Đề thi giữa kì 1 Toán 9 năm 2025-2026 THCS Hoàng Hoa Thám (Hà Nội) có đáp án

1) $- 3\left( {x + 2} \right) - 24 \ge 7x$.

$\begin{array}{l} - 3x - 6 - 24 \ge 7x\\ - 3x - 7x \ge 6 + 24\\ - 10x \ge 30\\x \le - 10\end{array}$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $x \le - 10$.

2) $5\left( {x + 2} \right) + \left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) = 0$.

$$\begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)\left( {5 + x - 2} \right) = 0\\\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\end{array}$$

$x + 2 = 0$ hoặc $x + 3 = 0$

$x = - 2$ hoặc $x = - 3$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x \in \left\{ { - 2; - 3} \right\}.$.

3) $\frac{{x + 1}}{{x - 3}} - \frac{{x - 1}}{x} = \frac{7}{{{x^2} - 3x}}$. (Điều kiện: $x \ne 0$ và $x \ne 3$ )

$\begin{array}{l}\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{7}{{x\left( {x - 3} \right)}}\\{x^2} + x - \left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = 7\\{x^2} + x - {x^2} + 4x - 3 - 7 = 0\\5x = 10\\x = 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {{\rm{tm}}} \right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 2$.

4) $\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 5\\5x + 2y = 23\end{array} \right.$.

$\left\{ \begin{array}{l}6x - 2y = 10\\5x + 2y = 23\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}11x = 33\\5x + 2y = 23\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\5.3 + 2y = 23\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\2y = 8\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {3;4} \right)$.

Gọi số chiếc bút mà An có thể mua là $x$ (chiếc, x là số nguyên dương).

Số tiền mua bút là $8\,\,000x$ (đồng).

Tổng số tiền mà An có thể mua đồ dùng là: $8\,\,000x + 45\,\,000$ (đồng).

Mà An có $100\,\,000$ đồng nên có bất phương trình:

$\begin{array}{l}8\,000x + 45\,000 \le 100\,000\\8\,000x \le 55\,000\\x \le 6{,}875\end{array}$

Vậy An có thể mua tối đa $6$ chiếc bút.

Gọi thời gian vòi 1, vòi 2 chảy một mình đầy bể lần lượt là $x,y$ (giờ) điều kiện: $x,y > 3$

Mỗi giờ vòi 1 chảy được: $\frac{1}{x}$ bể

Mỗi giờ vòi 1 chảy được: $\frac{1}{y}$ bể

Vì 1 giờ hai vòi chảy được $\frac{1}{3}$ bể nên ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}\left( 1 \right)$

Vòi 1 chảy trong 20 phút $= \frac{1}{3}$ giờ được $\frac{1}{{3x}}$ (bể)

Vòi 2 chảy trong 30 phút $= \frac{1}{2}$ giờ được $\frac{1}{{2y}}$ (bể)

Do cả hai vòi chảy được $\frac{1}{8}$ bể nên ta có phương trình: $\frac{1}{{3x}} + \frac{1}{{2y}} = \frac{1}{8}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}\\\frac{1}{{3x}} + \frac{1}{{2y}} = \frac{1}{8}\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{3x}} + \frac{1}{{3y}} = \frac{1}{9}\\\frac{1}{{3x}} + \frac{1}{{2y}} = \frac{1}{8}\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}\\\frac{1}{{6y}} = \frac{1}{{72}}\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 12\end{array} \right.$ (TMĐK)

Vậy thời gian vòi 1, vòi 2 chảy một mình đầy bể lần lượt là 4 (giờ); 12 (giờ)

$A = {\rm{sin}}15^\circ - {\rm{cos}}64^\circ + {\rm{sin}}26^\circ - {\rm{cos}}75^\circ + 5$

$= {\rm{sin}}15^\circ - {\rm{sin}}26^\circ + {\rm{sin}}26^\circ - {\rm{sin}}15^\circ + 5$

$= 5.$

Gọi chiều cao cái tháp là $AB$.

Khoảng cách của hai người bên kia sông đến chân tháp lần lượt là $BC$ và $BD$.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có: $BC = AB.\cot C = 17.\cot 60^\circ = \frac{{17\sqrt 3 }}{3}\,\left( {\rm{m}} \right)$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$ có: $BD = AB.\cot D = 17.\cot 30^\circ = 17\sqrt 3 \,\left( {\rm{m}} \right)$

Khi đó $DC = BD - BC = 17\sqrt 3 - \frac{{17\sqrt 3 }}{3} \approx 20\,\left( {\rm{m}} \right)$

Vậy khoảng cách giữa hai điểm quan sát khoảng 20 m.

a) Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ$

Hay $\widehat {ABC} + 30^\circ = 90^\circ$

Suy ra $\widehat {ABC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Ta có $\sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}}$ hay $\sin 30^\circ = \frac{{AB}}{{20}} = \frac{1}{2}$ nên $AB = 10$ (cm);

${\rm{cos}}\widehat {ACB} = \frac{{AC}}{{BC}}$ hay ${\rm{cos}}\,30^\circ = \frac{{AC}}{{20}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ nên $AC = 10\sqrt 3 \left( {{\rm{cm}}} \right)$.

b) Xét $\Delta ADH$ và $\Delta AHB$ có:

$\widehat {ADH} = \widehat {AHB} = 90^\circ$ và $\widehat {DAH}$ là góc chung

Do đó $ΔADH∽ΔAHB$ (g.g).

Suy ra $\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}$ nên $A{H^2} = AD \cdot AB.$ (1)

Xét $\Delta AEH$ và $\Delta AHC$ có:

$\widehat {AEH} = \widehat {AHC} = 90^\circ$ và $\widehat {EAH}$ là góc chung

Do đó $ΔAEH∽ΔAHC$ (g.g).

Suy ra $\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}$ nên $A{H^2} = AC \cdot AE.$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $AD.AB = AE.AC$.

c) Xét $\Delta IBA$ và $\Delta ABM$ có:

$\widehat I = \widehat A = 90^\circ$, $\widehat {MBA}$ là góc chung

Do đó $ΔIBA∽ΔABM$ (g.g).

Suy ra $\widehat {AMB} = \widehat {IAB}$ nên $\sin \widehat {AMB} = \sin \widehat {IAB} = \frac{{BI}}{{AB}}$. $\left( 3 \right)$

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}}$. $\left( 4 \right)$

Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ suy ra: $\sin \widehat {AMB}.\sin \widehat {ACB} = \frac{{BI}}{{AB}}.\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BI}}{{BC}}$. $\left( * \right)$

Xét $\Delta HBA$ và $\Delta ABC$ có :

$\widehat H = \widehat A = 90^\circ$, $\widehat {ABC}$ là góc chung

Do đó $ΔHBA∽ΔABC$ (g.g).

Suy ra $\frac{{HB}}{{AB}} = \frac{{BA}}{{CB}}$ nên $A{B^2} = BH.BC$ (5)

Mặt khác, từ $ΔIBA∽ΔABM$ suy ra $\frac{{AB}}{{BM}} = \frac{{BI}}{{AB}}$ nên $A{B^2} = BI.BM$ $\left( 6 \right)$

Từ $\left( 5 \right)$ và $\left( 6 \right)$ suy ra: $BI.BM = A{B^2} = BH.BC$ nên $\frac{{BI}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BM}}$.

Xét $\Delta BIH$ và $\Delta BCM$ có:

$\frac{{BI}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BM}}$ (cmt) và $\widehat {CBM}$ là góc chung

Do đó $ΔBIH∽ΔBCM$ (c.g.c).

Suy ra $\frac{{BI}}{{BC}} = \frac{{HI}}{{MC}}$ $\left( {**} \right)$.

Từ $\left( * \right)$ và $\left( {**} \right)$ suy ra: $\sin \widehat {AMB}.\sin \widehat {ACB} = \frac{{HI}}{{CM}}$.

Gọi số lần giảm giá $1\,000$ đồng là $x$ (lần), $x \in \mathbb{N}$.

Giá bán mới cho mỗi quả bưởi là : $50\,000 - 1\,000\,x$ (đồng).

Số lượng quả bưởi bán ra mỗi ngày sau giảm giá là : $40 + 10x$ (quả).

Lợi nhuận trên mỗi quả bưởi là : $50\,000 - 1\,000\,x - 30\,000 = 20\,000 - 1\,000\,x$ (đồng).

Tổng lợi nhuận là $\left( {20\,000 - 1\,000\,x} \right)\left( {40 + 10x} \right)$ (đồng).

Ta có:

$\left( {20\,000 - 1\,000\,x} \right)\left( {40 + 10x} \right)$

$= - 10\,000{x^2} + 160\,000x + 800\,000$

$= - 10\,000\left( {{x^2} - 16x - 80} \right)$

$= - 10\,000\left[ {{{\left( {x - 8} \right)}^2} - 144} \right] \le 1\,440\,000$

Dấu xảy ra khi $x = 8$.

Vậy để thu được lợi nhuận cao nhất thì cần giảm giá $8$ lần, khi đó giá bán 1 quả bưởi là

$50\,000 - 1\,000\,.8 = 42\,000$ (đồng).