Đề thi Giữa kì 2 Toán 9 năm 2024-2025 THCS Dịch Vọng (Hà Nội) có đáp án

a) $2{x^2} + 3x - 1 = 0$ $\left( 1 \right)$

Phương trình $2{x^2} + 3x - 1 = 0$ có các hệ số $a = 2;b = 3;c = - 1$.

Ta có: $\Delta = {3^2} - 4.2.\left( { - 1} \right) = 17 > 0$.

Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{{2.2}} = \frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{4}$; ${x_2} = \frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{{2.2}} = \frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{4}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ là $\left\{ {\frac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{4};\frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{4}} \right\}$.

b) ${x^2} - \sqrt 5 x + \sqrt 5 - 1 = 0$ $\left( 2 \right)$

Phương trình $\left( 2 \right)$ có các hệ số $a = 1;b = - \sqrt 5 ;c = \sqrt 5 - 1$

Ta có: $\Delta = {\left( { - \sqrt 5 } \right)^2} - 4.1.\left( {\sqrt 5 - 1} \right) = 5 - 4\sqrt 5 + 4 = 9 - 4\sqrt 5 > 0$

Khi đó phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - \left( { - \sqrt 5 } \right) - \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } }}{{2.1}} = \frac{{\sqrt 5 - \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } }}{2}$; ${x_2} = \frac{{ - \left( { - \sqrt 5 } \right) + \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } }}{{2.1}} = \frac{{\sqrt 5 + \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } }}{2}.$

Vậy tập nghiệm của phương trình $\left( 2 \right)$ là $\left\{ {\frac{{\sqrt 5 - \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } }}{2};\frac{{\sqrt 5 + \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } }}{2}} \right\}$.

Thay $x = - 4$ vào phương trình ${x^2} - 2x + m + 1 = 0$ ta được:

${\left( { - 4} \right)^2} - 2.\left( { - 4} \right) + m + 1 = 0$

$16 + 8 + m + 1 = 0$

$m + 25 = 0$

$m = - 25$

Với $m = - 25$ ta có phương trình ${x^2} - 2x - 24 = 0$ $\left( 3 \right)$

${x^2} - 6x + 4x - 24 = 0$

$\left( {{x^2} - 6x} \right) + \left( {4x - 24} \right) = 0$

$x\left( {x - 6} \right) + 4\left( {x - 6} \right) = 0$

$\left( {x - 6} \right)\left( {x + 4} \right) = 0$

Suy ra phương trình có hai nghiệm ${x_1} = 6;{x_2} = - 4$

Tổng lập phương hai nghiệm của phương trình là: ${6^3} + {\left( { - 4} \right)^3} = 152$.

Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là $x$, $y$ (m) ($x > y > 0$).

Vì mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng $28$ m nên ta có phương trình

$2x + 2y = 28$ hay $x + y = 14$. Suy ra $y = 14 - x$.

Đường chéo của hình chữ nhật bằng$10$ (m) nên theo định lý Pythagore ta có phương trình

${x^2} + {y^2} = {10^2}$

${x^2} + {\left( {14 - x} \right)^2} = 100$

$2{x^2} - 28x + 96 = 0$

$x = 6$ hoặc $x = 8$

Với $x = 6$ suy ra $y = 8$ (loại).

Với $x = 8$ suy ra $y = 6$ (thỏa mãn).

Do đó chiều dài mảnh đất bằng $8$ m và chiều rộng bằng $6$m.

Vậy diện tích mảnh đất là $8.6 = 48$ m$^{2}$.

Gọi vận tốc xe thứ nhất là $x$ (km/h) ($x > 10$).

Suy ra vận tốc xe thứ hai là $x - 10$ (km/h).

Thời gian xe thứ nhất đi hết quảng đường $AB$ là $\frac{{150}}{x}$ (giờ)

Thời gian xe thứ hai đi hết quảng đường $AB$ là $\frac{{150}}{{x - 10}}$ (giờ)

Ô tô thứ nhất đến $B$ trước 30 phút $= \frac{1}{2}$ (giờ) nên ta có phương trình

$\frac{{150}}{{x - 10}} - \frac{{150}}{x} = \frac{1}{2}$

$\frac{{150x - 150\left( {x - 10} \right)}}{{\left( {x - 10} \right)x}} = \frac{1}{2}$

$3000 = {x^2} - 10x$

${x^2} - 10x - 3000 = 0$

$x = 60$ (thỏa mãn) hoặc $x = - 50$ (không thỏa mãn).

Vậy vận tốc xe thứ nhất là $60$(km/h) và vận tốc xe thứ hai là $60 - 10 = 50$ (km/h).

a) Khi vận tốc gió là $2$m/s thì lực tác động lên cánh buồm của con thuyền bằng $120$ N nên ta có phương trình $a{.2^2} = 120$, suy ra $a = \frac{{120}}{4} = 30$ (m/s$^{2}$).

b) Cánh buồm của thuyền chỉ chịu được tác động tối đa là $12000$ N nên ta có

$F \le 12000$

$30{v^2} \le 12000$

${v^2} \le 400$

$v \le 20$

Do đó con thuyền không thể ra khơi khi vận tốc của gió là $25$m/s.

Bài III. (0,5 điểm) Mái che của ngôi nhà có dạng hình quạt tròn, có bán kính bằng $4{,}5$ m và góc ở tâm bằng $70^\circ$. Tính diện tích mái che (làm tròn kết quả với độ chính xác $0{,}05$).

Diện tích mái che là $S = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \frac{{\pi .4,{5^2}.70}}{{360}} \approx 12{,}4$ (m$^{2}$).