Đề thi giữa kì 2 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 1

Đáp án đúng là: C

$\int {2024f\left( x \right)dx} = 2024\int {f\left( x \right)dx}$.

Đáp án đúng là: D

Vì ${\left( {{x^7} + C} \right)^\prime } = 7{x^6}$ nên $\int {f\left( x \right)dx} = {x^7} + C$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx - } \int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = - 2 - 3 = - 5.$

Đáp án đúng là: C

Ta có $\int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_2^4 = F\left( 4 \right) - F\left( 2 \right) = 12 - 6 = 6$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int\limits_0^3 {3f\left( x \right)dx} = 3\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 3.4 = 12$.

Đáp án đúng là: A

$$V = \pi \int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} .$$

Đáp án đúng là: B

Từ phương trình mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + 3z - 1 = 0$ ta có vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1;2;3} \right).$

Đáp án đúng là: A

Vì $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} \\20 \ne 40\end{array} \right.$ nên $\left( P \right)//\left( Q \right)$.

Đáp án đúng là: D

Thay tọa độ điểm $A\left( {1;2;4} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - z - 1 = 0$ ta được:

$1 + 2.2 - 4 - 1 = 0$ (đúng). Do đó $A \in \left( P \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^2} + \frac{3}{x}} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln \left| x \right| + C$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\int\limits_0^1 {\left[ {4x - 3f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {4x{\rm{d}}x - 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} } = \left. {2{x^2}} \right|_0^1 - 3.3 = 2 - 9 = - 7.$

Đáp án đúng là: B

Ta có tọa độ trung điểm $I$của $AB$ là $I\left( {3;2; - 1} \right)$ và $\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 2; - 2} \right)$.

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ đi qua $I$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \overrightarrow {AB}$ nên có phương trình là $4\left( {x - 3} \right) - 2\left( {y - 2} \right) - 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - z - 5 = 0$.

a) S, b) Đ, c) S, d) S

a) $S = \int\limits_0^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$ .

b) $S = \int\limits_0^2 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx} = \frac{4}{3}$.

c) $V = \pi \int\limits_0^2 {{f^2}\left( x \right)dx}$.

d) $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^2 {\left( {4{x^2} - 4{x^3} + {x^4}} \right)dx} = \frac{{16\pi }}{{15}}$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M\left( {1;2; - 3} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( { - 5;8;1} \right)$ có phương trình là:

$- 5\left( {x - 1} \right) + 8\left( {y - 2} \right) + \left( {z + 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow 5x - 8y - z + 8 = 0$.

b) Thay tọa độ điểm $A(1;1;5)$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$, ta được

$5.1 - 8.1 - 5 + 8 = 0$ đúng. Vậy điểm $A \in \left( P \right)$.

c) Ta có $d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {5.1 - 8.\left( { - 2} \right) - \left( { - 1} \right) + 8} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {8^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{30}}{{3\sqrt {10} }} = \sqrt {10}$.

d) Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình là $5x - 8y - z = 0$.

Trả lời: 8

Ta có ${\left[ {\left( {ax + b} \right){e^{ - x}} + C} \right]^\prime } = a{e^{ - x}} - \left( {ax + b} \right){e^{ - x}} = - ax{e^{ - x}} + \left( {a - b} \right){e^{ - x}}$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l} - a = 2\\a - b = 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 5\end{array} \right.$. Vậy $a - 2b = 8$.

Trả lời: 1

$\int\limits_1^7 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_3^7 {f\left( x \right)dx} = 4 - 3 = 1$.

Trả lời: 4

Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;4;3} \right)$ và $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {m; - n; - 6} \right)$.

Để $\left( P \right)//\left( Q \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = k\overrightarrow {{n_Q}} \\ - 5 \ne k.2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = km\\4 = k.\left( { - n} \right)\\3 = k.\left( { - 6} \right)\\ - 5 \ne k.2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 4\\n = 8\\k = - \frac{1}{2}\\ - 5 \ne \left( { - \frac{1}{2}} \right).2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 4\\n = 8\end{array} \right.$.

Do đó $m + n = 4$.

Trả lời: 3

Ta có $d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = 1$$\Leftrightarrow \frac{{\left| m \right|}}{3} = 1$$\Leftrightarrow m = 3$ (do $m > 0$).

Ta có $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {6tdt} = 3{t^2} + C$.

Do khi bắt đầu tăng tốc ${v_0} = 10{\rm{m/s}}$. Suy ra $C = 10$.

Do đó $v\left( t \right) = 3{t^2} + 10$.

Quãng đường anh ta đi được trong thời gian 10 giây là $S = \int\limits_0^{10} {\left( {3{t^2} + 10} \right)dt} = 1100$(m).

Vì $AB = 4{\rm{dm}}$ và $BC = 8{\rm{dm}}$nên $A\left( { - 2;4} \right),B\left( {2;4} \right),C\left( {2; - 4} \right),D\left( { - 2; - 4} \right)$.

Ta có $\left( P \right):y = {x^2}$ hoặc $y = - {x^2}$.

Diện tích phần tô đậm là ${S_1} = 4\int\limits_0^2 {{x^2}dx} = \frac{{32}}{3}$(dm$^{2}$).

Diện tích hình chữ nhật là $S = 4.8 = 32$(dm$^{2}$).

Diện tích phần trắng là: ${S_2} = S - {S_1} = 32 - \frac{{32}}{3} = \frac{{64}}{3}$(dm$^{2}$).

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Ta có $A\left( {0;0;0} \right),\overrightarrow {AE} = \left( {0;0;1} \right),\overrightarrow {CD} = \left( {0; - 1;0} \right)$.

Đặt $M\left( {a;b;c} \right)$. Suy ra $\overrightarrow {AM} = \left( {a;b;c} \right)$.

Để cho $\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {CD}$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}a + 0 = 0\\b + 0 = - 3\\c + 1 = 0\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = - 3\\c = - 1\end{array} \right.$. Suy ra $M\left( {0; - 3; - 1} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {EBD} \right)$ có dạng: $x + y + z - 1 = 0$.

Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left( {EBD} \right)$ bằng

$d\left( {M,\left( {EBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 - 3 - 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy khoảng cách cần tìm bằng $\frac{{5\sqrt 3 }}{3}$.