frac{{\tan \alpha - \frac{1}{{\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right)}}}}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{ - 3}}{4} - \frac{4}{3}}}{{\frac{{ - 4}}{5}}} = \frac{{125}}{{48}}$.

Hết 4 giây đầu, vật lăn được 8 m nên với $x = 4$ thì $y = 8.$

Thay $x = 4,\,\,y = 8$ vào công thức $y = \left( {a - 1} \right){x^2},$ ta được:

$8 = \left( {a - 1} \right) \cdot {4^2},$ hay $16\left( {a - 1} \right) = 8,$ suy ra $a - 1 = \frac{1}{2},$ nên $a = \frac{3}{2}.$

Khi đó $y = \frac{1}{2}{x^2}.$

Vật lăn từ đỉnh xuống đến chân dốc thì vật lăn được quãng đường $50$ m nên $y = 50\;{\rm{m}}{\rm{.}}$

Thay $y = 50$ vào công thức $y = \frac{1}{2}{x^2}$, ta được $50 = \frac{1}{2}{x^2}$, hay ${x^2} = 100$.

Mà $x > 0$ nên $x = 10$.

Vậy, thời gian để vật lăn từ đỉnh xuống đến chân dốc là 10 giây.

Đáp án: 10.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B,$ ta có: $AB = BC \cdot \tan C = 5{,}8 \cdot \tan 60^\circ \approx 10{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Đáp án: 10.

Gọi số sản phẩm tổ I, tổ II làm được lần lượt là $x,\,\,y$ (sản phẩm) $\left( {0 < x,\,\,y < 1200} \right).$

Hai tổ công nhân cùng làm được 1200 sản phẩm nên ta có phương trình: $x + y = 1200.$ (1)

Ba lần số sản phẩm của tổ II nhiều hơn hai lần số sản phẩm của tổ I là 350 sản phẩm nên ta có phương trình: $3y = 2x + 350$hay $- 2x + 3y = 350.$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1200\\ - 2x + 3y = 350.\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình trên, ta được $\left\{ \begin{array}{l}x = 650\\y = 550.\end{array} \right.$

Tổ I làm được nhiều hơn tổ II số sản phẩm là: $650 - 550 = 100$ (sản phẩm).

Đáp án: 100.

Kí hiệu 4 học sinh nam lần lượt là X$_{1}$, X$_{2}$, X$_{3}$, X$_{4}$ và 2 học sinh nữ lần lượt là Y$_{1}$, Y$_{2}$.

Không gian mẫu của phép thử là:

$\Omega =${X$_{1}$X$_{2}$; X$_{1}$X$_{3}$; X$_{1}$X$_{4}$; X$_{2}$X$_{3}$; X$_{2}$X$_{4}$; X$_{3}$X$_{4}$; Y$_{1}$Y$_{2}$; X$_{1}$Y$_{1}$; X$_{1}$Y$_{2}$; X$_{2}$Y$_{1}$; X$_{2}$Y$_{2}$; X$_{3}$Y$_{1}$; X$_{3}$Y$_{2}$; X$_{4}$Y$_{1}$; X$_{4}$Y$_{2}$}.

Không gian mẫu có 15 phần tử.

Gọi A là biến cố: “Hai học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nữ”.

Có 9 kết quả thuận lợi cho biến cố A là: Y$_{1}$Y$_{2}$; X$_{1}$Y$_{1}$; X$_{1}$Y$_{2}$; X$_{2}$Y$_{1}$; X$_{2}$Y$_{2}$; X$_{3}$Y$_{1}$; X$_{3}$Y$_{2}$; X$_{4}$Y$_{1}$; X$_{4}$Y$_{2}$.

Xác suất của biến cố A là: $\frac{9}{{15}} = \frac{3}{5} = 0{,}6.$

Đáp án: 0,6.

Thể tích của khối trụ bên dưới là: ${V_1} = \pi \cdot {15^2} \cdot 20 = 4\,\,500\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Thể tích của khối trụ bên trên là: ${V_2} = \pi \cdot {10^2} \cdot 30 = 3\,\,000\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Vậy thể tích của chiếc mốp xốp đó là: $V = {V_1} + {V_2} = 4\,\,500\pi + 3\,\,000\pi = 7\,\,500\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Xét phương trình ${x^2} - mx + 3 - m = 0$.

Phương trình trên có $\Delta = {\left( { - m} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {3 - m} \right) = {m^2} - 12 + 4m.$

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta > 0,$ tức là ${m^2} + 4m - 12 > 0.$

Giải bất phương trình:

${m^2} + 4m - 12 > 0$

${m^2} - 2m + 6m - 12 > 0$

$m\left( {m - 2} \right) + 6\left( {m - 2} \right) > 0$

$\left( {m - 2} \right)\left( {m + 6} \right) > 0$

⦁ Trường hợp 1: $m - 2 > 0$ và $m + 6 > 0$

$m > 2$ và $m > - 6$

$m > 2.$

⦁ Trường hợp 2: $m - 2 < 0$ và $m + 6 < 0$

$m < 2$ và $m < - 6$

$m < - 6.$

Như vậy, để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì $m > 2$ hoặc $m < - 6.$

Theo định lí Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = m;\,\,{x_1}{x_2} = 3 - m.$

Ta có: $x_1^2 + x_2^2 + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8$

$$x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8$$

${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8$

${m^2} - 2 \cdot \left( {3 - m} \right) + 3 \cdot m = 8$

${m^2} - 6 + 2m + 3m = 8$

${m^2} + 5m - 14 = 0$

${m^2} - 2m + 7m - 14 = 0$

$m\left( {m - 2} \right) + 7\left( {m - 2} \right) = 0$

$\left( {m - 2} \right)\left( {m + 7} \right) = 0$

$m - 2 = 0$ hoặc $m + 7 = 0$

$m = 2$ (loại) hoặc $m = - 7$ (thỏa mãn).

Vậy $m = - 7.$

Gọi $a,b,c$ theo thứ tự là số học sinh chỉ thích một môn Toán, Văn, Anh.

$x$ là số học sinh chỉ thích hai môn là Toán và Anh.

$y$ là số học sinh chỉ thích hai môn là Anh và Văn.

$z$ là số học sinh chỉ thích hai môn là Văn và Toán.

Số em thích ít nhất một môn là $45 - 6 = 39$.

Ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}a + x + z + 5 = 25\\b + y + z + 5 = 18\\c + x + y + 5 = 20\\x + y + z + a + b + c + 5 = 39\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 20$.

Vậy tổng số học sinh thích chỉ một trong ba môn Toán, Anh, Văn là 20 học sinh.