Đề thi giữa kì 2 Toán 12 cấu trúc mới (có đáp án) - Đề 06

Đáp án đúng là: A

Vì ${\left( {\frac{{{x^8}}}{8} + C} \right)^\prime } = {x^7}$.

Đáp án đúng là: C

$\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C$.

Đáp án đúng là: A

$\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} \Rightarrow \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} = 5 - 3 = 2$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $1 \le f'\left( x \right) \le 4$ suy ra $\int\limits_2^5 {1dx} \le \int\limits_2^5 {f'\left( x \right)dx} \le \int\limits_2^5 {4dx}$$\Rightarrow 3 \le f\left( 5 \right) - f\left( 2 \right) \le 12$.

Đáp án đúng là: A

$S = \int\limits_{ - 3}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx = } \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_4^0 {f\left( x \right)dx}$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình hoành độ giao điểm $4x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.$.

Ta có $V = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {4x - {x^2}} \right)}^2}dx} = \frac{{512\pi }}{{15}}$.

Đáp án đúng là: D

Ta thấy $2.1 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) - 1 = 0$ nên $Q\left( {1; - 3; - 4} \right)$ thuộc $\left( P \right)$.

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x - y + 3z + 5 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1;3} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $AH = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - \left( { - 2} \right) - 2.3 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{3}{3} = 1$.

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có phương trình là $z = 0$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình cần tìm là $\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z + 3} \right) = 0$ hay $x - 2y + 3z + 12 = 0$.

Đáp án đúng là: C

$A\left( { - 1;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0; - 3} \right)$ lần lượt là hình chiếu của $M\left( { - 1;2; - 3} \right)$ trên các trục $Ox,Oy,Oz$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $\frac{x}{{ - 1}} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{ - 3}} = 1$.

a) S, b) Đ, c) S, d) S

a) Ta có $g'\left( x \right) = 12{e^{2x}}$. Do đó $g\left( x \right)$ không là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$.

b) $\int {g\left( x \right)} dx = \int {6{e^{2x}}} dx = \int {3{e^{2x}}} d\left( {2x} \right) = 3{e^{2x}} + C$.

c) $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int {\left[ {3{e^{2x}} - \ln 2 + 6{e^{2x}}} \right]dx} = \int {\left( {9{e^{2x}} - \ln 2} \right)dx}$$= \frac{9}{2}{e^{2x}} - x\ln 2 + C$.

d) $\int {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}dx} = \int {\frac{{3{e^{2x}} - \ln 2}}{{6{e^{2x}}}}dx} = \int {\left( {\frac{1}{2} - \frac{{\ln 2}}{{6{e^{2x}}}}} \right)dx}$$= \frac{1}{2}x + \frac{{\ln 2}}{{12{e^{2x}}}} + C$.

a) S, b) S, c) Đ, d) S

a) $\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{4}{x^2} + \sqrt x } \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{{12}} + \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^2$.

b) $\int\limits_1^2 {3f\left( x \right)dx} = 3\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{4}{x^2} + \sqrt x } \right)dx} = \left. {3\left( {\frac{{{x^3}}}{{12}} + \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^2 = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{4} + 2{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^2$.

c) $\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + x} \right]dx} = \int\limits_1^4 {\left( {\frac{1}{4}{x^2} + \sqrt x + x} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{{12}} + \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^4 = \frac{{209}}{{12}}$.

d) $S = \int\limits_1^3 {\left| {\frac{1}{4}{x^2} + \sqrt x } \right|dx} = \int\limits_1^3 {\left( {\frac{1}{4}{x^2} + \sqrt x } \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{{12}} + \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_1^3 = \frac{3}{2} + 2\sqrt 3 < 5$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) ${S_1} = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 4x - x} \right|} dx$$= \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|} dx$.

b) ${S_2} = \int\limits_0^4 {\left| {{x^2} - 4x} \right|dx} - {S_1}$.

c) ${S_2} = \int\limits_3^4 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|dx} + {S_{\Delta OAB}} = \int\limits_3^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} + \frac{1}{2}.3.3 = \int\limits_3^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} + \frac{9}{2}$.

(với $A\left( {3;0} \right),B\left( {3;3} \right)$).

d) $V = \pi \int\limits_0^3 {{x^2}dx} + \pi \int\limits_3^4 {{{\left( { - {x^2} + 4x} \right)}^2}dx} = 9\pi + \frac{{53\pi }}{{15}} = \frac{{188\pi }}{{15}} > 30$.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Mặt phẳng $x + 2y + 2z = 1$ có một vectơ pháp tuyến là $\left( {1;2;2} \right)$.

b) Thay tọa độ điểm $A\left( { - 1;4;2} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $x + 2y + 2z = 1$ ta được

$- 1 + 2.4 + 2.2 - 1 = 10 \ne 0$. Do đó điểm $A\left( { - 1;4;2} \right)$không thuộc mặt phẳng $x + 2y + 2z = 1$.

c) Mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ có phương trình $x = 0$.

Suy ra $d\left( {A,\left( {Oyz} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{1} = 1$.

d) Có $\overrightarrow {OA} = \left( { - 1;4;2} \right)$ và $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$.

Có $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow j } \right] = \left( { - 2;0; - 1} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng: $- 2\left( {x + 1} \right) - \left( {z - 2} \right) = 0$ hay $2x + z = 0$$\Leftrightarrow x + \frac{1}{2}z = 0$.

Suy ra $b = 0;c = \frac{1}{2}$. Do đó $b - 2{c^2} + 1 = 0 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 1 = \frac{1}{2} > 0$.

Trả lời: 3

Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\sin x - \cos x + \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx = - \cos x - \sin x + 2\tan x + C}$.

Mà $F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 2$. Do đó $F\left( x \right) = - \cos x - \sin x + 2\tan x + 2$.

Suy ra $F\left( \pi \right) = - \cos \pi - \sin \pi + 2\tan \pi + 2 = 3$.

Trả lời: −8

Có $F'\left( x \right) = \left( {2ax + b} \right)\sqrt {2x - 3} + \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{\sqrt {2x - 3} }}$$= \frac{{\left( {2ax + b} \right)\left( {2x - 3} \right) + a{x^2} + bx + c}}{{\sqrt {2x - 3} }}$

$= \frac{{5a{x^2} + \left( {3b - 6a} \right)x - 3b + c}}{{\sqrt {2x - 3} }}$.

Vì $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}5a = 20\\3b - 6a = - 30\\ - 3b + c = 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = - 2\\c = 1\end{array} \right.$. Do đó $P = abc = 4.\left( { - 2} \right).1 = - 8$.

Trả lời: 3,92

Vận tốc của viên đạn là $v\left( t \right) = \int { - 9{,}8dt} = - 9{,}8t + C$.

Vì $v\left( 0 \right) = 196$ nên $C = 196$. Do đó $v\left( t \right) = - 9{,}8t + 196$.

Khi viên đạn đạt độ cao lớn nhất thì viên đạn có vận tốc bằng 0.

Suy ra $- 9{,}8t + 196 = 0 \Leftrightarrow t = 20$.

Quãng đường viên đạn đi từ mặt đất đến vị trí cao nhất là

$s\left( t \right) = \int\limits_0^{20} {\left( { - 9{,}8t + 196} \right)dt} = 1960$(m)

Quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho tới khi rơi xuống đất là

$2.1960 = 3920$ m $= 3{,}92$ km.

Trả lời: 20,8

Chọn hệ trục tọa độ với $O$ là trung điểm của $MN$, trục hoành trùng với đường thẳng $MN$.

Giả sử $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\left( {a < 0} \right)$.

Vì $\left( P \right)$ đi qua $I\left( {0;6} \right),C\left( {6;0} \right),D\left( { - 6;0} \right)$.

Do đó ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}36a + 6b + c = 0\\36a - 6b + c = 0\\c = 6\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 1}}{6}\\b = 0\\c = 6\end{array} \right.$.

Do đó $\left( P \right):y = - \frac{1}{6}{x^2} + 6$.

Diện tích cần làm là $S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| { - \frac{1}{6}{x^2} + 6} \right|dx} = \frac{{208}}{9}$.

Số tiền cần dùng là:$\frac{{208}}{9}.900000 = 20800000$ đồng = 20,8 triệu đồng.

Trả lời: −4

Có $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {3; - 2;2} \right),\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {5; - 4;3} \right)$. Suy ra $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {2;1; - 2} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua gốc tọa độ nên $\left( P \right):2x + y - 2z = 0$.

Do đó $a = 2;c = - 2$. Vậy $ac = - 4$.

Trả lời: 18

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {AD} = \left( {0; - 1;0} \right),\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {1;0; - 1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {ABD} \right)$ đi qua $A\left( {1;0;1} \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow n = \left( {1;0; - 1} \right)$làm vectơ pháp tuyến có dạng

$\left( {x - 1} \right) - \left( {z - 1} \right) = 0$ hay $x - z = 0$.

Chiều cao của hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ chính là $d\left( {C',\left( {ABD} \right)} \right)$.

Ta có $d\left( {C',\left( {ABD} \right)} \right) = \frac{{\left| {4 - \left( { - 5} \right)} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{9\sqrt 2 }}{2}$. Suy ra $a = 9;b = 2$.

Vậy $ab = 18$.