Đề thi giữa kì 2 Toán 12 cấu trúc mới (có đáp án) - Đề 02

Đáp án đúng là: C

Ta có $\int {f(x)dx = } F(x) + C \Leftrightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ nên phương án A, B, D đúng.

Đáp án đúng là: C

$\int {2f(x)dx = } 2F(x) + C$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\int\limits_{ - 1}^2 {f'\left( x \right)} dx = \left. {f\left( x \right)} \right|_{ - 1}^2 = f\left( 2 \right) - f\left( { - 1} \right) = - 1 - 8 = - 9.$

Đáp án đúng là: A

$\int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx}$$= \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} - 2\int\limits_0^2 {g\left( x \right)dx}$$= 3 - 2\left( { - 3} \right) = 9$.

Đáp án đúng là: A

$V = \int\limits_0^{\ln 4} {x{e^x}dx} .$

Đáp án đúng là: B

$S = \int\limits_0^1 {\left| {2{x^2} + 1} \right|dx}$$= \int\limits_0^1 {\left( {2{x^2} + 1} \right)dx}$$= \left. {\left( {\frac{{2{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_0^1$$= \frac{5}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $1 - 2.1 + 6 - 5 = 0$ nên $M\left( {1;1;6} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$.

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + 3z + 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\left( {1; - 2;3} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A\left( {1;2; - 3} \right)$có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)$ là

$2\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 2} \right) + 3\left( {z + 3} \right) = 0$ hay $2x - y + 3z + 9 = 0$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {MN} = \left( {0;3; - 1} \right),\overrightarrow {MP} = \left( { - 1;2;0} \right)$.

Có $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {2;1;3} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Điểm đối xứng với $A$ qua trục $Oy$ có tọa độ là$\left( { - 2;3; - 4} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng $\left( Q \right):x + y + 3z = 0,\left( R \right):2x - y + z = 0$ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1;3} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1;1} \right)$.

Vì $\left( P \right)$ vuông góc với hai mặt phẳng $\left( Q \right)$, $\left( R \right)$ nên $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {4;5; - 3} \right)$.

Ta lại có $\left( P \right)$ đi qua điểm $B\left( {2;1; - 3} \right)$ nên $\left( P \right):4\left( {x - 2} \right) + 5\left( {y - 1} \right) - 3\left( {z + 3} \right) = 0$ hay $4x + 5y - 3z - 22 = 0$.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Hàm số $y = f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f'\left( x \right)$.

b) Ta có $\int {f'\left( x \right)} dx = \int {\left( {8{x^3} + \sin x} \right)dx} = 2{x^4} - \cos x + {C_1}$.

Vì $f\left( 0 \right) = 3 \Rightarrow {C_1} = 4$. Do đó $f\left( x \right) = 2{x^4} - \cos x + 4$.

c) $\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {2{x^4} - \cos x + 4} \right)} dx = \frac{{2{x^5}}}{5} - \sin x + 4x + C$.

d) Có $F\left( x \right) = \frac{{2{x^5}}}{5} - \sin x + 4x + C$ và $F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow C = 2$.

Do đó $F\left( x \right) = \frac{{2{x^5}}}{5} - \sin x + 4x + 2$. Vậy $F\left( 1 \right) = \frac{{32}}{5} - \sin 1$.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) $\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_0^\pi {\sin 2xdx}$$= \left. {\left( { - \frac{{\cos 2x}}{2}} \right)} \right|_0^\pi$$= - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$.

b) Ta có $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x} dx = F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1 + F\left( 0 \right) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - f\left( x \right)} \right)dx = }$$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} }$$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} }$$= 1 - 1 = 0$.

d) $\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$$= 2\int\limits_0^\pi {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$$= 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} - 2\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {f\left( x \right)dx}$$= 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} - 2\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\sin 2xdx}$

$= 2 + 2 = 4$.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

Ta có: ${V_1} = \pi \int\limits_0^4 {{{(\sqrt x )}^2}} \;{\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^4 x \;{\rm{d}}x = 8\pi$; ${V_2} = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\frac{1}{2}\sqrt x } \right)}^2}} \;{\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^4 {\frac{1}{4}x} \;{\rm{d}}x = 2\pi$.

Khi đó, ${V_1} - {V_2} = 6\pi$. Vậy thể tích của vật thể ${\rm{A}}$ là $6\pi \approx 18{,}8\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Thay tọa độ điểm $M\left( {2;1;3} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right):2x - y - 2z + 19 = 0$ ta được $2.2 - 1 - 2.3 + 19 = 16 \ne 0$.

Do đó $\left( P \right):2x - y - 2z + 19 = 0$ không đi qua điểm $M\left( {2;1;3} \right)$.

b) Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1; - 2} \right)$, $\overrightarrow {{n_{P'}}} = \left( {2; - 1; - 2} \right)$.

Do $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_{P'}}} \\1 \ne 19\end{array} \right.$ nên $\left( P \right)//\left( {P'} \right)$.

c) $d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {19} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{19}}{3} > 6$.

d) Vì $\left( Q \right)//\left( P \right)$ nên mặt phẳng $\left( Q \right)$ có dạng: $2x - y - 2z + D = 0\left( {D \ne 19} \right)$.

Ta có $A\left( {0;19;0} \right) \in \left( P \right)$ nên $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 19 + D} \right|}}{3} = 5$

$\Leftrightarrow \left| { - 19 + D} \right| = 15$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 19 + D = 15\\ - 19 + D = - 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D = 34\\D = 4\end{array} \right.$.

TH1: $\left( Q \right):2x - y - 2z + 34 = 0$

Có $d\left( {O,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {34} \right|}}{3} = \frac{{34}}{3}$.

TH2: $\left( Q \right):2x - y - 2z + 4 = 0$

Có $d\left( {O,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| 4 \right|}}{3} = \frac{4}{3}$.

Trả lời: 7

$\int\limits_1^3 {\left( {x + \frac{2}{x}} \right)dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 2\ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^3} = \frac{9}{2} + 2\ln 3 - \frac{1}{2} = 4 + 2\ln 3$.

Suy ra $a = 4;b = 3$. Do đó $a + b = 7$.

Trả lời: 7

Có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\cos 2xdx} = \frac{1}{2}\sin 2x + C.$

Vì $F\left( \pi \right) = 1$ nên $\frac{1}{2}\sin 2\pi + C = 1 \Leftrightarrow C = 1$.

Do đó $F\left( x \right) = \frac{1}{2}\sin 2x + 1$.

Phương trình $F\left( x \right) = 1$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 2x + 1 = 1$$\Leftrightarrow \sin 2x = 0$$\Leftrightarrow 2x = k\pi$$\Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}$.

Vì $x \in \left[ {0;3\pi } \right]$ nên $x = 0;x = \frac{\pi }{2};x = \pi ;x = \frac{{3\pi }}{2};x = 2\pi ;x = \frac{{5\pi }}{2},x = 3\pi$.

Trả lời: 12,5

Quãng đường anh nhìn thấy chướng ngại vật trước khi hãm phanh là ${S_1} = 2{v_0}\left( {\rm{m}} \right)$.

Vận tốc kể từ khi hãm phanh là $v\left( t \right) = \int { - 6dt} = - 6t + C$.

Mà $v\left( 0 \right) = {v_0}$ nên $v\left( t \right) = - 6t + {v_0}$.

Quãng đường anh đi được trong 3 giây đầu tiên kể từ lúc hãm phanh là

${S_2} = \int\limits_0^3 {\left( { - 6t + {v_0}} \right)} dt = \left. {\left( { - 3{t^2} + {v_0}t} \right)} \right|_0^3 = - 27 + 3{v_0}$.

Vì ${S_1} + {S_2} = 35{,}5$ nên $5{v_0} - 27 = 35{,}5 \Leftrightarrow {v_0} = 12{,}5\;{\rm{m/s}}$.

Trả lời: 40

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là m, chiều rộng là n $\left( {m > n > 0} \right)$.

Ta có diện tích hình chữ nhật là $s = mn = 200$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho đỉnh của parabol là $I\left( {0;n} \right)$. Parabol đi qua hai điểm $A\left( { - \frac{m}{2};0} \right)$ và $B\left( {\frac{m}{2};0} \right)$.

Do đó parabol có dạng $y = - \frac{{4n}}{{{m^2}}}{x^2} + n$.

Vậy phần diện tích trồng cỏ là $S = 2\int\limits_0^{\frac{m}{2}} {\left( { - \frac{{4n}}{{{m^2}}}{x^2} + n} \right)dx} = \frac{{2mn}}{3}$.

Vậy số tiền trồng cỏ cần là: $\frac{{2mn}}{3}.300000 = \frac{{2.200}}{3}.300000 = 40000000 = 40$ triệu đồng.

Trả lời: 7

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $M,N,P$lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A\left( {2; - 3;1} \right)$ lên các mặt phẳng tọa độ $\left( {Oxy} \right),\left( {Oxz} \right),\left( {Oyz} \right)$.

Khi đó, $M\left( {2; - 3;0} \right),N\left( {2;0;1} \right),P\left( {0; - 3;1} \right)$.

$\overrightarrow {MN} = \left( {0;3;1} \right),\overrightarrow {MP} = \left( { - 2;0;1} \right)$.

$\left( {MNP} \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {3; - 2;6} \right)$.

Mặt khác, $\left( {MNP} \right)$ đi qua $M\left( {2; - 3;0} \right)$ nên có phương trình là:

$3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 3} \right) + 6\left( {z - 0} \right) = 0$ hay $3x - 2y + 6z - 12 = 0$.

Suy ra $a = 3;b = - 2;c = 6$. Do đó $a + b + c = 7$.

Trả lời: 2

Gọi $C\left( {0;y;0} \right) \in Oy$ với $y > 0$.

Ta có $OA = 1,OB = 2,OC = y$ và $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc.

Suy ra ${V_{OABC}} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{3}y$.

Theo đề ta có $\frac{1}{3}y = 2 \Leftrightarrow y = 6 \Rightarrow C\left( {0;6;0} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{6} + \frac{z}{2} = 1$.

Điểm $S\left( { - 1;6;m} \right)$ thuộc $\left( P \right)$ $\Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{1} + \frac{6}{6} + \frac{m}{2} = 1 \Leftrightarrow m = 2$.