Đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 03

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Các hàm số $y = 2,\,\,y = x - 2,\,\,y = - x$ có đồ thị là một đường thẳng.

Hàm số $y = 2{x^2}$ có đồ thị là một đường cong parabol.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hàm số $y = \frac{{ - {x^2}}}{2}$ hay $y = - \frac{1}{2}{x^2}$ có hệ số $a = - \frac{1}{2} < 0$ nên đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành, nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng, có điểm cao nhất là gốc tọa độ.

Thay $x = - 2$ vào hàm số, ta được: $y = \frac{{ - {{\left( { - 2} \right)}^2}}}{2} = - 2 \ne 2$ nên đồ thị hàm số không đi qua điểm $\left( { - 2;\,\,2} \right).$

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điểm $\left( { - 1\,;\,\, - 3} \right)$ không thuộc đồ thị hàm số $y = 3{x^2}$ vì $3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} = 3 \ne - 3.$

Điểm $\left( {1\,;\,\,3} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = 3{x^2}$ vì $3 \cdot {1^2} = 3.$

Điểm $\left( { - 2\,;\,\, - 6} \right)$ không thuộc đồ thị hàm số $y = 3{x^2}$ vì $2 \cdot {\left( { - 2} \right)^2} = 8 \ne - 8.$

Điểm $\left( {4\,;\,\,12} \right)$ không thuộc đồ thị hàm số $y = 3{x^2}$ vì $3 \cdot {4^2} = 48 \ne 12.$

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng $a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right).$

Phương trình $2{x^2} - 2 = 0$ là phương trình bậc hai một ẩn với $a = 2 \ne 0,\,\,b = 0,\,\,c = - 2.$

Các phương trình $3{x^2} - 2\sqrt x + 1 = 0,\,\,3x + \frac{1}{x} - 5 = 0,\,\,4x - 1 = 0$ không phải phương trình bậc hai một ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 5 \cdot 1 = 9 - 5 = 4 > 0$, suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình ${x^2} - 7x + 12 = 0$ có $\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt, theo định lí Viète, ta có tổng của hai nghiệm bằng $\frac{{ - \left( { - 7} \right)}}{1} = 7.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 3 = 0$ có

$\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - \left( {{m^2} - 3} \right) = {m^2} + 2m + 1 - {m^2} + 3 = 2m + 4.$

Phương trình trên vô nghiệm khi $\Delta ' < 0$, tức là $2m + 4 < 0$ hay $m < - 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo là $90^\circ .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tam giác đều cạnh $a$ thì có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối bằng $180^\circ .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đa giác $DKFIEM$ có 6 cạnh nên là lục giác đều.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ nên $OA = OD$ và $\widehat {AOD} = 90^\circ .$

Như vậy, phép quay ngược chiều $90^\circ$ tâm $O$ biến điểm $A$ thành điểm $D.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

Xét hàm số $y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right).$ Ta có:

⦁ Đồ thị hàm số có trục đối xứng là trục tung. Do đó ý a) là đúng.

⦁ Nếu $a > 0$ thì đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành. Do đó ý b) là sai.

⦁ Nếu $a < 0$ thì đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành. Do đó ý c) là sai.

⦁ Thay $x = 0$ vào hàm số, ta được: $y = a \cdot {0^2} = 0.$

Như vậy, đồ thị hàm số luôn đi qua điểm $O\left( {0;\,\,0} \right).$ Do đó ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

⦁ Vì $ABCD$ là tứ giác nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$ nên $\widehat {ABD} = \widehat {ACD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AD).$ Do đó ý a) là đúng.

⦁ Vì $ABCD$ là tứ giác nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$ nên đường tròn $\left( O \right)$ đi qua các điểm $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D,$ do đó đường tròn $\left( O \right)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$ Do đó ý b) là sai.

⦁ Vì $ABCD$ là tứ giác nội tiếp nên $\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = 180^\circ$ (tổng hai góc đối nhau của một tứ giác nội tiếp).

Suy ra $\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {ABC} = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ .$ Do đó ý c) là đúng.

⦁ Ta có đường tròn $\left( O \right)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD.$

Mà $\widehat {BAD} = \widehat {BCD} = 90^\circ$ nên các tam giác vuông$ABD,\,\,BCD$ có đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn có đường kính $BD.$

Như vậy, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ bằng $\frac{{BD}}{2}.$ Do đó ý d) là đúng.

Đáp số: 0.

Xét phương trình $2{x^4} + 5{x^2} + 3 = 0$

Đặt ${x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)$, phương trình đã cho trở thành:

$$2{t^2} + 5t + 3 = 0$$

${t_1} = - 1$ (không thỏa mãn); ${t_2} = \frac{{ - 3}}{2}$ (không thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm, tức là có 0 nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 1.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$ và parabol $\left( P \right)$ là:

$- \frac{1}{4}{x^2} = x + m$ hay ${x^2} + 4x + 4m = 0.\,\,\,\left( * \right)$

Phương trình trên có $\Delta ' = {2^2} - 1 \cdot 4m = 4 - 4m.$

Để đường thẳng $\left( d \right)$ và parabol $\left( P \right)$ có một điểm chung duy nhất thì phương trình (*) có một nghiệm duy nhất, tức là $\Delta ' = 0$ hay $4 - 4m = 0$ nên $m = 1.$

Hướng dẫn giải

Đáp số: 40.

Tứ giác $ABCD$ nội tiếp nên $\widehat {A\,} + \widehat C = 180^\circ$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp bằng $180^\circ ).$

Suy ra $\widehat C = 180^\circ - \widehat {A\,} = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ .$

Xét $\Delta ABD$ có $\widehat {A\,} + \widehat {ABD} + \widehat {ADB} = 180^\circ$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat {ADB} = 180^\circ - \left( {\widehat {A\,} + \widehat {ABD}} \right) = 180^\circ - \left( {80^\circ + 60^\circ } \right) = 40^\circ$.

Vì $AD\,{\rm{//}}\,BD$ nên $\widehat {DBC} = \widehat {ADB} = 40^\circ$ (so le trong).

Xét $\Delta BCD$ có $\widehat {C\,} + \widehat {CBD} + \widehat {BDC} = 180^\circ$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat {BDC} = 180^\circ - \left( {\widehat {C\,} + \widehat {CBD}} \right) = 180^\circ - \left( {100^\circ + 40^\circ } \right) = 40^\circ .$

Hướng dẫn giải

Đáp số: $- 1.$

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $Oy.$ Ta có $A\left( {2;\,\,3} \right)$ nên $AH = \left| 2 \right| = 2$ và $OH = \left| 3 \right| = 3.$

Xét $\Delta AOH$ vuông tại $H,$ theo định lí Pythagore ta có:

$$O{A^2} = O{H^2} + A{H^2}$$

Suy ra $OA = \sqrt {O{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{3^2} + {2^2}} = \sqrt {13} .$

Ta cũng có $\sin \widehat {AOH} = \frac{{AH}}{{OA}} = \frac{2}{{\sqrt {13} }}.$

Giả sử phép quay $90^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ biến điểm $A$ (ở góc phần tư thứ I) thành điểm $B$. Khi đó, điểm $B$ nằm ở góc phần tư thứ II và $OB = OA = \sqrt {13} ,\,\,\widehat {AOB} = 90^\circ .$

Ta có $\widehat {AOB} = \widehat {AOH} + \widehat {BOH} = 90^\circ$ nên $\cos \widehat {BOH} = \sin \widehat {AOH} = \frac{2}{{\sqrt {13} }}.$

Xét $\Delta OBK$ vuông tại $K$ (gọi $K$ là hình chiếu của điểm $B$ trên $Oy)$ ta có:

$OK = OB \cdot \cos \widehat {BOH} = \sqrt {13} \cdot \frac{2}{{\sqrt {13} }} = 2.$

Từ đó, ta có tung độ của điểm $B$ là $2$ (do $B$ nằm ở góc phần tư thứ II).

Tương tự, ta tìm được hoành độ của điểm $B$ là $- 3.$

Như vậy, phép quay ngược chiều $90^\circ$ tâm $O$ biến điểm $A\left( {2;\,\,3} \right)$ thành điểm $B\left( {--3;{\rm{ }}2} \right).$

Tổng hoành độ và tung độ của điểm $B$ là $- 3 + 2 = - 1.$

Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là $x$ (g/cm$^{3}$) $\left( {x > 1} \right).$

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là $x - 1$ (g/cm$^{3}$).

Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là: $\frac{{880}}{x}$ (cm$^{3}$).

Thể tích của miếng kim loại thứ hai là: $\frac{{858}}{{x - 1}}$ (cm$^{3}$).

Theo đề bài, thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 cm$^{3}$ nên ta có phương trình: $\frac{{858}}{{x - 1}} - \frac{{880}}{x} = 10.$

Giải phương trình:

$\frac{{858}}{{x - 1}} - \frac{{880}}{x} = 10$

$\frac{{858x}}{{x\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{880\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{10x\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}}$

$858x - 880\left( {x - 1} \right) = 10x\left( {x - 1} \right)$

$858x - 880x + 880 = 10{x^2} - 10x$

$10{x^2} + 12x - 880 = 0$

$5{x^2} + 6x - 440 = 0$

Giải phương trình trên ta được: ${x_1} = - 10;\,\,{x_2} = 8{,}8.$

Ta thấy chỉ có giá trị ${x_2} = 8{,}8$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là $8{,}8$ g/cm$^{3}$; khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là $8{,}8 - 1 = 7{,}8$ (g/cm$^{3}$).

Xét phương trình ${x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 7 = 0$ $\left( * \right)$

Ta có: $\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {{m^2} - 7} \right) = 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} + 28 = - 4m + 29$.

Để phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ thì $\Delta > 0,$ tức là $- 4m + 29 > 0$ hay $m < \frac{{29}}{4}.$

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Theo bài, $4{x_1}^2 - {x_1} - 3x_2^2 + {x_2} = {x_1}{x_2}$

$4{x_1}^2 - 4x_2^2 - {x_1} + x_2^2 + {x_2} - {x_1}{x_2} = 0$

$$4\left( {{x_1}^2 - x_2^2} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - {x_1}} \right) + {x_2} - {x_1} = 0$$

$4\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) = 0$

$\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {4{x_1} + 4{x_2} - {x_2} - 1} \right) = 0$

$\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {4{x_1} + 3{x_2} - 1} \right) = 0$

Xét trường hợp 1: ${x_1} - {x_2} = 0$ suy ra ${x_1} = {x_2}$ (loại do ${x_1} \ne {x_2}).$

Xét trường hợp 2: $4{x_1} + 3{x_2} - 1 = 0$ suy ra ${x_1} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 1 = 0$ $\left( {**} \right)$

Thay ${x_1} + {x_2} = 2m - 1$ vào $\left( {**} \right)$ ta có: ${x_1} + 3\left( {2m - 1} \right) - 1 = 0$ hay ${x_1} = - 6m + 4$.

Thay ${x_1} = - 6m + 4$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $- 6m + 4 + {x_2} = 2m - 1$, suy ra ${x_2} = 8m - 5.$

Thay ${x_1} = - 6m + 4$ và ${x_2} = 8m - 5$ vào $\left( 2 \right)$ ta được:

$\left( { - 6m + 4} \right)\left( {8m - 5} \right) = {m^2} - 7$

$- 48{m^2} + 30m + 32m - 20 = {m^2} - 7$

$- 49{m^2} + 62m - 13 = 0$

$m = 1$ (thỏa mãn); $m = \frac{{13}}{{49}}$ (thỏa mãn).

Vậy với $m = \left\{ {1;\,\,\frac{{13}}{{49}}} \right\}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

1. Vì $F,\,\,E$ là tiếp điểm của đường tròn $\left( I \right)$ nội tiếp tam giác $ABC$ nên $IF \bot AB,\,\,IE \bot AC.$

Do đó $\widehat {IFA} = \widehat {IEA} = 90^\circ$, nên hai tam giác $AIF,\,\,AIE$ là hai tam giác vuông có cùng cạnh huyền $AI$

Do đó đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $AIF,\,\,AIE$ là đường tròn đường kính $AI$ hay bốn điểm $A,\,\,E,\,\,I,\,\,F$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AI.$

Vậy tứ giác $AEIF$ là tứ giác nội tiếp.

2. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ nên $AI,\,\,BI,\,\,CI$ là các đường phân giác của tam giác.

Do đó $\widehat {IAF} = \frac{1}{2}\widehat {BAC};\,\,\widehat {IBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC};\,\,\widehat {ICB} = \frac{1}{2}\widehat {ACB}$.

Ta có: $\widehat {AIF} = 90^\circ - \widehat {IAF} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {BAC}$. (1)

$\widehat {IBC} + \widehat {ICB} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} + \frac{1}{2}\widehat {ACB} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = \frac{1}{2}\left( {180^\circ - \widehat {BAC}} \right) = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {BAC}.$ (2)

Xét $\Delta IBC$ có $\widehat {KIC}$ là góc ngoài tại đỉnh $I$ nên $\widehat {KIC} = \widehat {IBC} + \widehat {ICB}.$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat {AIF} = \widehat {KIC}.$ (4)

3. Tứ giác $AEIF$ là tứ giác nội tiếp nên $\widehat {AEF} = \widehat {AIF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AF).$ (5)

Chứng minh tương tự câu 1, ta có tứ giác $IEKC$ nội tiếp đường tròn đường kính $IC.$

Do đó $\widehat {KEC} = \widehat {KIC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $KC).$ (6)

Từ (4), (5), (6) ta có $\widehat {AEF} = \widehat {KEC}$.

Mà $\widehat {AEF} + \widehat {FEC} = 180^\circ$ nên $\widehat {KEC} + \widehat {FEC} = 180^\circ$ hay ba điểm $F,\,\,E,\,\,K$ thẳng hàng.