Đề thi Học kì 1 Toán 10 - Bộ sách Kết nối tri thức - Đề 02

Đáp án đúng là: D

A. Câu trên không phải là mệnh đề vì nó là câu hỏi và không khẳng định tính đúng sai.

B. Câu trên không phải là mệnh đề vì nó là câu hỏi và không khẳng định tính đúng sai.

C. Câu trên không phải là mệnh đề vì nó là câu cảm thán và không khẳng định tính đúng sai.

D. Câu này là mệnh đề vì nó khẳng định tính đúng sai.

Đáp án đúng là: B

Cách 1:

Ta có:

+ Các tập con có 0 phần tử: ∅.

+ Các tập con có 1 phần tử: {2}, {4}, {6}, {8}.

+ Các tập con có 2 phần tử: {2; 4}, {2; 6}, {2; 8}, {4; 6}, {4; 8}, {6; 8}.

+ Các tập con có 3 phần tử: {2; 4; 6}, {2; 4; 8}, {2; 6; 8}, {4; 6; 8}.

+ Các tập con có 4 phần tử: {2; 4; 6; 8}.

Vậy tập hợp A có 16 tập con.

Cách 2: Tập hợp A có 4 phần tử nên số tập con của tập hợp A là 2$^{4}$ = 16.

Đáp án đúng là: D

Tập hợp K là tập hợp các phần tử thuộc [1; 7) nhưng không thuộc (– 3; 5).

Ta xác định tập hợp K bằng cách vẽ trục số như sau: Trên cùng một trục số, tô đậm khoảng [1; 7) và gạch bỏ khoảng (–3; 5), sau đó bỏ luôn các khoảng chưa được tô hoặc đánh dấu. Phần tô đậm không bị gạch bỏ chính là tập hợp K.

Vậy K = [1 ; 7) \ (– 3 ; 5) = [5 ; 7).

Đáp án đúng là: A

– Trên mặt phẳng Oxy vẽ đường thẳng Δ: x – y + 5 = 0 đi qua hai điểm A(1; 6) và B(0; 5).

– Xét gốc tọa độ O(0; 0). Ta thấy O không nằm trên đường thẳng Δ và 0 – 0 + 5 ≥ 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có kể bờ Δ, chứa gốc tọa độ O (miền màu xanh trong hình ảnh).

Đáp án đúng là: B

Xét từng phương trình của hệ $\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0\\x + 5y < 4\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0\\x + 5y - 4 < 0\end{array} \right.$với cặp số (1; –1) ta có:

2.1 – 1 = 1 > 0

1 + 5.(–1) – 4 = –8 < 0

Do đó, cặp số (1; –1) là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0\\x + 5y < 4\end{array} \right.$ .

Đáp án đúng là: D

Ta có:

sin 0° = 0;

cos 90° = 0;

cos 0° = 1;

sin 90° = 1 nên đáp án D sai.

Đáp án đúng là: B

Vì β là góc tù nên sin β > 0, cos β < 0 , tan β < 0, cot β < 0.

Vậy B đúng, A, C, D sai.

Đáp án đúng là: C

Vì 90° < α < 180° nên cosα < 0.

Do đó $cos\alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)}^2}} = - \sqrt {\frac{{25}}{{169}}} = - \frac{5}{{13}}$.

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC, ta có

$\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{b}{c} = \frac{{AC}}{{AB}}$

Từ $\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \sqrt 3$ suy ra $\frac{{AC}}{{AB}} = \sqrt 3 \Leftrightarrow AC = AB\sqrt 3 = 2\sqrt 2 .\sqrt 3 = 2\sqrt 6$.

Đáp án đúng là: C

$\overrightarrow {KC}$ có giá là đường thẳng AC, hướng từ trái sang phải

$\overrightarrow {KA}$ có giá là đường thẳng AC, hướng từ phải sang trái

Do đó, $\overrightarrow {KC}$ và $\overrightarrow {KA}$ cùng phương ngược hướng.

Đáp án đúng là: C

Xét hình bình hành ABCD có:

CD = AB = 4 cm.

Vậy $\left| {\overrightarrow {CD} } \right| = CD = 4cm$.

Đáp án đúng là: B

Áp dụng tính chất giao hoán và quy tắc ba điểm cho ba điểm A, C, B ta có: $\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB}$

Vậy $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AC}$.

Đáp án đúng là: C

+) Ta có: $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AI} = \overrightarrow {IB} \ne \overrightarrow {BI}$ nên A sai.

+) $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {BD}$ (theo quy tắc hình bình hành) nên B sai.

+) Ta có: $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD}$

Mà $\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD}$ (do ABCD là hình bình hành)

Vậy $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0$. Nên C đúng.

+) Ta có: $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \ne \overrightarrow 0$. Vậy D sai.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$ (áp dụng quy tắc hình bình hành cho hình vuông ABCD).

Xét tam giác ADC vuông tại D

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

AC$^{2}$ = AD$^{2}$ + DC$^{2}$ = (2a)$^{2}$ + (2a)$^{2}$ = 8a$^{2}$ ⇒ AC = $2a\sqrt 2$

Vậy $\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {DA} } \right| = 2a\sqrt 2$.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD}$

$= \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)$

$= 2\overrightarrow {OE} + 2\overrightarrow {OF}$ (do E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD)

$= 2(\overrightarrow {OE} + \overrightarrow {OF} ) = 2.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0$ (do O là trung điểm của EF).

Vậy $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0$.

Đáp án đúng là: B

Theo đề bài: CN = 2BC nên $\overrightarrow {BN} = 3\overrightarrow {BC}$

Ta có:

$\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + 3\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = - 2\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AC} = - 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b$.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\overrightarrow x = \overrightarrow a - 3\overrightarrow b$

$\overrightarrow y = 2\overrightarrow a + 6\overrightarrow b = - 2\left( {\overrightarrow a - 3\overrightarrow b } \right) = - 2\overrightarrow x$

Vì – 2 < 0

Vậy $\overrightarrow y$, $\overrightarrow x$ cùng phương, ngược hướng.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {BJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}$

$\overrightarrow {BI} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \frac{3}{2}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{3}{2}.\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} = \frac{3}{2}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{3}{2}\overrightarrow {BJ}$

Do đó, $\overrightarrow {BI} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BJ}$

Vậy B, I, J thẳng hàng.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

$$\sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ$$

Vậy $\left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \widehat {ACB} = 30^\circ$.

Đáp án đúng là: A

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = \sqrt 3 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right|.2.cos30^\circ = \sqrt 3$

$\Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right|.2.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = 1$.

Đáp án đúng là: D

Do tam giác ABC đều nên:

AB = AC = a $\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = a$

$\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) =$$\widehat {BAC} = 60^\circ \Rightarrow \cos \widehat {BAC} = \frac{1}{2}$.

Ta có:

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \widehat {BAC} = a.a.\frac{1}{2} = \frac{1}{2}{a^2}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right).\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} \bot \overrightarrow {AC}$

Vậy BD vuông góc với AC.

Đáp án đúng là: A

Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được: $\frac{6}{{17}} = 0{,}3529411765....$

Ta có: ∆$_{0{,}35}$ = |0,35 – $\frac{6}{{17}}$| < |0,35 – 0,353| = 0,003.

Do đó sai số tuyệt đối của số gần đúng 0,35 không vượt quá 0,003.

Đáp án đúng là: A

Hàng lớn nhất của độ chính xác d = 0,05 là hàng phần trăm nên ta quy tròn a đến hàng phần mười.

Vậy số quy tròn của a là 15,3.

Đáp án đúng là: C

Ta có cỡ mẫu của mẫu số liệu trên là n = 10.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline x = \frac{{11 + 9 + 7 + 5 + 15 + 20 + 9 + 6 + 17 + 13}}{{10}} = 11{,}2$.

Đáp án đúng là: A

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

0; 1; 2; 3; 5; 9; 10.

Vì cỡ mẫu là n = 7 nên trung vị của mẫu số liệu trên là số liệu thứ 4. Tức là

M$_{e}$ = 3.

Đáp án đúng là: D

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

1; 2; 9; 9; 10; 11; 12; 15; 17; 20.

+ Vì cỡ mẫu là n = 10 nên giá trị tứ phân vị thứ hai là trung bình cộng của số liệu thứ 5 và 6.

Q$_{2}$ = $\frac{{10 + 11}}{2} = 10{,}5$.

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 9; 9; 10.

Do đó Q$_{1}$ = 9.

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 11; 12; 15; 17; 20.

Do đó Q$_{3}$ = 15.

Vậy tứ phân vị Q$_{1}$, Q$_{2}$, Q$_{3}$ của mẫu số liệu trên lần lượt là 9; 10,5; 15.

Đáp án đúng là: A

Ta thấy số 5 xuất hiện với tần số nhiều nhất trong mẫu số liệu trên (2 lần).

Vậy M$_{0}$ = 5.

Đáp án đúng là: B

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta có:

2; 2; 5; 5; 9; 15; 26; 26; 28; 30.

+ Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu trên là 2.

+ Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu trên là 30.

Ta có : R = 30 – 2 = 28.

Do đó khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 28.

Đáp án đúng là: C

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta có:

2; 3; 5; 9; 12; 12; 16; 24; 27; 33.

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 3; 5; 9; 12.

Do đó Q$_{1}$ = 5.

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 12; 16; 24; 27; 33.

Do đó Q$_{3}$ = 24.

Ta có : ∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ – Q$_{1}$ = 24 – 5 = 19.

Do đó khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là 19.

Đáp án đúng là: D

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\overline x = \frac{{12 + 2 + 6 + 13 + 9 + 21}}{6} = 10{,}5$.

Công thức tính phương sai của một mẫu số liệu là:

S$^{2}$ = $\frac{1}{n}\left[ {{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}} \right]$

Thay số ta có:

S$^{2}$ = $\frac{1}{6}$[(12 – 10,5)$^{2}$ + (2 – 10,5)$^{2}$ + (6 – 10,5)$^{2}$ + (13 – 10,5)$^{2}$ + (9 – 10,5)$^{2}$ + (21 – 10,5)$^{2}$] ≈ 35,58.

Do đó phương sai của mẫu số liệu trên là 35,58.

Đáp án đúng là: A

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\overline x = \frac{{24 + 16 + 12 + 5 + 9 + 3}}{6} = 11{,}5$.

Công thức tính phương sai của một mẫu số liệu là:

S$^{2}$ = $\frac{1}{n}\left[ {{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}} \right]$

Thay số ta có:

S$^{2}$ = $\frac{1}{6}$[(24 – 11,5)$^{2}$ + (16 – 11,5)$^{2}$ + (12 – 11,5)$^{2}$ + (5 – 11,5)$^{2}$ + (9 – 11,5)$^{2}$ + (3 – 11,5)$^{2}$] ≈ 49,58.

Do đó phương sai của mẫu số liệu trên là 49,58.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là S = $\sqrt {{S^2}}$= $\sqrt {49{,}58}$ ≈ 7,04.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {2;\,\, - 3} \right)$, suy ra $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {13}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow u = 3\overrightarrow i - 5\overrightarrow j = 3\overrightarrow i + \left( { - 5} \right)\overrightarrow j$. Khi đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow u$ là $\overrightarrow u = \left( {3;\, - 5} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.\left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right).0 = - 2$, $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 ,\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2}} = 2.$

$\Rightarrow cos\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 2}}{{2\sqrt 2 }} = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 135^\circ .$

Ta mô phỏng bài toán như hình vẽ sau:

Áp dụng định lí côsin ta có:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.\cos \widehat {ABC}$

$\Leftrightarrow 144 = A{B^2} + 64 - 16.AB.\cos 65^\circ$

$$\Leftrightarrow A{B^2} - 16.AB.\cos {65^o} - 80 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}AB \approx 13\\AB \approx - 6{,}18\,\,(L)\end{array} \right.$$

Do đó: AB = 13 km.

Ta có: AC + BC – AB = 12 + 8 – 13 = 7 (km)

Vậy số tiền phải tốn thêm 7 . 150 000 = 1 050 000 (đồng).

Xét tam giác ABC vuông tại A

Có: AB⊥AC ⇔ $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0$ ⇔ $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0$ vì D thuộc AC

Vì M là trung điểm của BC nên ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM}$

Lại có: $\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB}$ (quy tắc ba điểm)

Khi đó ta có $2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD}$$= \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)$

$= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - {\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}$

$= 0 - A{B^2} + AC.AD.cos0^\circ - 0$

$= - {a^2} + 2a.\frac{a}{2} = 0$.

Vậy $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow AM \bot BD$ (đcpcm).

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta có:

1; 2; 2; 3; 5; 5; 8; 45.

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 2; 3.

Do đó Q$_{1}$ = $\frac{{2 + 2}}{2} = 2$.

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 5; 5; 8; 45.

Do đó Q$_{3}$ = $\frac{{5 + 8}}{2} = 6{,}5$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu : ∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ – Q$_{1}$ = 6,5 – 2 = 4,5.

Ta có:

+ Q$_{3}$ + 1,5∆$_{Q}$ = 6,5 + 1,5.4,5 = 13,25

+ Q$_{1}$ – 1,5∆$_{Q}$ = 2 – 1,5.4,5 = – 4,75

Vì 45 > Q$_{3}$ + 1,5∆$_{Q}$ nên 45 là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu trên.