Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 năm 2024-2025 THCS Lê Ngọc Hân (Hà Nội) có đáp án

a) Lớp $9A$ có số học sinh là: $6 + 12 + 6 + 9 + 6 + 9 = 48$ (học sinh).

b) Tần số của nhóm $\left[ {60;\,80} \right)$ là tổng tần số của nhóm $\left[ {60;\,70} \right)$ và $\left[ {70;\,80} \right)$.

Do đó tần số của nhóm $\left[ {60;\,80} \right)$ là: $9 + 6 = 15$ (học sinh).

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {60;\,80} \right)$là: $\frac{{15}}{{48}}.100\% = 31{,}25\%$.

Vậy tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $\left[ {60;\,80} \right)$ là $31{,}25\%$.

Không gian mẫu của phép thử là:

$\Omega = \left\{ {\left( {{X_1};{V_1}} \right);\left( {{X_2};{V_1}} \right);\left( {{X_3};{V_1}} \right);\left( {{X_1};{V_2}} \right);\left( {{X_2};{V_2}} \right);\left( {{X_3};{V_2}} \right);\left( {{X_1};{X_2}} \right);\left( {{X_1};{X_3}} \right);\left( {{X_2};{X_3}} \right);} \right.$

$\left. {\left( {{V_2};{V_1}} \right)} \right\}$.

Suy ra không gian mẫu của phép thử có $10$ phần tử.

Các kết quả của phép thử là đồng khả năng.

Có $4$ kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: $\left( {{X_1};{X_2}} \right);\left( {{X_1};{X_3}} \right);\left( {{X_2};{X_3}} \right);\left( {{V_2};{V_1}} \right)$.

Xác suẩt của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}$.

Vậy xác suất của biến cố $A$ bằng $\frac{2}{5}$.

1. Thay $x = 25$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$, ta có:

$A = \frac{{\sqrt {25} - 1}}{{\sqrt {25} + 3}} = \frac{{5 - 1}}{{5 + 3}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Vậy $A = \frac{1}{2}$ khi $x = 25$.

2. Với $x \ge 0;x \ne 1$, ta có:

$B = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x - 1}} - \frac{3}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{x - \sqrt x + 4}}{{x - 1}}$

$= \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{3\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{x - \sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{x\sqrt x + x + 2\sqrt x + 2 - 3\sqrt x + 3 - x + \sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{x\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$.

Vậy $B = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$ ( điều phải chứng minh).

3. Khi $A > 0$, hãy so sánh $B$ với $3$.

Ta có: $A > 0$.

Tức là, $\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}} > 0$.

Suy ra $\sqrt x - 1 > 0$ (do $\sqrt x + 3 \ge 3 > 0$, với $x \ge 0;x \ne 1$).

Khi đó $\sqrt x > 1$.

Vì vậy $x > 1$.

Xét hiệu $B - 3 = \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - 3$

$= \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{3\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}$

$= \frac{{x - \sqrt x + 1 - 3\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 1}}$

$= \frac{{x - 4\sqrt x + 4}}{{\sqrt x - 1}}$

$= \frac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x - 1}}$.

Ta có: $\sqrt x - 1 > 0$ và ${\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} \ge 0$, với $x > 1$.

Suy ra $\frac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x - 1}} \ge 0$, với $x > 1$.

Do đó $B - 3 \ge 0$.

Vì vậy $B \ge 3$.

Vậy khi $A > 0$ thì $B \ge 3$.

Gọi $x$ (sản phẩm) là số sản phẩm phân xưởng đó sản xuất được mỗi ngày theo kế hoạch $\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Số sản phẩm sản xuất được mỗi ngày theo thực tế là: $x + 5$ (sản phẩm).

Thời gian hoàn thành công việc theo kế hoạch là: $\frac{{1100}}{x}$ (ngày).

Thời gian hoàn thành công việc theo thực tế là: $\frac{{1100}}{{x + 5}}$ (ngày).

Vì phân xưởng đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định $2$ ngày nên ta có phương trình: $\frac{{1100}}{x} - \frac{{1100}}{{x + 5}} = 2$.

Suy ra $\frac{{1100\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}} - \frac{{1100x}}{{x\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{2x\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}}$.

Do đó $1100\left( {x + 5} \right) - 1100x = 2x\left( {x + 5} \right)$.

Vì vậy $1100x + 5500 - 1100x = 2{x^2} + 10x$.

Tức là, $2{x^2} + 10x - 5500 = 0$.

Suy ra ${x^2} + 5x - 2750 = 0$.

Khi đó ${x^2} + 55x - 50x - 2750 = 0$.

Vì vậy $x\left( {x + 55} \right) - 50\left( {x + 55} \right) = 0$.

Suy ra $\left( {x - 50} \right)\left( {x + 55} \right) = 0$.

Do đó $x - 50 = 0$ hoặc $x + 55 = 0$.

Vì vậy $x = 50$ hoặc $x = - 55$.

So với điều kiện $x \in {\mathbb{N}^*}$, ta nhận $x = 50$.

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng sản xuất được $50$ sản phẩm.

a. Vì $x = 3$ là một nghiệm của phương trình nên $9 + \left( {m + 2} \right)\,\,.\,\,3 + 2m = 0$

Suy ra $9 + 3m + 6 + 2m = 0$

Do đó $5m = - 15$

Vì vậy $m = - 3$.

Theo định lí Viète, ta có: $S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - \left( {m + 2} \right)}}{1} = - m - 2$

$P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{2m}}{1} = 2m$.

Thế ${x_1} = 3$ và $m = - 3$ vào $S$, ta được: $3 + {x_2} = 3 - 2$

Suy ra ${x_2} = - 2$.

Vậy nghiệm còn lại của phương trình đã cho là ${x_2} = - 2$.

b. Ta có: $\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\,.\,1\,.\,2m$

$$= {m^2} + 4m + 4 - 8m$$

$$= {m^2} - 4m + 4$$

$= {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0$, với mọi $m$.

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm ${x_1}\,,{x_2}$ với mọi $m$.

Vì ${x_1} + {x_2} = - m - 2$ nên $2{x_1} + 2{x_2} = - 2m - 4$ $\left( 1 \right)$

Theo đề, bài, ta có: $2{x_1} + 3{x_2} = 1$ $\left( 2 \right)$

Lấy $\left( 2 \right)$ trừ $\left( 1 \right)$ vế theo vế, ta được: ${x_2} = 2m + 5$.

Thế ${x_2} = 2m + 5$ vào ${x_1} + {x_2} = - m - 2$, ta được: ${x_1} + 2m + 5 = - m - 2$ hay ${x_1} = - 3m - 7$

Thay ${x_1} = - 3m - 7$ và ${x_2} = 2m + 5$ vào ${x_1}{x_2} = 2m$, ta được: $\left( { - 3m - 7} \right)\left( {2m + 5} \right) = 2m$.

Suy ra $- 6{m^2} - 29m - 35 = 2m$.

Vì vậy $6{m^2} + 31m + 35 = 0$ (*)

Ta có: $\Delta = {b^2} - 4ac = {31^2} - 4\,.\,6\,.\,35 = 121 > 0$.

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

${m_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 31 + \sqrt {121} }}{{12}} = \frac{{ - 5}}{3}$; ${m_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 31 - \sqrt {121} }}{{12}} = \frac{{ - 7}}{2}$.

Vậy có hai giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m = \frac{{ - 5}}{3}$ và $m = \frac{{ - 7}}{2}$.