Đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 05

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đồ thị hàm số $y = a{x^2}$ có đồ thị nằm bên dưới trục hoành khi $a < 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hàm số $y = \frac{{{x^2}}}{3}$ hay $y = \frac{1}{3}{x^2}$ có hệ số $a = \frac{1}{3} > 0$ nên đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành, nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng, có điểm thấp nhất là gốc tọa độ. Như vậy các khẳng định ở phương án A và D là đúng, khẳng định ở phương án B là sai.

Thay $x = - 3$ vào hàm số, ta được: $y = \frac{{{{\left( { - 3} \right)}^2}}}{3} = 3$ nên đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( { - 3;\,\,3} \right).$ Do đó khẳng định phương án C là đúng.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số $y = - {x^2}.$

⦁ Thay $x = 0$ vào hàm số, ta được: $y = - {0^2} = 0.$ Do đó đồ thị hàm số $y = - {x^2}$ đi qua điểm $\left( {0;\,\,0} \right)$.

⦁ Thay $x = - 1$ vào hàm số, ta được: $y = - {\left( { - 1} \right)^2} = - 1.$ Do đó đồ thị hàm số $y = - {x^2}$ đi qua điểm $\left( { - 1;\,\, - 1} \right).$

⦁ Thay $x = 2$ vào hàm số, ta được: $y = - {2^2} = - 4.$ Do đó đồ thị hàm số $y = - {x^2}$ đi qua điểm $\left( {2;\,\, - 4} \right).$

⦁ Thay $x = 3$ vào hàm số, ta được: $y = - {3^2} = - 9 \ne - 6.$ Do đó đồ thị hàm số $y = - {x^2}$ không đi qua điểm $\left( {3;\,\, - 6} \right).$

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta viết phương trình $\sqrt 2 x = 4{x^2} + 1$ về phương trình bậc hai một ẩn có hệ số $a > 0$ như sau:

$4{x^2} - \sqrt 2 x + 1 = 0$.

Phương trình trên có hệ số $b = - \sqrt 2 .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ có $\Delta = {b^2} - 4ac.$

Ta có ${b^2} \ge 0$ mà $ac < 0$ nên ${b^2} - 4ac > 0$ hay $\Delta > 0.$ Như vậy phương trình này có hai nghiệm phân biệt.

Lại có $ac < 0$ nên hai hệ số $a$ và $c$ trái dấu nhau, suy ra $\frac{c}{a} < 0$ hay tích hai nghiệm này là số âm.

Do đó hai nghiệm phân biệt của phương trình đã cho trái dấu nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hai nghiệm đã cho có tổng bằng $1 + \left( { - 3} \right) = - 2$ và tích bằng $1 \cdot \left( { - 3} \right) = - 3$ nên phương trình nhận $x = 1$ và $x = - 3$ làm nghiệm là: ${x^2} + 2x - 3 = 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình ${x^2} - 6x + 8 = 0$ có $\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1 \cdot 8 = 9 - 8 = 1 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình ${x^2} + 2x - 3 = 0$ có $\Delta ' = {1^2} - 1 \cdot \left( { - 3} \right) = 1 + 3 = 4 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét đường tròn $\left( O \right)$ ta có $\widehat {ABC}$ là góc nội tiếp chắn cung nhỏ $AC$ nên hay

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tam giác vuông có cạnh huyền $a$ cm thì có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R = \frac{a}{2}{\rm{\;cm}}.$

Đáp án đúng là: C

Các hình: hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân có thể nội tiếp một đường tròn.

Hình thoi có một góc nhọn là hình không nội tiếp được đường tròn.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đa giác đều 8 cạnh được chia làm ba tứ giác nên có tổng số đo các góc là: $3 \cdot 360^\circ = 1080^\circ .$

Đa giác đều 8 cạnh có 8 góc bằng nhau nên mỗi góc của đa giác đều 8 cạnh có số đo là: $\frac{{1080^\circ }}{8} = 135^\circ .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Có sáu phép quay thuận chiều và ngược chiều $\alpha ^\circ$ tâm $O$ giữ nguyên hình tam giác đều với $\alpha ^\circ$ lần lượt nhận các giá trị $120^\circ ;\,\,240^\circ ;\,\,360^\circ .$

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

Xét hàm số $y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right).$

⦁ Với mọi $x < 0,$ ta có ${x^2} > 0$.

Nếu $a < 0$ thì $a{x^2} < 0$ nên hàm số luôn có giá trị âm với mọi giá trị âm của biến. Do đó ý a) là đúng.

⦁ Thay $x = - 2,\,\,y = - 8$ vào hàm số, ta được: $- 8 = a \cdot {\left( { - 2} \right)^2}$ hay $4a = - 8,$ suy ra $a = - 2.$ Do đó ý b) là đúng.

⦁ Khi $a = - 2 < 0$ thì đồ thị hàm số $y = - 2{x^2}$ luôn nằm phía dưới trục hoành. Do đó ý c) là sai.

⦁ Khi $a = - 2,$ đồ thị hàm số $y = - 2{x^2}$ luôn nằm phía dưới trục hoành nên cắt đường thẳng $y = - 4$ tại hai điểm phân biệt. Do đó ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

⦁ Vì điểm $C$ nằm trên đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ nên $\widehat {ACB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Do đó ý a) là đúng.

⦁ Đường tròn $\left( O \right)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$ Do đó ý b) là sai.

⦁ Khi điểm $D$ nằm trên cung nhỏ $CB$ thì ta có tứ giác $ACDB$ là tứ giác nội tiếp. Suy ra $\widehat {CAB} + \widehat {BDC} = 180^\circ$ (tổng hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp).

Nên $\widehat {BDC} = 180^\circ - \widehat {CAB} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ .$ Do đó ý c) là sai.

⦁ Xét $\Delta ABC$ vuông tại $C,$ ta có: $AC = AB \cdot \cos \widehat {CAB}$

Suy ra $AB = \frac{{AC}}{{\cos \widehat {CAB}}} = \frac{5}{{\cos 60^\circ }} = 10{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Mà đường tròn $\left( O \right)$ đi qua các điểm $B,\,\,C,\,\,D$ nên đường tròn $\left( O \right)$ ngoại tiếp tam giác $BCD.$

Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCD$ là $\frac{{AB}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5{\rm{\;cm}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp số: 2.

Xét hàm số $y = f\left( x \right) = {x^2},$ ta có $f\left( {a - 1} \right) = {\left( {a - 1} \right)^2}.$

Theo bài, $f\left( {a - 1} \right) = 4$ nên ${\left( {a - 1} \right)^2} = 4.$

Giải phương trình:

${\left( {a - 1} \right)^2} = 4$

$a - 1 = 2$ hoặc $a - 1 = - 2$

$a = 3$ hoặc $a = - 1$

Vậy có hai giá trị của $a$ thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 0.

Phương trình ${x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 8 - 4m = 0$ có:

${\rm{\Delta '}} = {\left( {m - 3} \right)^2} - 1 \cdot \left( {8 - 4m} \right) = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0$ với mọi $m.$

Do đó, phương trình đã cho luôn có hai nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}.$

Theo định lí Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 3} \right);\,\,\,{x_1}{x_2} = 8 - 4m.$

Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt khi $\left\{ \begin{array}{l}\Delta \prime > 0\\{x_1} + {x_2} < 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.$

Tức là $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\\2\left( {m - 3} \right) < 0\\8 - 4m > 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m < 3\\m < 2\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m < 2\end{array} \right.$.

Mà $m$ là số tự nhiên nên $m = 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp số: 11,3.

Giả sử $ABCD$ là khung cổng hình chữ nhật $(AB = CD = 3{\rm{\;m}}$ và $AD = BC = 4{\rm{\;m}})$ nội tiếp nửa đường tròn $\left( O \right)$ (hình vẽ).

Gọi $H$ là trung điểm của $CD.$

Khi đó $HB = HC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2{\rm{\;(m)}}$ và $H$ nằm trên đường trung trực của $BC.$

Vì $B,{\rm{ }}C$ cùng nằm trên nửa đường tròn $\left( O \right)$ nên $OB = OC,$ suy ra $O$ nằm trên đường trung trực của $BC.$

Do đó $OH$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC,$ nên $OH \bot BC.$

Mà $BC\,{\rm{//}}\,AD$ (do $ABCD$ là hình chữ nhật) nên $OH \bot AD.$

Xét tứ giác $ABHO$ có $\widehat {OAB} = \widehat {AOH} = \widehat {OHB} = 90^\circ$ nên $ABHO$ là hình chữ nhật.

Do đó $OH = AB = 3{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta OBH$ vuông tại $H,$ theo định lí Pythagore, ta có: $O{B^2} = O{H^2} + H{B^2} = {3^2} + {2^2} = 13.$

Do đó $OB = \sqrt {13} {\rm{\;m}}.$

Nửa chu vi đường tròn $\left( O \right)$ là: $\pi \sqrt {13} {\rm{\;\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy chiều dài của đoạn thép làm khung nửa đường tròn đó là: $\pi \sqrt {13} \approx 11{,}3{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

Đáp số: 135.

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $Oy.$ Ta có $A\left( {3;\,\,3} \right)$ nên $OH = AH = \left| 3 \right| = 3.$

Xét $\Delta AOH$ vuông tại $H,$ theo định lí Pythagore ta có:

$$O{A^2} = O{H^2} + A{H^2}$$

Suy ra $OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{3^2} + {3^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 .$

Ta cũng có $\sin \widehat {AOH} = \frac{{AH}}{{OA}} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$ Suy ra $\widehat {AOH} = 45^\circ .$

Ta có điểm $B\left( { - 3\sqrt 2 ;\,\,0} \right)$ nằm trên trục $Ox$ nên $OB = \left| { - 3\sqrt 2 } \right| = 3\sqrt 2 .$ Khi đó $OA = OB = 3\sqrt 2 .$

Mặt khác, $\widehat {AOB} = \widehat {AOH} + \widehat {HOB} = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ .$

Như vậy, phép quay $135^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ biến điểm $A$ thành điểm $B$.

Giả sử điểm $M$ chia đoạn thẳng $AB$ thành hai đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện bài toán, $AM > MB.$

Gọi độ dài của $AM = x$ $({\rm{cm}})\,\,\left( {0 < x < 10} \right)$ suy ra $MB = 10 - x{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Theo đề bài, bạn An chia đoạn thẳng $AB$ thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn $AB$ bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn nên ta có $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{MB}}{{AM}}$ hay $\frac{x}{{10}} = \frac{{10 - x}}{x}$.

Giải phương trình:

$\frac{x}{{10}} = \frac{{10 - x}}{x}$

${x^2} = 10\left( {10 - x} \right)$

${x^2} = 100 - 10x$

${x^2} + 10x - 100 = 0$

Giải phương trình trên ta được ${x_1} = - 5 - 5\sqrt 5 ;$${x_2} = - 5 + 5\sqrt 5 .$

Ta thấy chỉ có giá trị ${x_2} = - 5 + 5\sqrt 5$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy $AM = - 5 + 5\sqrt 5 {\rm{\;(cm)}}{\rm{,}}$ tỉ số cần tìm là $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{ - 5 + 5\sqrt 5 }}{{10}} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}.$

Xét phương trình $2{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 2m - 6 = 0$

Ta có $\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot \left( {2m - 6} \right)$

$= {m^2} + 2m + 1 - 16m + 48$

$= {m^2} - 14m + 49$

$= {\left( {m - 7} \right)^2} \ge 0$ với mọi $m$.

Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$.

Vì $\Delta = {\left( {m - 7} \right)^2} \ge 0$ với mọi $m$ nên ta có phương trình $\left( * \right)$ luôn có hai nghiệm là: $x = \frac{{m - 3}}{2};\,\,x = 2.$

Trường hợp 1: ${x_1} = \frac{{m - 3}}{2};\,\,\,\,{x_2} = 2.$

Mà ${x_1} < {x_2}$ nên $\frac{{m - 3}}{2} < 2$ hay $m < 7$.

Theo bài, $2\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| = 6$

$2\left| {\frac{{m - 3}}{2}} \right| - \left| 2 \right| = 6$

$\left| {m - 3} \right| = 8$

$m - 3 = 8$ hoặc $m - 3 = - 8$

$m = 11$ (không thỏa mãn) hoặc $m = - 5$ (thỏa mãn).

Trường hợp 2: ${x_1} = 2;\,\,\,\,{x_2} = \frac{{m - 3}}{2}.$

Mà ${x_1} < {x_2}$ nên $2 < \frac{{m - 3}}{2}$ hay $m > 7$.

Theo bài, $2\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| = 6$

$2 \cdot \left| 2 \right| - \left| {\frac{{m - 3}}{2}} \right| = 6$

$4 - \frac{{\left| {m - 3} \right|}}{2} = 6$

$\left| {m - 3} \right| = - 4$ (vô lí vì $\left| {m - 3} \right| \ge 0).$

Vậy $m = - 5$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

1. Vì điểm $B$ nằm trên đường tròn đường kính $AD$ nên $\widehat {ABD} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do $\Delta ABE$ vuông tại $B$ nên đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là trung điểm $AE$ hay đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABE$ có đường kính $AE$.

Tương tự, $EF \bot AD$ nên $\Delta AEF$ vuông tại $F,$ có đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đường kính $AE.$

Do đó, các điểm $A,\,\,B,\,\,E,\,\,F$ đều nằm trên đường tròn đường kính $AE.$

Vậy tứ giác $ABEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AE.$

2. Tứ giác $ABEF$ nội tiếp nên $\widehat {BAE} = \widehat {BFE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BE).$ (1)

Chứng minh tương tự câu 1, ta có tứ giác $CDFE$ nội tiếp đường tròn đường kính $DE.$

Suy ra $\widehat {EFC} = \widehat {EDC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $EC).$ (2)

Lại có tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$ nên $\widehat {BAC} = \widehat {BDC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BC)$ hay $\widehat {BAE} = \widehat {EDC}.$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat {BFE} = \widehat {EFC}$ hay $FE$ là tia phân giác của $\widehat {BFC}.$

3. Chứng minh tương tự câu 2, ta có $BD$ là tia phân giác của $\widehat {CBF}.$

Xét $\Delta BCF$ có $BD,\,\,FE$ là hai đường phân giác của tam giác cắt nhau tại $E$ nên $E$ là giao điểm ba đường phân giác của tam giác này.

Do đó $E$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $BCF.$