Đề thi giữa kì 2 Toán 12 cấu trúc mới (có đáp án) - Đề 08

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức $\smallint {\rm{sin}}x{\rm{\;d}}x = - {\rm{cos}}x + C$. Suy ra $f\left( x \right) = {\rm{sin}}x$.

Đáp án đúng là: B

$\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int\limits_1^3 {\left[ {1 + f(x)} \right]dx} = \left. {\left( {x + F\left( x \right)} \right)} \right|_1^3 = \left. {\left( {x + {x^2}} \right)} \right|_1^3 = 12 - 2 = 10.$

Đáp án đúng là: D

Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay $\left( H \right)$ xung quanh trục $Ox$ là: $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int\limits_0^1 {\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + 10x + 3} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {{x^3} + 5{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^1 = 9$.

Đáp án đúng là: A

Thể tích vật thể là: $V = \int\limits_1^2 {2024xdx = 3036}$.

Đáp án đúng là: D

$\left( P \right):\,2x - y + z - 3 = 0$.

Suy ra: mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2; - 1;1} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 2;1; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} = - \overrightarrow n .$

Vậy: $\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 2;1; - 1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec j = \left( {0;\,1;\,0} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Xét điểm $N\left( {1; - 1;0} \right)$ ta có: $2.1 + 3.( - 1) + 6.0 + 6 = 5 \ne 0.$

Vậy điểm $N$ không thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Đáp án đúng là: C

Do $M'$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nên $MM' \bot \left( P \right)$.

Do đó, $\overrightarrow {MM'} \left( {4;2;6} \right)$là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Khi đó mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cũng có một vectơ pháp tuyến khác là $\overrightarrow n \left( {2;1;3} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Do $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{12}}{{\sqrt 6 }} = 2\sqrt 6 \ne \sqrt 6$ nên D sai.

Đáp án đúng là: C

$\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow n = \left( {3; - 2;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến

Mặt phẳng đã cho song song với $\left( P \right)$ nên cũng nhận nhận $\overrightarrow n = \left( {3; - 2;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến

Vậy mặt phẳng đi qua $M$ và song song với $\left( P \right)$ có phương trình là

$3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) + \left( {z - 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow 3x - 2y + z - 11 = 0$.

a) S, b) S, c) S, d) Đ

a) $f\left( x \right) = F'\left( x \right) = a\sqrt {x - b} + \frac{{ax + 2}}{{2\sqrt {x - b} }} = \frac{{2a\left( {x - b} \right) + ax + 2}}{{2\sqrt {x - b} }} = \frac{{3ax - 2ab + 2}}{{2\sqrt {x - b} }}$.

b) $\int {xG\left( x \right)} dx = \int {\frac{{3x}}{{c{x^2}}}} dx = \int {\frac{3}{{cx}}} dx = \frac{3}{c}\ln \left| x \right| + C$.

c) $G\left( x \right) = \frac{3}{{ - 6{x^2}}} = - \frac{1}{{2{x^2}}}$$\Rightarrow g\left( x \right) = G'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^3}}}$.

Suy ra $g'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^\prime } = \frac{{ - 3}}{{{x^4}}}$.

d) Theo câu a, $f\left( x \right) = \frac{{3ax - 2ab + 2}}{{2\sqrt {x - b} }}$ mà $f\left( x \right) = \frac{{3x - 5}}{{\sqrt {x - 3} }}$ nên suy ra

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3a}}{2} = 3\\ - ab + 1 = - 5\\b = 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.$.

Do đó $2{a^2} - 3b = {2.2^2} - 3.3 = - 1$.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( { - 3{x^2} + 6x} \right)dx} = - {x^3} + 3{x^2} + C$.

Vì $F\left( 0 \right) = 1$ nên $C = 1$. Do đó $F\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 1$.

b) $\int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {{{\left( { - 3{x^2} + 6x} \right)}^2}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {9{x^4} - 36{x^3} + 36{x^2}} \right)dx}$$= \left. {\left( {9\frac{{{x^5}}}{5} - 9{x^4} + 12{x^3}} \right)} \right|_0^1$.

c) Ta có $S = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left| { - 3{x^2} + 6x} \right|dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { - 3{x^2} + 6x} \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} = F\left( {\frac{3}{2}} \right) - F\left( {\frac{1}{2}} \right)$.

d) Phần tô đậm trong hình sau là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = F\left( x \right)$, trục hoành và các đường thẳng $x = 0,x = 2$.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Ta có ${S_2} = \int\limits_0^4 {\left| {\frac{{{x^2}}}{4}} \right|dx} = \int\limits_0^4 {\frac{{{x^2}}}{4}dx} = \left. {\frac{{{x^3}}}{{12}}} \right|_0^4 = \frac{{16}}{3}$.

b) ${S_1} = {S_{OABC}} - {S_2} = 16 - \int\limits_0^4 {\frac{{{x^2}}}{4}dx}$ $= 16 - \left. {\frac{{{x^3}}}{{12}}} \right|_0^4 = 16 - \frac{{16}}{3} = \frac{{32}}{3}$.

c) $0 < {S_1} = 2{S_2}$.

d) $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{32}}{3}:\frac{{16}}{3} = 2$.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Mặt phẳng $\left( {Oxy} \right):z = 0$.

$d\left( {A,Oxy} \right) = \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 1$.

b) $I\left( {1;1;2} \right)$ là trung điểm đoạn thẳng $CD$.

c) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 1;2} \right)$, $\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;4; - 2} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 6; - 10; - 14} \right) = - 2\left( {3;5;7} \right)$.

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$qua hai điểm $A\left( {1;2;1} \right),B\left( { - 2;1;3} \right)$ và $\left( \alpha \right)//CD$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {3;5;7} \right)$ có phương trình $3\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) + 7\left( {z - 1} \right) = 0$ hay $3x + 5y + 7z - 20 = 0$.

Suy ra $b = 5;c = 7;d = - 20$. Do đó $2b - 3c + d = - 31$.

d) Ta có $\overrightarrow {IA} = \left( {0;1; - 1} \right),\overrightarrow {IB} = \left( { - 3;0;1} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right] = \left( {1;3;3} \right)$.

Nếu $\left( \alpha \right)$ đi qua trung điểm $I\left( {1;1;2} \right)$ và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1;3;3} \right)$ có phương trình là: $\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 1} \right) + 3\left( {z - 2} \right) = 0$ hay $x + 3y + 3z - 10 = 0$$\Leftrightarrow 3x + 9y + 9z - 30 = 0$.

Suy ra $b = 9;c = 9;d = - 30$. Do đó $2b - 3c + d = - 39$.

Trả lời: 1

Ta có $f\left( x \right) = {\left( {x\sin x + C} \right)^\prime } = \sin x + x\cos x \Rightarrow f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1$.

Trả lời: −2

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{1 - \cos 2x}}{{1 + \cos 2x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{2{{\sin }^2}x}}{{2{{\cos }^2}x}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx = \left. {\left( {\tan x - x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} = \sqrt 3 } - \frac{\pi }{3}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\end{array} \right. \Rightarrow a + b = - 2$.

Trả lời: 0

Giả sử $A\left( {a;{a^2}} \right),B\left( {b;{b^2}} \right) \in \left( P \right)\left( {b > a} \right)$ sao cho $AB = 2$.

Phương trình đường thẳng $AB:y = \left( {b + a} \right)x - ab$.

Gọi$S$ là diện tích hình phẳng cần tìm, ta có

$S = \int\limits_a^b {\left| {\left( {b + a} \right)x - ab - {x^2}} \right|} dx$$= \int\limits_a^b {\left[ {\left( {b + a} \right)x - ab - {x^2}} \right]} dx = \frac{1}{6}{\left( {b - a} \right)^3}$.

Vì $AB = 2$ nên $\left| {b - a} \right| = b - a \le 2$$\Rightarrow S \le \frac{4}{3}$.

Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\b - a = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 1\end{array} \right.$. Suy ra $a + b = 0$.

Trả lời: 2250

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn có phương trình $y = \sqrt {225 - {x^2}} ,x \in \left[ { - 15;15} \right]$.

Một mặt phẳng cắt vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x,\left( {x \in \left[ { - 15;15} \right]} \right)$ cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là $S\left( x \right)$.

Ta có $NP = y$ và $MN = NP\tan 45^\circ = y = \sqrt {225 - {x^2}}$.

Khi đó $S\left( x \right) = \frac{1}{2}MN.NP = \frac{1}{2}\left( {225 - {x^2}} \right)$.

Suy ra thể tích hình nêm là $V = \int\limits_{ - 15}^{15} {S\left( x \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 15}^{15} {\left( {225 - {x^2}} \right)dx} = 2250$ cm$^{3}$.

Trả lời: −6

Gọi $H,\,K$ lần lượt là hình chiếu của $A,\,B$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$.

Khi đó theo giả thiết ta có: $AB = 3$, $AH = 6$, $BK = 3$.

Do đó $A,\,B$ ở cùng phía với mặt phẳng $\left( P \right)$

Lại có: $AB + BK \ge AK \ge AH \Rightarrow H \equiv K$.

Suy ra $A,\,B,\,H$ là ba điểm thẳng hàng và $B$ là trung điểm của $AH$ nên tọa độ $H\left( {5;\,6;\, - 1} \right)$.

Vậy mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $H\left( {5;\,6;\, - 1} \right)$ và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {2;\,2;\, - 1} \right)$là VTPT có nên phương trình

$2\left( {x - 5} \right) + 2\left( {y - 6} \right) - 1\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y - z - 23 = 0$.

Theo bài ra thì $\left( P \right):\, - 4x - 4y + 2z + 46 = 0$, nên $a = - 4,\,b = - 4,\,c = 2$.

Vậy $T = a + b + c = - 6$.

Trả lời: 8

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Phương trình mặt phẳng $\left( {AB'D'} \right)$ có dạng: $\frac{x}{{4a}} + \frac{y}{{2a}} + \frac{z}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 4a = 0$

Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $\left( {AB'D'} \right)$ bằng

$d\left( {C,\left( {AB'D'} \right)} \right) = \frac{{\left| {4a + 2.2a + 2.2a - 4a} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{8a}}{3}.$

Với $a = 3$ thì $d\left( {C,\left( {AB'D'} \right)} \right) = 8$.