Đề thi giữa kì 2 Toán 12 cấu trúc mới (có đáp án) - Đề 01

Đáp án đúng là: C

Ta có $\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C$.

Đáp án đúng là: D

$T = \int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_a^b = f\left( b \right) - f\left( a \right) = - 4 - \left( { - 2} \right) = - 2$.

Đáp án đúng là: D

$V = \pi \int\limits_1^3 {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx}$.

Đáp án đúng là: A

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2x + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)dx = {x^2} - \frac{3}{x}} + C$.

Đáp án đúng là: B

$I = \int\limits_0^{2018} {{2^x}dx} = \left. {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right|_0^{2018} = \frac{{{2^{2018}}}}{{\ln 2}} - \frac{1}{{\ln 2}} = \frac{{{2^{2018}} - 1}}{{\ln 2}}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $V = \pi \int\limits_1^4 {\frac{{{x^2}}}{{16}}dx} = \frac{{21\pi }}{{16}}$.

Đáp án đúng là: A

$\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;0; - 3} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Đáp án đúng là: A

Thay tọa độ điểm $M\left( {1;2;3} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ ta thấy thỏa mãn. Do đó điểm $M\left( {1;2;3} \right)$ thuộc vào mặt phẳng $\left( P \right)$.

Đáp án đúng là: D

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 + 2.\left( { - 3} \right) - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{11}}{3}$.

Đáp án đúng là: C

$\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {2;1; - 2} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; - 2;3} \right)$, $\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {2; - 4;6} \right) = 2\left( {1; - 2;3} \right) = 2\overrightarrow {{n_\alpha }}$ và $1 \ne 2.1$ nên $\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)$.

Đáp án đúng là: D

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Khi đó $I\left( {1;1;1} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {4;2; - 2} \right) = 2\left( {2;1; - 1} \right)$.

Mặt phẳng trung trực của $AB$ đi qua $I\left( {1;1;1} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {2;1; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có dạng: $2\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) - \left( {z - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x + y - z - 2 = 0$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) $F\left( 1 \right) = {1^3} - {3.1^2} + 2.1 = 0$.

b) $\int {F\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x} \right)} dx = \frac{{{x^4}}}{4} - {x^3} + {x^2} + C$.

c) $f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + 2$.

d) Nếu $G\left( x \right)$ cũng là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ thì tồn tại một hằng số C sao cho $G\left( x \right) = F\left( x \right) + C$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) $\int\limits_0^{ - 3} {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} = 4$.

b) $\int\limits_{ - 3}^0 { - 3f\left( x \right)dx} = - 3\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} = 12$.

c) $\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right)dx} = - 4 + \left( { - 3} \right) = - 7$.

d) $\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) + 3x} \right]dx} = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_{ - 3}^0 {3xdx}$$= - 4 + \left. {\frac{3}{2}{x^2}} \right|_{ - 3}^0$$= - 4 - \frac{{27}}{2} = - \frac{{35}}{2}$.

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Hình phẳng đó giới hạn bởi bốn đường $y = {e^x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = - 1;x = 1.$

b) Diện tích hình phẳng $S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {{e^x}dx}$.

c) Ta có $S = \int\limits_{ - 1}^1 {{e^x}dx} = \left. {{e^x}} \right|_{ - 1}^1 = e - \frac{1}{e}$.

d) Ta có thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục $Ox$ là

$V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}dx} = \left. {\frac{\pi }{2}{e^{2x}}} \right|_{ - 1}^1 = \frac{1}{2}\pi \left( {{e^2} - \frac{1}{{{e^2}}}} \right)$.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3;2; - 4} \right)$.

b) Thay tọa độ điểm $A\left( { - 1; - 1; - 1} \right)$ vào mặt phẳng $\left( P \right)$ ta có $3.\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 1} \right) - 4.\left( { - 1} \right) + 1 = 0$.

Do đó $A\left( { - 1; - 1; - 1} \right)$ là một điểm nằm trên $\left( P \right)$.

c) Vì $\left( Q \right)$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ nên $\left( Q \right)$ có phương trình $3x + 2y - 4z + D = 0\left( {D \ne 1} \right).$

Vì mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $B\left( {1;2;3} \right)$ nên $3.1 + 2.2 - 4.3 + D = 0$$\Leftrightarrow D = 5$.

Vậy $\left( Q \right):3x + 2y - 4z + 5 = 0$.

d) $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 1} \right) - 4.\left( { - 1} \right) + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {29} }}$.

Trả lời: 5

Ta có $f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\frac{1}{{x - 1}}dx = \ln \left| {x - 1} \right| + C} = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {x - 1} \right) + {C_1}\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\\ln \left( {1 - x} \right) + {C_2}\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.$.

Ta có $f\left( 0 \right) = 2 \Leftrightarrow {C_2} = 2$; $f\left( 4 \right) = 3 \Leftrightarrow \ln \left( {4 - 1} \right) + {C_1} = 3 \Leftrightarrow {C_1} = 3 - \ln 3$.

Do đó $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {x - 1} \right) + 3 - \ln 3\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\\ln \left( {1 - x} \right) + 2\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.$.

Do đó $f\left( { - 2} \right) = \ln 3 + 2;f\left( 2 \right) = 3 - \ln 3$. Suy ra $f\left( { - 2} \right) + f\left( 2 \right) = 5$.

Trả lời: 675

$\int\limits_0^1 {f\left( {3x + 2} \right)} dx = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {f\left( {3x + 2} \right)} d\left( {3x + 2} \right)$$= \frac{1}{3}\int\limits_2^5 {f\left( t \right)} dt$$= \frac{1}{3}\int\limits_2^5 {f\left( x \right)} dx$$= \frac{1}{3}.2025 = 675$.

Trả lời: 36

Dựng hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ

Phần phía trên cổng $\left( P \right)$ có dạng $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$.

Vì $\left( P \right)$ đi qua điểm $I\left( {0;2{,}5} \right),A\left( { - 3;0} \right),B\left( {3;0} \right)$ nên ta có hệ

$\left\{ \begin{array}{l}9a + 3b + c = 0\\9a - 3b + c = 0\\c = 2{,}5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{5}{{18}}\\b = 0\\c = 2{,}5\end{array} \right.$.

Do vậy $\left( P \right):y = - \frac{5}{{18}}{x^2} + 2{,}5$.

Diện tích phần phía trên cổng là ${S_1} = \int\limits_{ - 3}^3 {\left| { - \frac{5}{{18}}{x^2} + 2{,}5} \right|dx = 10} \left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Diện tích phần phía dưới là ${S_2} = 4.6 = 24\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Số tiền phải trả là $10.1200000 + 24.1000000 = 36000000$ đồng = 36 triệu đồng.

Trả lời: 1334

Ta có $P\left( x \right) = \int {P'\left( x \right)dx} = \int {\left( {16 - 0{,}02x} \right)dx} = 16x - 0{,}01{x^2} + C$.

Vì $P\left( 0 \right) = - 25$ nên $C = - 25$.

Do đó $P\left( x \right) = 16x - 0{,}01{x^2} - 25$.

Khi đó $P\left( {90} \right) = 16.90 - {0{,}01.90^2} - 25 = 1334$ (triệu đồng).

Trả lời: −5

Có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 3;2} \right)$, $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)$.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {0;8;12} \right) = 4\left( {0;2;3} \right)$.

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $A\left( {2;4;1} \right)$ nhận vectơ $\overrightarrow n = \left( {0;2;3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $2\left( {y - 4} \right) + 3\left( {z - 1} \right) = 0$ hay $- 2y - 3z + 11 = 0$.

Do đó $a = 0;b = - 2;c = - 3$. Vậy $a + b + c = - 5$.

Trả lời: −10

Xét ba điểm $A\left( {1;1;10} \right)$, $B\left( {4;3;1} \right)$ và $C\left( {3;2;5} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {AB} = \left( {3;2; - 9} \right)$ và $\overrightarrow {AC} = \left( {2;1; - 5} \right)$.

Suy ra $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&{ - 9}\\1&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 9}&3\\{ - 5}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&2\\2&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1; - 3; - 1} \right)$.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 3; - 1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nên phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là

$\left( { - 1} \right).\left( {x - 1} \right) + \left( { - 3} \right).\left( {y - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( {z - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y + z - 14 = 0$.

Suy ra $m = 3$, $n = 1$, $p = - 14$. Vậy $m + n + p = - 10$.