Đề thi giữa kì 2 Toán 7 năm 2025-2026 THCS Nguyễn Trãi (Hà Nội) có đáp án

a) $\frac{{ - 8}}{x} = \frac{x}{{ - 18}}$

$x \cdot x = ( - 8) \cdot ( - 18)$

${x^2} = 144$

Suy ra $x = 12$ hoặc $x = - 12$

Vậy $x \in \left\{ {12\,;\,\, - 12} \right\}$.

b) $\frac{x}{9} = \frac{y}{{11}}$ và $x + y = - 60$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{9} = \frac{y}{{11}} = \frac{{x + y}}{{9 + 11}} = \frac{{ - 60}}{{20}} = - 3$

Suy ra $x = 9 \cdot ( - 3) = - 27$

$y = 11 \cdot ( - 3) = - 33$

Vậy $x = - 27;y = - 33$.

c) $3x = 2y$ và $xy = 24$

Ta có $3x = 2y$ nên $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$

Đặt $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = k$ suy ra $x = 2k;y = 3k$

Thay $x = 2k;y = 3k$ vào $xy = 24$, ta có: $\left( {2k} \right) \cdot \left( {3k} \right) = 24$

$6{k^2} = 24$

${k^2} = 4$

$k = \pm \,2$

Khi $k = 2$ thì $x = 2 \cdot 2 = 4;y = 3 \cdot 2 = 6$

Khi $k = - 2$ thì $x = 2 \cdot ( - 2) = - 4\,;$

$y = 3 \cdot ( - 2) = - 6$

Vậy $(x\,;\,\,y) \in \left\{ {\left( {4\,;\,\,6} \right)\,;\,\,\left( { - 4\,;\,\, - 6} \right)} \right\}$.

Gọi $x,\,\,y,\,\,\,z$ (máy) lần lượt là số máy của đội 1, đội 2, đội 3 $\left( {x,\,\,y,\,\,\,z \in \mathbb{N}*} \right)$.

Theo đề bài ta có: $3x = 5y = 6z$ và $y - z = 1$

Từ $3x = 5y = 6z$ suy ra $\frac{{3x}}{{30}} = \frac{{5y}}{{30}} = \frac{{6z}}{{30}}$ hay $\frac{x}{{10}} = \frac{y}{6} = \frac{z}{5}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{x}{{10}} = \frac{y}{6} = \frac{z}{5} = \frac{{y - z}}{{6 - 5}} = \frac{1}{1} = 1$.

Suy ra: $x = 10 \cdot 1 = 10$; $y = 6 \cdot 1 = 6$; $z = 5 \cdot 1 = 5$.

Vậy đội 1, đội 2, đội 3 lần lượt có 10 máy, 6 máy, 5 máy.

a) Thu gọn đa thức $A\left( x \right)$ và $B\left( x \right)$ và chỉ ra bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của $A\left( x \right)$.

$A(x) = - {x^3} + {x^2} + 3x + 4{x^3} - 3{x^2} - 2$

$= \left( { - {x^3} + 4{x^3}} \right) + \left( {{x^2} - 3{x^2}} \right) + 3x - 2$

$= 3{x^3} - 2{x^2} + 3x - 2$.

Bậc của $A\left( x \right)$ là 3, hệ số cao nhất là 3, hệ số tự do là $- 2$.

$B\left( x \right) = 2{x^3} + 3{x^2} - 5{x^3} - 3x + 3$

$= \left( {2{x^3} - 5{x^3}} \right) + 3{x^2} - 3x + 3$

$= - 3{x^3} + 3{x^2} - 3x + 3$.

b) Tìm $C\left( x \right) = A\left( x \right) + B\left( x \right)$; $D(x) = A\left( x \right) - B\left( x \right)$.

$C\left( x \right) = \left( {3{x^3} - 2{x^2} + 3x - 2} \right) + \left( { - 3{x^3} + 3{x^2} - 3x + 3\,} \right)$

$= \left( {3{x^3} - 3{x^3}} \right) + \left( { - 2{x^2} + 3{x^2}} \right) + \left( {3x - 3x\,} \right) + \left( { - 2 + 3} \right)$$= {x^2} + 1$.

$D\left( x \right)\, = \left( {3{x^3} - 2{x^2} + 3x - 2} \right) - \left( { - 3{x^3} + 3{x^2} - 3x + 3\,} \right)$

$= 3{x^3} - 2{x^2} + 3x - 2 + 3{x^3} - 3{x^2} + 3x - 3$

$= \left( {3{x^3} + 3{x^3}\,} \right) + \left( { - 2{x^2} - 3{x^2}} \right) + \left( {3x + 3x} \right) + \left( { - 2 - 3} \right)$

$= 6{x^3} - 5{x^2} + 6x - 5$.

c) Tìm nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$.

$C(x) = {x^2} + 1$.

Ta có ${x^2} + 1 = 0$ nên ${x^2} = - 1$ (vô lí)

Vậy đa thức $C\left( x \right)$ vô nghiệm.

a) Chứng minh $\Delta ABF = \Delta AEF$.

Xét $\Delta ABF$ và $\Delta AEF$ có:

$AB = AE$ (gt)

$\widehat {ABF} = \widehat {AEF} = 90^\circ$ (gt)

$AF$ là cạnh chung

Do đó $\Delta ABF = \Delta AEF$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

b) Tia $BE$ là tia phân giác của góc $HBC.$

Vì $\Delta ABF = \Delta AEF$ (cmt)

Nên $FB = FE$ (hai cạnh tương ứng)

Suy ra $\Delta BFE$ cân tại $F$ và $\widehat {FBE} = \widehat {FEB}$ (tính chất)

Ta có $BH \bot AC$, $FE \bot AC$ nên $BH\,{\rm{//}}\,FE$.

Vì $BH\,{\rm{//}}\,FE$ nên $\widehat {HBE} = \widehat {FEB}$ (so le trong).

Mà $\widehat {FBE} = \widehat {FEB}$ (cmt) nên $\widehat {HBE} = \widehat {FBE}$, lại có $BE$ nằm trong $\widehat {HBF}$.

Vậy $BE$ là tia phân giác của $\widehat {HBF}$ hay $BE$ là tia phân giác của $\widehat {HBC}$.

c) $BF < FC$.

Xét tam giác vuông $FEC$ vuông tại $E$ có $FC$ là cạnh huyền nên $FE < FC$.

Mà $FB = FE$ suy ra $BF < FC$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{3a + 2b + c}}{{a + 2b - c}} = \frac{{3a - 2b + c}}{{a - 2b - c}} = \frac{{\left( {3a + 2b + c} \right) - \left( {3a - 2b + c} \right)}}{{\left( {a + 2b - c} \right) - \left( {a - 2b - c} \right)}} = \frac{{4b}}{{4b}} = 1$ (vì $b \ne 0$)

Ta có $\frac{{3a + 2b + c}}{{a + 2b - c}} = 1$ nên $3a + 2b + c = a + 2b - c$

$3a - a + 2b - 2b + c + c = 0$

$2a + 2c = 0$

$2\left( {a + c} \right) = 0$

$a + c = 0$ (đpcm).