Đề thi Học kì 1 Toán 10 - Bộ sách Kết nối tri thức - Đề 01

Đáp án đúng là: B

+ “2 là số nguyên âm” là một mệnh đề vì đây là một khẳng định sai.

+ “Bạn có thích học môn Toán không?” không là một mệnh đề vì đây là câu nghi vấn, không phải là một khẳng định có tính đúng sai.

+ “13 là số nguyên tố” là một mệnh đề vì đây là một khẳng định đúng.

+ “Số 15 chia hết cho 2” là một mệnh đề vì đây là một khẳng định sai.

Đáp án đúng là: C

Quan sát các tập hợp ở các đáp án đã cho, ta thấy chỉ có tập A$_{3}$ = {4; 5} là tập con của tập A, do các phần tử của A$_{3}$ đều là phần tử của A.

Đáp án đúng là: B

Ta có: A = {x ∈ ℝ| – 5 ≤ x < 1} = [– 5; 1)

B = {x ∈ ℝ| – 3 < x ≤ 3} = (– 3; 3]

A ∪ B = {x ∈ A hoặc x ∈ B} = [– 5; 1) ∪ (– 3; 3] = [– 5; 3].

Đáp án đúng là: C

Lần lượt thay các cặp số vào các bất phương trình của hệ bất phương trình đã cho, cặp số nào không thỏa mãn hệ thì cặp số đó không là nghiệm của hệ đã cho.

+) Với cặp số (0; 0), thay vào hệ bất phương trình ta được $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{0 + 0 - 2 \le 0}\\{2.0 - 3.0 + 2 > 0}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 \le 0\\2 > 0\end{array} \right.$ (luôn đúng). Vậy (0; 0) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Với cặp số (1; 1), thay vào hệ bất phương trình ta được $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{1 + 1 - 2 \le 0}\\{2.1 - 3.1 + 2 > 0}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le 0\\1 > 0\end{array} \right.$ (luôn đúng). Vậy (1; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Với cặp số (– 1; 1), thay vào hệ bất phương trình ta được $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\left( { - 1} \right) + 1 - 2 \le 0}\\{2.\left( { - 1} \right) - 3.1 + 2 > 0}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 \le 0\\ - 3 > 0\end{array} \right.$ (vô lý). Vậy (– 1; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Với cặp số (– 1; – 1), thay vào hệ bất phương trình ta được $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) - 2 \le 0}\\{2.\left( { - 1} \right) - 3.\left( { - 1} \right) + 2 > 0}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 \le 0\\3 > 0\end{array} \right.$ (luôn đúng). Vậy (– 1; – 1) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Đáp án đúng là: B

Hai góc bù nhau có sin bằng nhau; có côsin, tang, côtang đối nhau.

Do đó, trong các đẳng thức đã cho, đẳng thức đúng là: cos (180° – α) = – cos α.

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

AB$^{2}$ = AC$^{2}$ + BC$^{2}$ – 2 . AC. BC . cos C = 3$^{2}$ + 1$^{2}$ – 2 . 3 . 1 . cos 60° = 7.

Suy ra, AB = $\sqrt 7$.

Đáp án đúng là: C

Hai vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Ta có, giá của vectơ $\overrightarrow {OB}$ là đường thẳng OB hay chính là đường thẳng BE.

Giá của vectơ $\overrightarrow {OC}$ là đường thẳng OC hay chính là đường thẳng FC.

Giá của vectơ $\overrightarrow {BC}$ là đường thẳng BC.

Giá của vectơ $\overrightarrow {BE}$ là đường thẳng BE.

Giá của vectơ $\overrightarrow {OA}$ là đường thẳng OA hay chính là đường thẳng AD.

Do đó, từ hình vẽ ta thấy giá của vectơ $\overrightarrow {OB}$ và giá của vectơ $\overrightarrow {BE}$ trùng nhau, vậy hai vectơ $\overrightarrow {OB}$ và $\overrightarrow {BE}$ cùng phương.

Đáp án đúng là: C

+) Theo quy tắc ba điểm, với ba điểm M, N, P ta có: $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP}$. Do đó đáp án A đúng.

+) Theo quy tắc hiệu, với ba điểm M, N, P ta có: $\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {PN}$. Do đó đáp án B đúng.

+) Ta có: $\overrightarrow {IN} + \overrightarrow {MI} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IN} = \overrightarrow {MN}$ (tính chất giao hoán và quy tắc ba điểm). Do đó đáp án D đúng.

Vậy đáp án C sai.

Đáp án đúng là: A

Do ABCD là hình chữ nhật nên ABCD cũng là hình bình hành, áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BD}$.

Suy ra, $\left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD$.

Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông ABD, ta có:

BD$^{2}$ = AB$^{2}$ + AD$^{2}$ = 4$^{2}$ + 3$^{2}$ = 25, suy ra BD = 5 (cm).

Vậy $\left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD$= 5 cm.

Đáp án đúng là: C

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có: $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$.

Với điểm M bất kỳ, theo quy tắc ba điểm ta có:

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)$

$= 3\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow 0 = 3\overrightarrow {MG}$.

Vậy $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG}$.

Đáp án đúng là: D

Từ hình vẽ ta thấy, MB = 3MA, MB = $\frac{3}{4}$AB, AB = 4MA.

Vì điểm M thuộc đường thẳng AB và M nằm giữa A và B nên ta có:

+ Vectơ $\overrightarrow {MA}$ và $\overrightarrow {MB}$ ngược hướng.

+ Vectơ $\overrightarrow {MB}$ và $\overrightarrow {AB}$ cùng hướng.

+ Vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {MA}$ ngược hướng.

Từ đó ta có: $\overrightarrow {MB} = - 3\overrightarrow {MA}$; $\overrightarrow {MB} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB}$; $\overrightarrow {AB} = - 4\overrightarrow {MA}$. Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow u = - 2\overrightarrow i + \overrightarrow j = - 2\left( {1;\,\,0} \right) + \left( {0;\,\,1} \right) = \left( { - 2.1 + 0; - 2.0 + 1} \right) = \left( { - 2;1} \right)$.

Vậy $\overrightarrow u = \left( { - 2;1} \right)$.

Đáp án đúng là: C

+ Ta có vectơ $\overrightarrow a = \left( {1;0} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {0;1} \right)$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox và Oy nên hai vectơ này vuông góc với nhau, do đó chúng không cùng phương.

+ Ta có: $\frac{3}{6} \ne \frac{{ - 2}}{4}$, do đó hai vectơ $\overrightarrow u = \left( {3; - 2} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {6;4} \right)$ không cùng phương.

+ Ta có: $\frac{2}{{ - 6}} = \frac{3}{{ - 9}}\left( { = \frac{{ - 1}}{3}} \right)$, do đó hai vectơ $\overrightarrow i = \left( {2;3} \right)$ và $\overrightarrow j = \left( { - 6; - 9} \right)$ cùng phương.

+ Ta có: $\frac{2}{{ - 6}} \ne \frac{3}{9}$, do đó hai vectơ $\overrightarrow c = \left( {2;3} \right)$ và $\overrightarrow d = \left( { - 6;9} \right)$ không cùng phương.

Đáp án đúng là: B

Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không bằng tích độ dài hai vectơ với côsin góc giữa hai vectơ đó.

Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

Đáp án đúng là: A

– Trên mặt phẳng Oxy vẽ đường thẳng Δ: 2x – y + 6 = 0 đi qua hai điểm A(1; 8) và B(0; 6).

– Xét gốc tọa độ O(0; 0). Ta thấy O không nằm trên đường thẳng Δ và 2.0 – 0 + 6 > 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ Δ (kể cả bờ), không chứa gốc tọa độ O (miền màu xanh trong hình ảnh).

Đáp án đúng là: A

Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat B = \widehat C = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2} = \frac{{180^\circ - 120^\circ }}{2} = 30^\circ$.

Do đó $\sin B = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có ${\tan ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$

$\Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}} = \frac{1}{{{{\left( { - 2\sqrt 2 } \right)}^2} + 1}} = \frac{1}{9}$$\Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{3}$.

Vì 0° < α < 180° ⇒ sinα > 0 mà $\tan \alpha = - 2\sqrt 2$< 0 nên cosα < 0.

Do đó $\cos \alpha = - \frac{1}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Cho hình thoi ABCD. Vectơ – không có điểm đầu là A thì nó có điểm cuối là điểm A.

Ta có: $\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0$.

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC đều có: $\widehat {BAC} = 60^\circ$

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 60^\circ$.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có:

AB$^{2}$ + BC$^{2}$ = 3$^{2}$ + 4$^{2}$ = 25

AC$^{2}$ = 5$^{2}$ = 25

Do đó, AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$

Vậy tam giác ABC vuông tại B (theo định lí Pythagore đảo).

⇒ BA ⊥ BC

$\Rightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 0$.

Đáp án đúng là: A

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = \sqrt 3 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right|.2.cos30^\circ = \sqrt 3$

$\Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right|.2.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = 1$.

Đáp án đúng là: D

Góc giữa lực $\overrightarrow F$ là hướng dịch chuyển của vật là: $\left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow {MN} } \right) = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Công sinh bởi lực F là: $A = \left| {\overrightarrow F } \right|.MN.cos60^\circ = 60\sqrt 3 .10.\frac{1}{2} = 300\sqrt 3$ (J).

Đáp án đúng là: C

Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được: $\sqrt 3 = 1{,}732050808....$

Ta có: ∆$_{1{,}73}$ = |1,73 – $\sqrt 3$| < |1,73 – 1,732| = 0,002.

Do đó sai số tuyệt đối của số gần đúng 1,73 không vượt quá 0,002.

Đáp án đúng là: D

Hàng lớn nhất của độ chính xác d = 0,5 là hàng phần mười nên ta quy tròn b đến hàng đơn vị.

Vậy số quy tròn của b là 12 409.

Đáp án đúng là: B

Ta có cỡ mẫu của mẫu số liệu trên là n = 7.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline x = \frac{{2 + 5 + 8 + 7 + 10 + 20 + 11}}{7} = 9$.

Đáp án đúng là: A

Vì cỡ mẫu là n = 7 nên trung vị của mẫu số liệu trên là số liệu thứ 4. Tức là

M$_{e}$ = 3.

Đáp án đúng là: B

Ta thấy số lượng học sinh đăng kí thi môn cầu lông của lớp 7 lớn hơn số lượng học sinh đăng kí thi môn cầu lông ở các lớp 6, 8, 9.

Vậy M$_{0}$ = 7.

Đáp án đúng là: B

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

2; 5; 5; 9; 10; 15; 20.

+ Vì cỡ mẫu là n = 7 nên giá trị tứ phân vị thứ hai là số liệu thứ 4 nên Q$_{2}$ = 9.

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 5; 5.

Do đó Q$_{1}$ = 5.

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 15; 20.

Do đó Q$_{3}$ = 15.

Vậy tứ phân vị Q$_{1}$, Q$_{2}$, Q$_{3}$ của mẫu số liệu trên lần lượt là 5; 9; 15.

Đáp án đúng là: B

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta có:

5; 6; 8; 11; 12; 20; 22.

+ Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu trên là 5.

+ Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu trên là 22.

Ta có: R = 22 – 5 = 17.

Do đó khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 17.

Đáp án đúng là: B

Khoảng tứ phân vị ∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ – Q$_{1}$.

Đáp án đúng là: D

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta có:

2; 5; 5; 6; 10; 12; 15; 17; 23.

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 5; 5; 6.

Do đó Q$_{1}$ = $\frac{{5 + 5}}{2} = 5$.

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 12; 15; 17; 23.

Do đó Q$_{3}$ = $\frac{{15 + 17}}{2} = 16$.

Ta có: ∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ – Q$_{1}$ = 16 – 5 = 11

Do đó khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là 11.

Đáp án đúng là: B

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\overline x = \frac{{10 + 3 + 6 + 9 + 15}}{5} = 8{,}6$.

Công thức tính phương sai của một mẫu số liệu là:

S$^{2}$ = $\frac{1}{n}\left[ {{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}} \right]$

Thay số ta có:

S$^{2}$ = $\frac{1}{5}$[(10 – 8,6)$^{2}$ + (3 – 8,6)$^{2}$ + (6 – 8,6)$^{2}$ + (9 – 8,6)$^{2}$ + (15 – 8,6)$^{2}$ ] = 16,24.

Do đó phương sai của mẫu số liệu trên là 16,24.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là S = $\sqrt {{S^2}}$= $\sqrt {16{,}24}$ ≈ 4,03.

Đáp án đúng là: A

Do tam giác ABC đều cạnh 4 nên: AB = AC = BC = 4

⇒ $\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC$= 4

Ta có: $\left| { - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right| = \left| { - \frac{1}{2}} \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \frac{1}{2}.4 = 2$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: CD = 2CN và N nằm trên cạnh CD nên $\overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CD}$.

Mà ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {CD}$.

Do đó, $\overrightarrow {CN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$.

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;\,\,9} \right)$, $\overrightarrow {OC} = \left( {m;\,\,2m - 17} \right)$.

AB ⊥ OC $\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \, \bot \,\overrightarrow {OC} \, \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OC} = 0$

⇔ (– 1) . m + 9(2m – 17) = 0

⇔ 17m – 153 = 0

⇔ m = 9.

Vậy với m = 9 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi CH là chiều cao của ngọn núi.

Theo đề ta có: $AB = 70\,\,m,\,\widehat {CAH} = 30^\circ ,\,\widehat {ABC} = 90^\circ + 15^\circ 30' = 105{,}5^\circ$.

Suy ra $\widehat {BAC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$;

$\widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat {ABC} - \widehat {BAC} = 180^\circ - 105{,}5^\circ - 60^\circ = 14{,}5^\circ$.

Theo định lý sin trong tam giác ABC, ta có: $\frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}} = \frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} \Leftrightarrow AC = \frac{{AB.\sin \widehat {ABC}}}{{\sin \widehat {BCA}}} = \frac{{70.\sin 105{,}5^\circ }}{{\sin 14{,}5^\circ }} \approx 269{,}41\,m$.

∆ACH vuông tại H nên ta có:

$CH = {\rm{A}}C.\,\sin \widehat {CAH} = 269{,}41.\sin 30^\circ \approx 134{,}71\,m$.

Vậy ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất xấp xỉ bằng 134,71 m.

Do BN = $\frac{a}{3}$ và BC = a nên BN = $\frac{1}{3}$BC.

Mà N thuộc cạnh BC nên vectơ $\overrightarrow {BN}$ và $\overrightarrow {BC}$ cùng hướng. Do đó, $\overrightarrow {BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}$.

Ta có $\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$.

Lại có: CM = $\frac{{2a}}{3}$, mà AC = a và M thuộc cạnh AC nên AM = $a - \frac{{2a}}{3} = \frac{a}{3} = \frac{1}{3}AC$.

Suy ra $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$.

Và AP = x (0 < x < a), AB = a, P thuộc cạnh AB nên AP = $\frac{x}{a}AB$.

Suy ra $\overrightarrow {AP} = \frac{x}{a}\overrightarrow {AB}$.

Do đó, ta có: $\overrightarrow {PM} = \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{x}{a}\overrightarrow {AB}$.

Khi đó, $AN \bot PM \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} \cdot \overrightarrow {PM} = 0$

$\Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{x}{a}\overrightarrow {AB} } \right) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{2}{9}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{{2x}}{{3a}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{x}{{3a}}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} = 0$

$\Leftrightarrow \left( {\frac{2}{9} - \frac{x}{{3a}}} \right)\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{{2x}}{{3a}}.{a^2} + \frac{1}{9}.{a^2} = 0$ (do AB = AC = a)

$\Leftrightarrow \left( {\frac{2}{9} - \frac{x}{{3a}}} \right) \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} } \right) - \frac{{2xa}}{3} + \frac{{{a^2}}}{9} = 0$

$\Leftrightarrow \left( {\frac{2}{9} - \frac{x}{{3a}}} \right) \cdot a \cdot a \cdot cos60^\circ - \frac{{2xa}}{3} + \frac{{{a^2}}}{9} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{{2a - 3x}}{{9a}} \cdot \frac{{{a^2}}}{2} - \frac{{2xa}}{3} + \frac{{{a^2}}}{9} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{{\left( {2a - 3x} \right)a}}{{18}} - \frac{{12xa}}{{18}} + \frac{{2{a^2}}}{{18}} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{{2{a^2} - 3xa - 12xa + 2{a^2}}}{{18}} = 0$

⇔ 4a$^{2}$ – 15xa = 0

⇔ a(4a – 15x) = 0

⇔ 4a – 15x = 0 (do a > 0).

⇔ $x = \frac{{4a}}{{15}}$.

Vậy $x = \frac{{4a}}{{15}}$ thì đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM.

Sắp xếp các số liệu đã cho theo thứ tự không giảm ta được:

20 25 30 30 35 40 40 41 41 52 52 52 55 55 55 60 60 60 60 60 62 70 80 80 90

Mẫu số liệu có n = 25, do đó trung vị là số liệu thứ 13 trong dãy nên M$_{e}$ = 55.

Từ đó suy ra tứ phân vị thứ hai là Q$_{2}$ = 55.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu gồm 12 số liệu sau:

20 25 30 30 35 40 40 41 41 52 52 52

Do đó, Q$_{1}$ = (40 + 40) : 2 = 40.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu gồm 12 số liệu sau:

55 55 60 60 60 60 60 62 70 80 80 90

Do đó, Q$_{3}$ = (60 + 60) : 2 = 60.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ – Q$_{1}$ = 60 – 40 = 20.

Ta có: Q$_{1}$ – 1,5 . ∆$_{Q}$ = 40 – 1,5 . 20 = 10; Q$_{3}$ + 1,5 . ∆$_{Q}$ = 60 + 1,5 . 20 = 90.

Trong mẫu số liệu đã cho không có giá trị nào bé hơn 10 và lớn hơn 90 nên mẫu số liệu không có giá trị bất thường.