Đề thi giữa kì 2 Toán 12 cấu trúc mới (có đáp án) - Đề 03

Đáp án đúng là: B

Ta có $\int {{x^2}dx} = \frac{1}{3}{x^3} + C$.

Đáp án đúng là: B

$\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} } + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x}$.

Đáp án đúng là: B

Có $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right) = 5$. Suy ra $\int\limits_0^2 {3f\left( x \right)dx} = 3\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 15$.

Đáp án đúng là: B

$S = \int\limits_2^4 {\left| x \right|dx}$.

Đáp án đúng là: A

$I = \int\limits_0^1 {{5^x}dx} = \left. {\frac{{{5^x}}}{{\ln 5}}} \right|_0^1 = \frac{5}{{\ln 5}} - \frac{1}{{\ln 5}} = \frac{4}{{\ln 5}}$.

Đáp án đúng là: D

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{\cos x}}.\sin x.dx} = - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{\cos x}}d\left( {\cos x} \right)} = \left. { - {e^{\cos x}}} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = e - 1$.

Đáp án đúng là: C

$\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;1;1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 3;m} \right)$.

Để $\left( P \right) \bot \left( Q \right)$ thì $\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 0 \Leftrightarrow 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).m = 0$$\Leftrightarrow m = - 8$.

Đáp án đúng là: D

$d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.\left( { - 2} \right) + 2.3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {29} }}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;2;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 4;4} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {8;16;16} \right) = 8\left( {1;2;2} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nhận vectơ có tọa độ $\left( {1;2;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB nhận $\overrightarrow {AB} \left( { - 1;1;0} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 2;2} \right)$, $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 1} \right)$.

Có $\overrightarrow {{n_Q}} = - \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {1;0;1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $B\left( { - 1;0;1} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0;1} \right)$ có phương trình là

$\left( {x + 1} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + z = 0$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Ta có $f'\left( x \right) = 2 + 3\sin x$.

b) $\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {2x - 3\cos x} \right)dx} = {x^2} - 3\sin x + C$.

c) Có $F\left( x \right) = {x^2} - 3\sin x + C$ mà $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^2} - 3\sin \frac{\pi }{2} + C = 3 \Leftrightarrow C = 6 - \frac{{{\pi ^2}}}{4}$.

Vậy $F\left( x \right) = {x^2} - 3\sin x + 6 - \frac{{{\pi ^2}}}{4}$.

d) Vì $f\left( x \right) = 2x - 3\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số $k\left( x \right).{e^x}$nên

$f'\left( x \right) = {\left( {2x - 3\cos x} \right)^\prime } = k\left( x \right).{e^x}$$\Leftrightarrow 2 + 3\sin x = k\left( x \right).{e^x}$$\Leftrightarrow k\left( x \right) = \frac{{2 + 3\sin x}}{{{e^x}}}$.

Suy ra $k'\left( x \right) = {\left( {\frac{{2 + 3\sin x}}{{{e^x}}}} \right)^\prime } = \frac{{\left( {3\cos x - 2 - 3\sin x} \right){e^x}}}{{{e^{2x}}}} = \frac{{3\cos x - 2 - 3\sin x}}{{{e^x}}}$.

Do đó $k'\left( x \right).{e^x} = 3\cos x - 2 - 3\sin x$.

Suy ra $\int {k'\left( x \right).{e^x}dx} = \int {\left( {3\cos x - 2 - 3\sin x} \right)} dx = 3\sin x - 2x + 3\cos x + C$.

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) $\int\limits_1^2 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} dx = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^2 {g\left( x \right)} dx$$= 5 - \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{11}}{2}$.

b) $\int\limits_1^3 {\left[ {g\left( x \right) + 2x + 3} \right]dx = 10}$$\Leftrightarrow \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx + \int\limits_1^3 {\left( {2x + 3} \right)dx = 10} }$

$\Leftrightarrow \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx + \left. {\left( {{x^2} + 3x} \right)} \right|_1^3 = 10}$$\Leftrightarrow \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx + 14 = 10}$$\Leftrightarrow \int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx = - 4}$.

c) $\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{3}} {{e^{3x}}dx} = \left. {\frac{{{e^{3x}}}}{3}} \right|_0^{\frac{1}{3}} = \frac{e}{3} - \frac{1}{3}$.

Mà $\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {{e^{3x}}dx} = F\left( {\frac{1}{3}} \right) - F\left( 0 \right)$ nên $F\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{e}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{e}{3}$.

d) $\int\limits_3^5 {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}dx} = \int\limits_3^5 {\frac{{2x + 1}}{{x - 2}}dx} = \int\limits_3^5 {\frac{{2\left( {x - 2} \right) + 5}}{{x - 2}}dx}$$= \int\limits_3^5 {2dx} + \int\limits_3^5 {\frac{5}{{x - 2}}dx}$

$= \left. {\left( {2x + 5\ln \left| {x - 2} \right|} \right)} \right|_3^5$$= 10 + 5\ln 3 - 6 = 4 + 5\ln 3$.

Do đó $a = 4;b = 5;c = 3$. Suy ra $a + b + c = 12$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

Xét hàm số $y = f\left( x \right)$ ta có $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 3\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\; - 3 \le x \le - 1\\2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\; - 1 < x \le 1\\ - 2x + 4\;\;{\rm{khi}}\;1 < x \le 3\end{array} \right.$.

a) ${S_H} = \int\limits_{ - 3}^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$.

b) Với $x \in \left[ {2;3} \right]$ thì $- 2x + 4 < 0$ nên ${S_2} = \int\limits_2^3 {\left| { - 2x + 4} \right|dx} = \left| {\int\limits_2^3 {\left( { - 2x + 4} \right)dx} } \right| = 1$.

c) Ta có ${S_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$$= \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( {x + 3} \right)dx + \int\limits_{ - 1}^1 {2dx} + \int\limits_1^2 {\left( { - 2x + 4} \right)dx} }$.

d) ${S_H} = \int\limits_{ - 3}^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = {S_1} + {S_2} = {S_1} - \int\limits_2^3 {\left( { - 2x + 4} \right)dx}$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Vì $0 - 2.0 + 2.0 - 7 = - 7 \ne 0$ nên mặt phẳng $\left( P \right)$ không đi qua gốc tọa độ.

b) Mặt phẳng $\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

c) Vì $\left( Q \right)//\left( P \right)$ nên $\left( Q \right)$ có dạng $x - 2y + 2z + D = 0\left( {D \ne - 7} \right)$.

Vì $d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = 3$ nên

$\frac{{\left| {2 - 2.\left( { - 3} \right) + 2.4 + D} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3$$\Leftrightarrow \left| {16 + D} \right| = 9$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}16 + D = 9\\16 + D = - 9\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D = - 7\left( {KTM} \right)\\D = - 25\left( {TM} \right)\end{array} \right.$.

Vậy $\left( Q \right):x - 2y + 2z - 25 = 0$.

Thay tọa độ điểm $N\left( {7;0;0} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):7 - 2.0 + 2.0 - 25 = - 18 \ne 0$.

Vậy $\left( Q \right)$ không đi qua điểm $N\left( {7;0;0} \right)$.

d) $\left( Q \right):x - 2y + 2z - 25 = 0$.

Suy ra $b = - 2;c = 2;d = - 25$. Do đó $2.{\left( { - 2} \right)^2} + 2 + 25 = 35$là số tự nhiên không chia hết cho 8.

Trả lời: 10

$\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 2x} \right]dx}$$= \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {2xdx}$$= 2 + \left. {{x^2}} \right|_1^3 = 2 + 9 - 1 = 10$.

Trả lời: 9

Ta có $F'\left( x \right) = a.{e^x} + \left( {ax + 2b} \right){e^x} = \left( {a + ax + 2b} \right){e^x}$.

Mà $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\a + 2b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.$.

Do đó ${a^2} + 2{b^2} = 1 + {2.2^2} = 9$.

Trả lời: 9

Gọi ${t_1}$ là thời điểm khí cầu tiếp đất

Theo đề ta có $\int\limits_0^{{t_1}} {\left( {10t - {t^2}} \right)dt} = 162$$\Leftrightarrow \left. {\left( {5{t^2} - \frac{{{t^3}}}{3}} \right)} \right|_0^{{t_1}} = 162$

$\Leftrightarrow 5t_1^2 - \frac{{t_1^3}}{3} = 162$$\Leftrightarrow {t_1} = 9$ (do $v\left( t \right) > 0$).

Vậy vận tốc khi khí cầu tiếp đất là $v\left( 9 \right) = 10.9 - {9^2} = 9\left( {{\rm{m/p}}} \right)$.

Trả lời: 29

Xét một thiết diện parabol có chiều cao là $h$ và độ dài đáy $2h$ và chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ bên

Parabol $\left( P \right)$ có phương trình $\left( P \right):y = a{x^2} + h\left( {a < 0} \right)$.

Có $B\left( {h;0} \right) \in \left( P \right)$$\Leftrightarrow 0 = a{h^2} + h \Leftrightarrow a = - \frac{1}{h}$ (do $h > 0$).

Diện tích $S$ của thiết diện $S = \int\limits_{ - h}^h {\left( { - \frac{1}{h}{x^2} + h} \right)dx} = \frac{{4{h^2}}}{3}$, kết hợp với chiểu cao $h = 3 - \frac{2}{5}x$ ta được diện tích thiết diện là $S\left( x \right) = \frac{4}{3}{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2}$.

Thể tích không gian bên trong của đường hâm mô hình là:

$V = \int\limits_0^5 {S\left( x \right)dx} = \int\limits_0^5 {\frac{4}{3}{{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)}^2}dx} \approx 29\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$ .

Vậy $V \approx 29\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$.

Trả lời: 36

Giả sử $A\left( {m;0;0} \right),B\left( {0;n;0} \right),C\left( {0;0;p} \right)$.

Vì $M$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{array}{l}m = 3\\n = 6\\p = 9\end{array} \right.$.

Do đó mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có dạng $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$$\Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 18 = 0$.

Suy ra $a = 6;b = 3;c = 2$. Do đó $a.b.c = 18.2 = 36$.

Trả lời: 18

Theo giả thiết ta có $a > 0,b > 0,c > 0$ và ${V_{OABC}} = \frac{1}{6}abc$.

Ta có phương trình đoạn chắn mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

Vì $M \in \left( P \right)$ nên $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$.

Áp dụng bất đẳng thức côsi cho ba số ta có $1 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{abc}}}} \Rightarrow abc \ge 27$.

Do đó ${V_{OABC}} = \frac{1}{6}abc \ge \frac{9}{2}$. Đăng thức xảy ra khi $a = b = c = 3$.

Do đó $a + 2b + 3c = 18$.