Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 năm 2024-2025 THCS Phan Chu Trinh (Hà Nội) có đáp án

Quan sát bảng thống kê, ta có:

Tần số bạn Nam sử dụng Internet:

⦁ Từ $0$ đến dưới $1$ giờ là $3$ ngày;

⦁ Từ $1$ đến dưới $2$ giờ là $6$ngày;

⦁ Từ $2$ đến dưới $3$ giờ là $9$ ngày;

⦁ Từ $3$ đến dưới $4$ giờ là $8$ ngày;

⦁ Từ $4$ đến dưới $5$ giờ là $4$ ngày.

Ta có bảng tần số ghép nhóm sau:

Tần số tương đối bạn Nam sử dụng Internet:

⦁ Từ $0$ đến dưới $1$ giờ là: $\frac{3}{{30}}.100\% = 10\%$;

⦁ Từ $1$ đến dưới $2$ giờ là: $\frac{6}{{30}}.100\% = 20\%$;

⦁ Từ $2$ đến dưới $3$ giờ là: $\frac{9}{{30}}.100\% = 30\%$;

⦁ Từ $3$ đến dưới $4$ giờ là: $\frac{8}{{30}}.100\% \approx 26{,}7\%$;

⦁ Từ $4$ đến dưới $5$ giờ là: $\frac{4}{{30}}.100\% \approx 13{,}3\%$.

Ta có bảng tần số tương đối ghép nhóm như sau:

Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega \right) = 50$.

Gọi biến cố $A$: “Rút được phiếu ghi số là bội của $5$”

Có $10$ kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: $5;\,\,10;\,\,15;\,\,20;\,\,25;\,\,30;\,\,35;\,\,40;\,\,45;\,\,50$.

Suy ra $n\left( A \right) = 10$.

Xác suất rút được phiếu trúng thưởng là: $\frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{10}}{{50}} = \frac{1}{5}$.

Vậy xác suất rút được phiếu trúng thưởng bằng $\frac{1}{5}$.

1) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 49$.

Thế $x = 49$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$, ta có:

$A = \frac{{\sqrt {49} + 7}}{{\sqrt {49} - 2}} = \frac{{7 + 7}}{{7 - 2}} = \frac{{14}}{5}$.

Vậy $A = \frac{{14}}{5}$ khi $x = 49$.

2) Chứng minh $B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}$.

Ta có: $B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{2}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{x - 3\sqrt x + 10}}{{x - 4}}$.

$= \frac{1}{{\sqrt x + 2}} - \frac{2}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{x - 3\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$.

$= \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{x - 3\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$.

$= \frac{{\sqrt x - 2 - 2\sqrt x - 4 + x - 3\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$.

$= \frac{{x - 4\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$.

$= \frac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$.

$= \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}$.

Vậy $B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}$ (điều phải chứng minh).

3) Tìm $x$ để biểu thức $P = AB$ đạt giá trị nguyên.

Ta có $P = AB = \frac{{\sqrt x + 7}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}$.

$= \frac{{\sqrt x + 7}}{{\sqrt x + 2}}$.

$= \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{5}{{\sqrt x + 2}}$.

$= 1 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}}$.

Biểu thức $P$ đạt giá trị nguyên khi và chỉ khi $\frac{5}{{\sqrt x + 2}}$ là số nguyên.

Với $x \ge 0;x \ne 4$, ta có: $\sqrt x \ge 0$.

Suy ra $\sqrt x + 2 \ge 2$.

Khi đó $\frac{1}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{1}{2}$.

Vì vậy $\frac{5}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{5}{2}$.

Suy ra $P = 1 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}} \le 1 + \frac{5}{2} = \frac{7}{2}$ (1)

Vì $5 > 0$ và $\sqrt x + 2 \ge 2 > 0$ nên $\frac{5}{{\sqrt x + 2}} > 0$.

Suy ra $P = 1 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}} > 1$ (2)

Từ (1), (2), ta thu được: $1 < P \le \frac{7}{2}$

Để $P$ nhận giá trị nguyên thì $P \in \left\{ {2\,;\,3} \right\}$.

Với $P = 2$, ta có: $1 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 2$.

Suy ra $\frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 1$.

Do đó $\sqrt x + 2 = 5$.

Vì vậy $\sqrt x = 3$.

Suy ra $x = 9$.

Với $P = 3$, ta có: $1 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 3$$\Rightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4}$ (thỏa mãn)

Suy ra $\frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 2$.

Do đó $2\sqrt x + 4 = 5$.

Vì vậy $2\sqrt x = 1$.

Suy ra $\sqrt x = \frac{1}{2}$.

Khi đó $x = \frac{1}{4}$.

So với điều kiện $x \ge 0;x \ne 4$, ta nhận $x = 9;\,\,x = \frac{1}{4}$.

Vậy $x = 9;\,\,x = \frac{1}{4}$ thì biểu thức $P = AB$ đạt giá trị nguyên.

Gọi số đèn lồng mỗi ngày cơ sở đó sản xuất theo dự kiến là $x$ $\left( {x \in {\mathbb{N}^ * }} \right)$.

Thời gian hoàn thành theo dự kiến là: $\frac{{300}}{x}$ (ngày).

Số đèn lồng mỗi ngày cơ sở đó sản xuất thực tế là: $x + 5$ (chiếc).

Thời gian hoàn thành thực tế là: $\frac{{300}}{{x + 5}}$ (ngày).

Vì 3 ngày trước khi hết thời hạn, cơ sở sản xuất đã hoàn thành 300 chiếc đèn lồng nên ta có phương trình: $\frac{{300}}{x} - \frac{{300}}{{x + 5}} = 3$.

Suy ra $\frac{{300\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}} - \frac{{300x}}{{x\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{3x\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}}$.

Do đó $300\left( {x + 5} \right) - 300x = 3x\left( {x + 5} \right)$.

Vì vậy $300x + 1500 - 300x = 3{x^2} + 15x$.

Suy ra $3{x^2} + 15x - 1500 = 0$.

Khi đó ${x^2} + 5x - 500 = 0$.

Vì vậy ${x^2} + 25x - 20x - 500 = 0$.

Suy ra $x\left( {x + 25} \right) - 20\left( {x + 25} \right) = 0$.

Do đó $\left( {x - 20} \right)\left( {x + 25} \right) = 0$.

Vì vậy $x - 20 = 0$ hoặc $x + 25 = 0$.

Suy ra $x = 20$ hoặc $x = - 25$.

So với điều kiện $x \in {\mathbb{N}^ * }$, ta nhận $x = 20$.

Vậy số đèn lồng mỗi ngày cơ sở đó sản xuất theo dự kiến là 20 chiếc.

Giải phương trình $2{x^2} - 6x - 11 = 0$.

Ta có: $\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.2.\left( { - 11} \right) = 36 + 88 = 124 > 0$.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 6} \right) + \sqrt {124} }}{{2.2}} = \frac{{6 + 2\sqrt {31} }}{4} = \frac{{3 + \sqrt {31} }}{2}$;

${x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 6} \right) - \sqrt {124} }}{{2.2}} = \frac{{6 - 2\sqrt {31} }}{4} = \frac{{3 - \sqrt {31} }}{2}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = \frac{{3 + \sqrt {31} }}{2};\,\,{x_2} = \frac{{3 - \sqrt {31} }}{2}$.