Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 năm 2024-2025 THCS Ngô Sĩ Liên (Hà Nội) có đáp án

a) Tần số ghép nhóm của nhóm $\left[ {20;30} \right)$ là ${n_2} = 15$.

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {20;30} \right)$ là: ${f_2} = \frac{{{n_2}}}{N}.100\% = \frac{{15}}{{50}}.100\% = 30\%$.

Vậy tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {20;30} \right)$ lần lượt là $15$ và $30\%$.

b) Vẽ biểu đồ:

a) Không gian mẫu của phép thử là:

${\rm{\Omega }} = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8;\,\,9;\,\,10;\,\,11;\,\,12;\,\,13;\,\,14;\,\,15;\,\,16;\,\,17;\,\,18;\,\,19;\,\,20} \right\}$.

b) Từ kết quả câu a), ta có không gian mẫu ${\rm{\Omega }}$ có $20$ phần tử.

Biến cố $A$: “Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia cho $4$ dư $1$”.

Có $5$ kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: $1;\,\,5;\,\,9;\,\,13;\,\,17$.

Xác suất của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{20}} = \frac{1}{4}$.

Vậy xác suất của biến cố $A$ bằng $\frac{1}{4}$.

a) Thay $x = 9$(thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $P$, ta được:

$P = \frac{{9 + 3}}{{\sqrt 9 - 2}} = \frac{{12}}{{3 - 2}} = \frac{{12}}{1} = 12$.

Vậy $P = 12$ khi $x = 9$.

b) Với $x > 0,x \ne 4$, ta có:

$Q = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}}$.

$= \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$.

$= \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$.

$= \frac{{x - 3\sqrt x + 2 + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$.

$= \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$.

$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$.

$= \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$.

Vậy $Q\, = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$ (điều phải chứng minh).

c) Với $x > 0,x \ne 4$, ta có:

$\frac{P}{Q} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$.

$= \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}$.

$= \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }}$.

$= \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $\sqrt x$ và $\frac{3}{{\sqrt x }}$, ta được:

$\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{3}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 3$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt x = \frac{3}{{\sqrt x }}$.

Suy ra $x = 3$.

Vậy $\frac{P}{Q} \ge 2\sqrt 3$ (điều phải chứng minh).

Gọi số tiền bác Toàn đầu tư vào khoản đầu tư thứ nhất, thứ hai lần lượt là $x,y$ (triệu đồng).

Điều kiện: $0 < x,y < 500$.

Vì tổng số tiền bác Toàn đầu tư vào hai khoản đầu tư là $500$ triệu đồng nên ta có phương trình:

$x + y = 500$ (1)

Vì lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là $6\%$/năm nên số tiền lãi thu được cho khoản đầu tư thứ nhất là: $x.6\% = 0{,}06x$ (triệu đồng).

Vì lãi suất cho khoản đầu tư thứ hai là $8\%$ năm nên số tiền lãi thu được cho khoản đầu tư thứ hai là: $y.8\% = 0{,}08.y$ (triệu đồng).

Do tổng số tiền lãi bác Toàn thu được là $34$triệu đồng nên ta có phương trình: $0{,}06x + 0{,}08y = 34$ (2)

Từ (1), (2), ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\0{,}06x + 0{,}08y = 34\end{array} \right.$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}y = 500 - x\\0{,}06x + 0{,}08y = 34\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Thế $y = 500 - x$ vào phương trình (2), ta được: $0{,}06x + 0{,}08.\left( {500 - x} \right) = 34$.

Tức là, $0{,}06x + 40 - 0{,}08x = 34$.

Suy ra $0{,}02x = 6$.

Do đó $x = \frac{6}{{0{,}02}}$.

Vì vậy $x = 300$.

Với $x = 300$, ta có: $y = 500 - x = 500 - 300 = 200$.

So với điều kiện $0 < x,y < 500$, ta nhận $x = 300;\,\,y = 200$.

Vậy số tiền bác Toàn đã đầu tư vào khoản đầu tư thứ nhất, thứ hai lần lượt là $300$ triệu đồng và $200$ triệu đồng.

a) Chu vi bể tắm là: $C = 2\pi r \approx 2.3{,}14.3 = 18{,}84\,\,\left( m \right)$.

Vậy chu vi bể tắm là $18{,}84\,\,m$.

b) Đổi: $50\,\,cm = 0{,}5\,\,m$.

Độ dài đoạn $OB$ là: $OB = OA - AB = 3 - 0{,}5 = 2{,}5\,\,\left( m \right)$.

Diện tích bề mặt của $16$ tấm ván là: $3{,}14.\left( {{3^2} - 2,{5^2}} \right) = 3{,}14.\left( {9 - 6{,}25} \right) = 8{,}635\,\,\left( {{m^2}} \right)$

Đổi: $8{,}635\,\,{m^2} = 863{,}5\,\,d{m^2}$.

Diện tích bề mặt của mỗi tấm ván là: $\frac{{863{,}5}}{{16}} \approx 54\,\,\left( {d{m^2}} \right)$.

Vậy diện tích bề mặt của mỗi tấm ván là $54\,\,d{m^2}$.