Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 năm 2024-2025 THCS Mạc Đĩnh Chi (Hà Nội) có đáp án

a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( { - 1;1} \right)$ nên $1 = m{\left( { - 1} \right)^2}$.

Suy ra $1 = m.1$.

Do đó $m = 1$.

Vậy $m = 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Vì các điểm có tung độ bằng $9$ nên $y = 9$.

Thay $y = 9$ và $m = 1$ vào $y = m{x^2}$, ta được: $9 = 1.{x^2}$.

Suy ra ${x^2} = 9 = {3^2} = {\left( { - 3} \right)^2}$.

Do đó $x = 3$ hoặc $x = - 3$.

Vậy các điểm cần tìm là $M\left( {3;9} \right)$ và $N\left( { - 3;9} \right)$.

a) ${x^2} + 3x - 10 = 0$.

Ta có: $\Delta = {b^2} - 4ac = {3^2} - 4.1.\left( { - 10} \right) = 49 > 0$.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 3 + \sqrt {49} }}{{2.1}} = 2$;

${x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 3 - \sqrt {49} }}{{2.1}} = - 5$.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = 2;{x_2} = - 5$.

b) $9{x^2} - 6x - 4 = 0$.

Ta có: $\Delta ' = {b'^2} - ac = {\left( { - 3} \right)^2} - 9.\left( { - 4} \right) = 45 > 0$.

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{3 + \sqrt {45} }}{9} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{3}$;

${x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{3 - \sqrt {45} }}{9} = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{3}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{3};\,\,{x_2} = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{3}$.

Gọi số sản phẩm theo kế hoạch mỗi ngày tổ sản xuất phải làm là $x$ (sản phẩm) $\left( {x > 0} \right)$.

Số ngày làm $300$ sản phẩm theo kế hoạch là: $\frac{{300}}{x}$ (ngày).

Số sản phẩm theo thực tế mỗi ngày tổ sản xuất làm được là: $x + 10$ (sản phẩm).

Số ngày làm $300$ sản phẩm theo thực tế là: $\frac{{300}}{{x + 10}}$ (ngày).

Vì hoàn thành công việc sớm hơn kế hoạch một ngày nên ta có phương trình:

$\frac{{300}}{x} - \frac{{300}}{{x + 10}} = 1$.

Suy ra $\frac{{300\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}} - \frac{{300x}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}}$.

Do đó $300\left( {x + 10} \right) - 300x = x\left( {x + 10} \right)$.

Vì vậy $300x + 3000 - 300x = {x^2} + 10x$.

Suy ra ${x^2} + 10x - 3000 = 0$.

Khi đó ${x^2} - 50x + 60x - 3000 = 0$.

Vì vậy $x\left( {x - 50} \right) + 60\left( {x - 50} \right) = 0$.

Suy ra $\left( {x + 60} \right)\left( {x - 50} \right) = 0$.

Do đó $x + 60 = 0$ hoặc $x - 50 = 0$.

Vì vậy $x = - 60$ hoặc $x = 50$.

So với điều kiện $x > 0$, ta nhận $x = 50$.

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm $50$ sản phẩm.

1) Ta có $\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4m = {m^2} + 4 \ge 4,\,\,\forall m \in \mathbb{R}$.

Suy ra $\Delta > 0,\,\,\forall m \in \mathbb{R}$.

Vậy phương trình $\left( 1 \right)$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$.

2) Thay $x = \frac{{ - 3}}{2}$ vào phương trình (1) ta được:

${\left( { - \frac{3}{2}} \right)^2} - \left( {m + 2} \right)\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right) + m = 0$.

Suy ra $\frac{9}{4} + \frac{3}{2}m + 3 + m = 0$.

Do đó $\frac{5}{2}m = - \frac{{21}}{4}$.

Vì vậy $m = - \frac{{21}}{{10}}$.

Thay $m = \frac{{ - 21}}{{10}}$vào phương trình đã cho, ta được: ${x^2} - \left( { - \frac{{21}}{{10}} + 2} \right)x - \frac{{21}}{{10}} = 0$.

Suy ra ${x^2} + \frac{1}{{10}}x - \frac{{21}}{{10}} = 0$.

Áp dụng định lí Viète, ta có: $S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = - \frac{1}{{10}}.1 = - \frac{1}{{10}}$.

$P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - \frac{{21}}{{10}}.1 = - \frac{{21}}{{10}}$.

Ta có: $x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$.

$= {\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)^2} - 2.\left( { - \frac{{21}}{{10}}} \right) = \frac{{421}}{{100}}$.

Vậy tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình bằng $\frac{{421}}{{100}}$.

Gọi $I$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

Khi đó $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Vì tam giác $ABC$ đều nên $\widehat {ABC} = 60^\circ$.

Vì tam giác $ABC$ đều có $I$ là trực tâm nên $BI$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác $ABC$.

Do đó $\widehat {CBI} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ$.

Theo đề, ta có đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ có đường kính bằng $30\,\,{\rm{cm}}$.

Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là: $IH = \frac{{30}}{2} = 15\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Xét tam giác $BHI$ vuông tại $H$, có: $\tan \widehat {HBI} = \frac{{IH}}{{BH}}$.

Suy ra $BH = \frac{{IH}}{{\tan \widehat {HBI}}} = \frac{{15}}{{\tan 30^\circ }} = 15\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)$.

Vì tam giác $ABC$ đều nên $AH$ vừa là đường cao, vừa là đường trung trực của tam giác $ABC$.

Do đó $H$ là trung điểm của $BC$.

Vì vậy $BC = 2BH = 2.15\sqrt 3 = 30\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)$.

Vậy độ dài các cạnh của khung gỗ phải bằng $30\sqrt 3 \,\,cm$.