Đề thi giữa kì 1 Toán 8 THCS Phú Diễn A (Hà Nội) năm 2023-2024 (có đáp án)

a) Thay $x = - 2\,;{\rm{ }}y = 1$ vào biểu thức $A$ ta có

$A = \frac{1}{2} \cdot {\left( { - 2} \right)^2} \cdot {1^5} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2$

Vậy tại $x = - 2\,;{\rm{ }}y = 1$ thì $A = 2$.

b) Xác định $M$ để $M + \left( {5{x^2} - 2xy} \right) = 6{x^2} + 9xy - {y^2}$.

Ta có $M + \left( {5{x^2} - 2xy} \right) = 6{x^2} + 9xy - {y^2}$

Suy ra $M = 6{x^2} + 9xy - {y^2} - \left( {5{x^2} - 2xy} \right)$

$= 6{x^2} + 9xy - {y^2} - 5{x^2} + 2xy$

$= \left( {6{x^2} - 5{x^2}} \right) + \left( {9xy + 2xy} \right) - {y^2}$

$= {x^2} + 11xy - {y^2}$.

c) $\left( {8x + 2} \right)\left( {1 - 3x} \right) + \left( {6x - 1} \right)\left( {4x - 10} \right) = - 50$.

$\left( {8x + 2 - 24{x^2} - 6x} \right) + \left( {24{x^2} - 60x - 4x + 10} \right) = - 50$

$\left( {2x + 2 - 24{x^2}} \right) + \left( {24{x^2} - 64x + 10} \right) = - 50$

$2x + 2 - 24{x^2} + 24{x^2} - 64x + 10 = - 50$

$$\left( {24{x^2} - 24{x^2}} \right) + \left( {2x - 64x} \right) + \left( {10 + 2} \right) = - 50$$

$- 62x + 12 = - 50$

$x = 1$.

Vậy $x = 1$.

a) Ta có $A = x\left( {2x - 3} \right) + 2{x^2}\left( {x - 2} \right) - 2x\left( {{x^2} - x + 1} \right) + \left( {5{x^2} - 5x} \right):x$

$= \left( {2{x^2} - 3x} \right) + \left( {2{x^3} - 4{x^2}} \right) - \left( {2{x^3} - 2{x^2} + 2x} \right) + \left( {5x - 5} \right)$
$= 2{x^2} - 3x + 2{x^3} - 2{x^3} - 4{x^2} + 2{x^2} - 2x + 5x - 5$

$= \left( {2{x^3} - 2{x^3}} \right) + \left( {2{x^2} - 4{x^2} + 2{x^2}} \right) + \left( {5x - 2x - 3x} \right) - 5 = - 5$.

Vậy giá trị của biểu thức .$A$. không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) Ta có ${\left( {2n + 3} \right)^2} - {\left( {2n - 1} \right)^2}$

$= \left( {2n + 3 - 2n + 1} \right)\left( {2n + 3 + 2n - 1} \right)$

$= 4\left( {4n + 2} \right) = 8\left( {2n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,8$ (đpcm)

a) Biểu thức đại số tính quãng đường Quảng Ninh – Hà Nội là:

$\left( {9x + 15} \right)\left( {x - 2} \right) = 9{x^2} - 3x - 30$.

b) Quãng đường Quảng Ninh - Hà Nội khi $x = 5$ là:

$9 \cdot 25 - 3 \cdot 5 - 30 = 225 - 15 - 30 = 180\,\,{\rm{(km)}}$.

Vậy quãng đường Quảng Ninh - Hà Nội khi $x = 5$ là $180\,\,{\rm{km}}$.

a) Tứ giác $AQHP$ có:

$\widehat {PAQ} = 90^\circ$ (gt)

$\widehat {APH} = 90^\circ \,\,\,\left( {HP \bot AB} \right)$

$\widehat {AQH} = 90^\circ \,\,\,\left( {HQ \bot AC} \right)$

Do đó tứ giác $AQHP$ là hình chữ nhật.

b) Xét tam giác $HQC$ vuông tại $Q,$ có $QK$ là đường trung tuyến nên

$QK = KH = KC = \frac{1}{2}HC$.

Suy ra, tam giác $KQH$ cân tại $K$.

Tứ giác $AQHP$ là hình chữ nhật (câu a) nên $OP = OH = OA = OQ$

Ta có: $OH = OQ$ mà $KH = KQ$ (cmt)

Suy ra $OK$ là đường trung trực của HQ

c) Gọi giao điểm của $HQ$ và $OK$ là $I$.

Theo câu b: $OK$ là đường trung trực của $HQ$.

Suy ra $OK$ vuông góc với $HQ$ tại $I$ nên $\widehat {HIK} = \widehat {HQC} = 90^\circ$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $OK{\rm{ // }}AC$.

Suy ra tứ giác $AOKC$ là hình thang.

Để hình thang $AOKC$ là hình thang cân thì $\widehat {OAC} = \widehat {KCA}$

Suy ra $\widehat {OAC} = \widehat {KCA} = 45^\circ$ $\left( {\Delta AHC} \right.$ vuông tại $H)$

Do đó, $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$.

Ta có ${a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca$

$2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} = 2ab + 2bc + 2ca$

$2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca = 0$

${\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} = 0$

Ta có: ${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0$ nên ${\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0$

Để ${\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} = 0$ thì

$\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {a - c} \right)^2} = 0\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\a - c = 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\a = c\end{array} \right.$ hay $a = b = c$.

Do đó $a + b + c = 2022$.

Vậy $a = b = c = \frac{{2\,\,022}}{3} = 674$.