Đề thi giữa kì 2 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4

Đáp án đúng là: A

$\int {f\left( x \right)dx = \int {{x^2}dx} } = \frac{{{x^3}}}{3} + C$.

Đáp án đúng là: A

$\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^5 = F\left( 5 \right) - F\left( 1 \right)$.

Đáp án đúng là: A

$\int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx} = 5 + 2 = 7$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3}} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {2 - x} \right|dx}$$= \int\limits_0^1 {{x^3}dx} + \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)dx} = \frac{1}{2} + \int\limits_0^1 {{x^3}dx}$.

Đáp án đúng là: C

$V = \pi \int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( { - 1;3;2} \right) = - \frac{1}{2}\left( {2; - 6; - 4} \right) = - \frac{1}{2}\overrightarrow {{n_R}}$ và $- 1 \ne - \frac{1}{2}.5$ nên $\left( \alpha \right)//\left( R \right)$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ là $z = 0$.

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng $\left( P \right):3x - 4y + z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 4;1} \right) = \overrightarrow {{n_3}}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} + 2x + 5} \right)dx} = {x^3} + {x^2} + 5x + C$.

Vì $F\left( 1 \right) = 4$ nên ${1^3} + {1^2} + 5.1 + C = 4 \Leftrightarrow C = - 3$.

Vậy $F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + 5x - 3$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\sqrt {2 + \cos x} } \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 + \cos x} \right)dx}$$= \left. {\pi \left( {2x + \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$$= \pi \left( {\pi + 1} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng: $2x - y + 3z + d = 0\left( {d \ne 5} \right)$.

Vì $\left( Q \right)$ đi qua $A$ nên $2.0 + 3 + 3.2 + d = 0 \Rightarrow d = - 9$.

Vậy $\left( Q \right):2x - y + 3z - 9 = 0$.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Có $F'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)^\prime } = {x^2}$.

b) $\int _{0}^{2}(f(x)+1)dx=\int _{0}^{2}({x}^{2}+1)dx={(\frac{{x}^{3}}{3}+x)|}_{0}^{2}=\frac{14}{3}$

c) $\int\limits_{2024}^a {{f^2}\left( x \right)dx} = \int\limits_{2024}^a {{x^4}dx} = \left. {\frac{{{x^5}}}{5}} \right|_{2024}^a = \frac{{{a^5}}}{5} - \frac{{{{2024}^5}}}{5} = 0 \Rightarrow a = 2024$.

Do đó $2a - 1 = 4047$.

d) Ta có $S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^2 {{x^2}dx} = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^2 = \frac{8}{3}$.

a) S, b) S, c) Đ, d) S

a) Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A\left( {3; - 2;5} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {4; - 3;2} \right)$ có dạng:

$4\left( {x - 3} \right) - 3\left( {y + 2} \right) + 2\left( {z - 5} \right) = 0$$\Leftrightarrow 4x - 3y + 2z - 28 = 0$.

b) Vì $\frac{4}{2} \ne \frac{{ - 3}}{{11}} \ne \frac{2}{8}$ nên $\left( P \right)$ không song song với mặt phẳng $\left( Q \right)$.

c) Có $\overrightarrow {{n_R}} = \left( {1;2;1} \right)$mà $\overrightarrow n .\overrightarrow {{n_R}} = 4.1 - 3.2 + 2.2 = 0$.

d) Ta có $d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {4.1 - 3.1 + 2.\left( { - 1} \right) - 28} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{29}}{{\sqrt {29} }} = \sqrt {29}$.

Trả lời: 0,75

Ta có $F\left( x \right) = \int {\sin 2xdx} = - \frac{1}{2}\cos 2x + C$.

Vì $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1$ nên $- \frac{1}{2}\cos \frac{\pi }{2} + C = 1 \Rightarrow C = 1$.

Do đó $F\left( x \right) = - \frac{1}{2}\cos 2x + 1$.

Vậy $F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2}\cos \frac{\pi }{3} + 1 = \frac{3}{4} = 0{,}75$.

Trả lời: 8,5

Ta có $I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx}$$= \int\limits_{ - 1}^2 {xdx} + 2\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} - 3\int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right)dx}$

$= \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_{ - 1}^2 + 2\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} - 3\int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right)dx}$$= \frac{3}{2} + 2.2 - 3.\left( { - 1} \right) = \frac{{17}}{2} = 8{,}5$.

Trả lời: 2

Ta có $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {2;4; - m} \right)$.

Để $\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)$ thì $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{{ - 1}}{{ - m}} \ne - \frac{1}{2} \Rightarrow m = 2$.

Trả lời: 3

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình là $2\left( {x + 1} \right) - \left( {y - 1} \right) - 2z = 0$$\Leftrightarrow 2x - y - 2z + 3 = 0$.

Ta có $d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 0 - 2.\left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3$.

Ta có $h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dt = \int {\left( { - 9{,}81t + 29{,}43} \right)dx} = - \frac{{9{,}81}}{2}{t^2} + 29{,}43t + C$.

Vì vật được ném lên từ độ cao 300 m nên $h\left( 0 \right) = 300 \Rightarrow C = 300$.

Vậy $h\left( t \right) =$$h\left( t \right) = - \frac{{9{,}81}}{2}{t^2} + 29{,}43t + 300$.

Khi vật chạm đất ứng với $h\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow$$- \frac{{9{,}81}}{2}{t^2} + 29{,}43t + 300 = 0 \Leftrightarrow t \approx 11$ (vì $t > 0$).

Vậy sau khoảng 11 giây từ lúc ném thì vật đó chạm đất.

Diện tích của hình chữ nhật là $4.6 = 24$(m$^{2}$).

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ

Vì Parabol đối xứng qua Oy nên có dạng: $\left( P \right):y = a{x^2} + c$.

Vì $\left( P \right)$ đi qua $B\left( {4;0} \right)$ và $N\left( {2;6} \right)$ nên $\left( P \right):y = - \frac{1}{2}{x^2} + 8$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right)$ và trục $Ox$ là: ${S_1} = 2\int\limits_0^4 {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + 8} \right)dx} = \frac{{128}}{3}$ (m$^{2}$).

Diện tích phần phía ngoài phông để trang trí hoa là $S = {S_1} - {S_{MNPQ}} = \frac{{128}}{3} - 24 = \frac{{56}}{3} \approx 18{,}7$ m$^{2}$.

Giả sử $A\left( {m;0;0} \right),B\left( {0;n;0} \right)$ với $m > 0,n > 0$.

Do đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right):\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{3} - 1 = 0$.

Theo giả thiết $G\left( {a;b;c} \right)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ $\Rightarrow m = 3a,n = 3b,c = 1$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;8;0} \right)$ nên $\frac{1}{m} + \frac{8}{n} - 1 = 0 \Rightarrow m = \frac{n}{{n - 8}}$ với $n > 8$.

Vì $OG$ nhỏ nhất nên $P = {a^2} + {b^2} + {c^2} = \frac{{{{\left( {\frac{n}{{n - 8}}} \right)}^2}}}{9} + \frac{{{n^2}}}{9} + 1$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Đặt $f\left( n \right) = \frac{{{{\left( {\frac{n}{{n - 8}}} \right)}^2}}}{9} + \frac{{{n^2}}}{9} + 1$. Suy ra $f'\left( n \right) = \frac{1}{9}\left( {\frac{{ - 2n}}{{n - 8}}.\frac{8}{{{{\left( {n - 8} \right)}^2}}} + 2n} \right)$.

Có $f'\left( n \right) = 0 \Leftrightarrow n = 10$(thỏa mãn).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có minP khi $n = 10$. Suy ra $m = 5;a = \frac{5}{3},b = \frac{{10}}{3}$.

Vậy $G\left( {\frac{5}{3};\frac{{10}}{3};1} \right)$.