Đề thi giữa kì 2 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 3

Đáp án đúng là: C

Ta có $F'\left( x \right) = {\left( {{{\sin }^2}x + 1} \right)^\prime } = 2\sin x\cos x = \sin 2x$.

Đáp án đúng là: A

$\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)$.

Đáp án đúng là: A

$A = \int\limits_2^5 {{x^5}dx} = \left. {\frac{{{x^6}}}{6}} \right|_2^5 = \frac{{5187}}{2}$.

Đáp án đúng là: C

$$\int\limits_a^c {f(x){\rm{d}}x} + \int\limits_c^b {f(x){\rm{d}}x} = \int\limits_a^b {f(x){\rm{d}}x} ,\left( {c \in \left[ {a;b} \right]} \right).$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$V = \pi \int\limits_{ - 1}^3 {{{\left( {{{\sqrt 2 }^x}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_{ - 1}^3 {{2^x}{\rm{d}}x}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;0; - 2} \right) = - \left( { - 1;0;2} \right)$.

Do đó $\overrightarrow n = \left( { - 1;0;2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Đáp án đúng là: A

Thay tọa độ điểm $A\left( { - 1;3;2} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ ta được:

$2.\left( { - 1} \right) - 3 + 3.2 = 1 \ne 0$. Do đó $A \notin \left( \alpha \right)$.

Đáp án đúng là: C

Một mặt phẳng song song với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $f\left( x \right) = x + 2 + \frac{1}{{x - 1}}$ .

Do đó $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {x + 2 + \frac{1}{{x - 1}}} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 2x + \ln \left| {x - 1} \right| + C = \frac{{{x^2}}}{2} + 2x + \ln \left( {x - 1} \right) + C$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int\limits_1^3 {\frac{1}{{3x + 1}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{3}\int\limits_1^3 {\frac{1}{{3x + 1}}{\rm{d}}\left( {3x + 1} \right)} = \left. {\frac{1}{3}\ln \left| {3x + 1} \right|} \right|_1^3 = \frac{1}{3}\ln 10 - \frac{1}{3}\ln 4 = \frac{1}{3}\ln \frac{5}{2}$.

Suy ra $a = 3;b = 5$. Do đó $T = {2.3^2} - 5 = 13$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có dạng $\frac{x}{3} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{3} - \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 1$.

a) S, b) S, c) Đ, d) S

a) Vì ${\left( {2{e^{ - x}} + C} \right)^\prime } = - 2{e^{ - x}} \ne f\left( x \right)$.

b) $S = \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$.

c) $S = \int\limits_0^1 {\left| {2{e^{ - x}}} \right|dx}$$= \int\limits_0^1 {2{e^{ - x}}dx}$$= \left. { - 2{e^{ - x}}} \right|_0^1 = - 2{e^{ - 1}} + 2 = 2 - \frac{2}{e}$.

d) Ta có $V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {2{e^{ - x}}} \right)}^2}dx}$$= 4\pi \int\limits_0^1 {{e^{ - 2x}}dx}$$= \left. { - 2\pi {e^{ - 2x}}} \right|_0^1 = - 2\pi {e^{ - 2}} + 2\pi$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2;1; - 2} \right)$.

Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ ta thấy không thỏa mãn. Do đó $A \notin \left( P \right)$.

b) Ta có $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 0 - 2.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 2$.

c) Mặt phẳng $\left( Q \right)$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $2x + y - 2z + d = 0\left( {d \ne 0} \right)$.

Vì $\left( Q \right)$ đi qua $A\left( { - 1;0;2} \right)$ nên $2.\left( { - 1} \right) + 0 - 2.2 + d = 0 \Leftrightarrow d = 6$(thỏa mãn).

Vậy $\left( Q \right):2x + y - 2z + 6 = 0$.

d) Có $\overrightarrow {OA} = \left( { - 1;0;2} \right),\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 2} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 2;2; - 1} \right) = - \left( {2; - 2;1} \right)$.

Vậy mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O, điểm $A$ và vuông góc $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\left( {2; - 2;1} \right).$

Trả lời: 24

Ta có $F\left( x \right) = G\left( x \right) + C$ mà $F\left( 0 \right) = G\left( 0 \right) + 1$ nên $C = 1$.

Do đó $F\left( x \right) = G\left( x \right) + 1$. Khi đó

$27 = \int\limits_3^6 {F\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_3^6 {\left( {G\left( x \right) + 1} \right)dx} = \int\limits_3^6 {G\left( x \right)dx} + \left. x \right|_3^6 = \int\limits_3^6 {G\left( x \right)dx} + 3 \Rightarrow \int\limits_3^6 {G\left( x \right)dx} = 27 - 3 = 24$.

Trả lời: −3

Ta có $\int\limits_{ - 1}^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - 10 + 7 = - 3$.

Trả lời: −3

Ta có $\left( \alpha \right):3\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 4} \right) - \left( {z + 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow 3x + 2y - z + 4 = 0$.

Suy ra mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3;2; - 1} \right)$. Suy ra $a = 3;c = - 1$.

Vậy $a.c = - 3$.

Trả lời: 1

Vì $A \in Ox$ nên $A\left( {a;0;0} \right)$.

Vì $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right)$ nên $\frac{{\left| {2a + 2024} \right|}}{3} = \frac{{\left| {2a - 2024} \right|}}{3}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2a + 2024 = 2a - 2024\\2a + 2024 = - 2a + 2024\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow a = 0$.

Vậy có 1 điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ta có $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = {t^2} - 3t + 10$.

Vận tốc đạt 20 m/s thì ${t^2} - 3t + 10 = 20 \Leftrightarrow t = 5$ (vì t > 0)

Do đó quãng đường mà vật đi được khi vận tốc đạt 20 m/s là:

$s = \int\limits_0^5 {\left( {{t^2} - 3t + 10} \right)dt} \approx 54{,}2$(m).

Diện tích miếng tôn hình tròn là ${S_1} = \pi {R^2} = 25\pi \left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ

Phương trình của đường tròn tâm $O$, bán kính bằng 5 là ${x^2} + {y^2} = 25$.

Phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn là $y = \sqrt {25 - {x^2}}$.

Có $AB = 6 \Rightarrow {y_A} = 3 \Rightarrow {x_A} = 4$.

Vậy diện tích phần tấm trống là ${S_2} = 2\int\limits_4^5 {\sqrt {25 - {x^2}} } dx$.

Diện tích phần tấm tôn trang trí là $S = {S_1} - {S_2} = 25\pi - 2\int\limits_4^5 {\sqrt {25 - {x^2}} dx}$.

Vậy số tiền cần trả là $100.\left( {25\pi - 2\int\limits_4^5 {\sqrt {25 - {x^2}} dx} } \right) \approx 7445$ nghìn đồng.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt tia $Ox$ tại $A\left( {a;0;0} \right)$, cắt tia $Oy$ tại $B\left( {0;b;0} \right)$, cắt tia $Oz$ tại $C\left( {0;0;c} \right)$ có dạng là $\left( P \right):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\left( {a > 0,b > 0,c > 0} \right)$.

Theo đề: $\frac{{OA}}{1} = \frac{{OB}}{2} = \frac{{OC}}{4}$$\Leftrightarrow \frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{b}{2}\\c = 2b\end{array} \right.$.

Vì $M\left( {1;3; - 2} \right)$ nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$ nên ta có $\frac{1}{{\frac{b}{2}}} = \frac{3}{b} = \frac{{ - 2}}{{2b}} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{b} = 1 \Leftrightarrow b = 4$.

Khi đó $a = 2;c = 8$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{8} = 1 \Leftrightarrow 4x + 2y + z - 8 = 0$.