Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 năm 2024-2025 THCS Nam Từ Liêm (Hà Nội) có đáp án

a) Bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu đã cho:

b) Tỉ số phần trăm số hộ gia đình có mức chi cho giáo dục một năm từ$70$ triệu trở lên so với tổng số hộ gia đình là $\frac{{11 + 7}}{{30}}.100\% = 60\%$.

a) Không gian mẫu của phép thử đó là $\Omega = \left\{ {\left( {5;6} \right);\left( {5;7} \right);\left( {5;8} \right);\left( {6;7} \right);\left( {6;8} \right);\left( {7;8} \right)} \right\}$.

Vậy không gian mẫu có $6$phần tử.

b) Xác suất của biến cố A: “Số ghi trên hai viên bi là hai số tự nhiên liên tiếp” là $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Xác suất của biến cố B: “Hiệu của hai số ghi trên hai viên bi là số chẵn” là $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Xác suất của biến cố C: “Tổng của hai số ghi trên hai viên bi là số nguyên tố” là $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

1) Thay $x = 9$ (thỏa mãn) vào biểu thức A ta được

$A = \frac{{\sqrt 9 - 9}}{{4 - \sqrt 9 }} = \frac{{3 - 9}}{{4 - 3}} = - 6$.

Vậy với $x = 9$ thì $A = - 6$.

2) Với $x \ge 0;x \ne 16$, ta có:

$$B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 4}} - \frac{6}{{4 - \sqrt x }} - \frac{{24}}{{x - 16}}$$

$$B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 4}} + \frac{6}{{\sqrt x - 4}} - \frac{{24}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}$$

$$B = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} + \frac{{6\left( {\sqrt x + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} - \frac{{24}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}$$

$$B = \frac{{x - 3\sqrt x - 4 + 6\sqrt x + 24 - 24}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}$$

$$B = \frac{{x + 3\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}$$

$B = \frac{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 4}}$.

3) Với $x \ge 0;x \ne 16$, để $A + B = \frac{{5\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 4}}$ thì

$$\frac{{\sqrt x - x}}{{4 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 4}} = \frac{{5\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 4}}$$

$$\frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x - 4}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 4}} = \frac{{5\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 4}}$$

$$x - \sqrt x + \sqrt x - 1 = 5\sqrt x - 5$$

$$x - 5\sqrt x + 4 = 0$$

$$\left( {\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) = 0$$

$\sqrt x - 4 = 0$ hoặc $\sqrt x - 1 = 0$

$x = 16$ hoặc $x = 1$ (thỏa mãn).

Vậy với $x = 16$ hoặc $x = 1$ thì $A + B = \frac{{5\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 4}}$.

Gọi số áo may được trong một ngày của tổ thứ nhất là $x$ (áo), $x \in \mathbb{N}*$.

Số áo may được trong một ngày của tổ thứ hai là $x - 10$ (áo).

Số áo may được trong $3$ ngày của tổ thứ nhất là $3x$ (áo).

Số áo may được trong $5$ ngày của tổ thứ hai là $5\left( {x - 10} \right)$(áo).

Nếu tổ thứ nhất may trong $3$ ngày, tổ thứ hai may trong $5$ ngày thì cả hai tổ may được $1310$ chiếc áo nên ta có phương trình

$3x + 5\left( {x - 10} \right) = 1310$

$\begin{array}{l}3x + 5x - 50 = 1310\\8x = 1360\\x = 170\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Số áo may được trong một ngày của tổ thứ nhất là $170$ áo.

Số áo may được trong một ngày của tổ thứ hai là $170 - 10 = 160$ áo.

Diện tích phần quạt tròn không dán giấy khoảng:

$S = \frac{{\pi .{R^2}.n}}{{360}} \approx \frac{{3.14.{{\left( {25 - 16} \right)}^2}.130}}{{360}} = 91{,}85$ (cm$^{3}$).

Diện tích phần giấy để làm quạt khoảng:

$S = 2.\left( {\frac{{\pi {{.25}^2}.130}}{{360}} - \frac{{\pi {{.16}^2}.130}}{{360}}} \right) \approx 2.\left( {\frac{{{{3.14.25}^2}.130}}{{360}} - \frac{{{{3.14.16}^2}.130}}{{360}}} \right) = 837{,}73$ (cm$^{2}$).

a) Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {AMB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn suy ra $\widehat {AMB} = 90^\circ$

Vì $CD \bot AB$ tại $O$ nên $\widehat {AOI} = 90^\circ$

Xét $\Delta AMI$ vuông tại $M$, suy ra $\Delta AMI$ nội tiếp đường tròn đường kính $AI$.

Xét $\Delta AOI$ vuông tại $O$, suy ra $\Delta AOI$nội tiếp đường tròn đường kính $AI$.

Như vậy, bốn điểm $A;M;O;I$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AI$ hay tứ giác $AMIO$ nội tiếp đường tròn.

b) Xét $\left( O \right)$ có $MK$ tiếp tuyến tại $M$ của $\left( O \right)$ suy ra $\widehat {KMO} = 90^\circ$

Vì $MP \bot CD$ tại điểm $P$ nên $\widehat {MPK} = 90^\circ$

Ta có $\widehat {KMP} = 90^\circ - \widehat {MKP}$ ($\Delta MKP$vuông tại $M$) (1)

$\widehat {KMP} = 90^\circ - \widehat {PMO}$ ($\widehat {MPK} = 90^\circ$)

Suy ra $\widehat K = \widehat {PMO}$

$\Delta MPO$ vuông tại $P$ có $\widehat {PMO} = 90^\circ - \widehat {MOP}$

Mà $\widehat {MOP} = 2\widehat {MDI}$ (Góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn )

Hay $\widehat K = 90^\circ - 2\widehat {MDI}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {KMP} = 90^\circ - \left( {90^\circ - 2\widehat {MDI}} \right)$

Vậy $\widehat {KMP} = 2\widehat {MDI}$.

Xét $\Delta OMP$ và $\Delta OKM$ có:

$\widehat {OMP} = \widehat {OKM} = 90^\circ$ và $\widehat {MOP}$ chung

Do đó (g.g)

Suy ra $\frac{{OM}}{{OP}} = \frac{{OK}}{{OM}}$ hay $O{M^2} = OP.OK$

Mà $OM = OC = R$ nên $O{C^2} = OP.OK$.

c) Xét $\Delta CNB$ vuông tại $N$, suy ra $\Delta CNB$ nội tiếp đường tròn đường kính $CB$.

Xét $\Delta COB$ vuông tại $O$, suy ra $\Delta COB$ nội tiếp đường tròn đường kính $CB$.

Do đó tứ giác $CNOB$ nội tiếp đường tròn đường kính $CB$, nên $\widehat {ONB} = \widehat {OCB}$ (góc nội tiếp chắn

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {OCB}$ là góc nội tiếp chắn

$\widehat {DOB}$ là góc ở tâm chắn suy ra $\widehat {OCB}$=$\frac{1}{2}\widehat {DOB} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ$

Ta có $MP\,{\rm{//}}\,AB$ (cùng vuông góc với $CD$) nên $\widehat {PMI} = \widehat {IBO}$ (hai góc so le trong)

Mà $\widehat {OMI} = \widehat {IBO}$ $(\Delta OMB$ cân tại $M$) nên $\widehat {PMI} = \widehat {IMO}$

Vậy $MN$là tia phân giác $\widehat {DMO}$ (1)

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {DMN} = \widehat {DCB}$ (góc nội tiếp chắn ), suy ra $\widehat {DMN} = \widehat {ONB}$( Cùng bằng $\widehat {DCB}$)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $ON\,{\rm{//}}\,MD$, suy ra $\widehat {MON} = \widehat {OMD}$ (hai góc so le trong)

Suy ra $\widehat {MON} = \frac{1}{2}\widehat {MOI}$ hay $ON$ là tia phân giác $\widehat {MOI}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $N$là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta MOP$.

Gọi giá tiền mỗi gian hàng tăng lên $x$ (triệu đồng) (ĐK: $x > 0$)

Khi đó giá mỗi gian hàng sau khi tăng lên là $100 + x$ (triệu đồng).

Cứ mỗi lần tăng $5\%$ tiền thuê mỗi gian hàng (tăng $5\% .100 = 5$ triệu đồng) thì có thêm 2 gian hàng trống nên khi tăng $x$ (triệu đồng) thì có thêm $\frac{{2x}}{5}$ gian hàng trống.

Khi đó số gian hàng được thuê sau khi tăng giá là $100 - \frac{{2x}}{5}$ (gian hàng).

Số tiền thu được là $\left( {100 + x} \right)\left( {100 - \frac{{2x}}{5}} \right)$ (triệu đồng).

Yêu cầu bài toán trở thành tìm $x$ để $P = \left( {100 + x} \right)\left( {100 - \frac{{2x}}{5}} \right)$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có:

$$P = \left( {100 + x} \right)\left( {100 - \frac{{2x}}{5}} \right)$$

$$= 10000 - 40x + 100x - \frac{{2{x^2}}}{5}$$

$$= - \frac{2}{5}\left( {{x^2} - 150x} \right) + 10000$$

$$= - \frac{2}{5}\left( {{x^2} - 2.75x + {{75}^2}} \right) + \frac{2}{5}{.75^2} + 10000$$

$$= - \frac{2}{5}{\left( {x - 75} \right)^2} + 12250$$

Ta có: ${\left( {x - 75} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x$

Nên $- \frac{2}{5}{\left( {x - 75} \right)^2} \le 0$

Suy ra $- \frac{2}{5}{\left( {x - 75} \right)^2} + 12250 \le 12250$

Hay $P \le 12250$.

Dấu “=” xảy ra khi $x = 75$ (thỏa mãn).

Vậy người quản lí phải cho thuê mỗi gian hàng với giá $100 + 75 = 175$ triệu đồng thì doanh thu của trung tâm thương mại từ tiền cho thuê gian hàng trong năm là lớn nhất.