Đề thi giữa kì 1 Toán 8 năm 2026-2027 THCS&THPT Marie Curie (Hà Nội) có đáp án

Chọn A.

Ta có: $\left( { - 15{x^3}{y^4}} \right):\left( {3{x^2}{y^2}} \right) = \left( { - 15:3} \right) \cdot \left( {{x^3}:{x^2}} \right) \cdot \left( {{y^4}:{y^2}} \right) = - 5x{y^2}$.

Chọn B.

Thu gọn đa thức $A$, ta được:

$A = \left( {3{x^4}y - 3{x^4}y} \right) - 2{x^2}{y^2} + 5x{y^3} - 1 = - 2{x^2}{y^2} + 5x{y^3} - 1$

Hạng tử $- 2{x^2}{y^2}$ có bậc là $2 + 2 = 4$.

Hạng tử $5x{y^3}$ có bậc là $1 + 3 = 4$.

Hạng tử $- 1$ có bậc là $0$.

Bậc cao nhất của các hạng tử trong đa thức thu gọn là $4$.

Chọn C.

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} - {B^2}$ ta được:

$\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = {x^2} - {3^2} = {x^2} - 9$.

Chọn D.

Đa thức có dạng bình phương của một hiệu ${A^2} - 2AB + {B^2} = {\left( {A - B} \right)^2}$:

Ta có: ${A^2} = {x^2}$ suy ra $A = x$ và ${B^2} = 9{y^2} = {\left( {3y} \right)^2}$ suy ra $B = 3y$. Hạng tử ở giữa cần điền là: $2AB = 2 \cdot x \cdot 3y = 6xy$.

Do chỗ trống nằm sau dấu trừ (${x^2} - \ldots + 9{y^2}$) nên đơn thức cần điền vào ô trống là $6xy$.

Chọn C.

A sai vì hình thang cân có 2 cạnh bên bằng nhau nhưng hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau chưa chắc là hình thang cân (có thể là hình bình hành).

B sai vì tứ giác có 2 đường chéo bằng nhau chưa chắc là hình chữ nhật (ví dụ: hình thang cân).

C đúng theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

D sai vì tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau thì mới là hình bình hành.

Chọn D.

Trong tam giác vuông, độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa độ dài cạnh huyền:

$AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ cm.

Chọn A.

Theo tính chất của hình chữ nhật, hai đường chéo có độ dài bằng nhau nên $AC = BD$.

Chọn B.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\,{\rm{//}}\,CD$ suy ra $\widehat {AED} = \widehat {EAB}$ (hai góc so le trong).

Mặt khác, $AE$ là tia phân giác của $\widehat {DAB}$ suy ra $\widehat {DAE} = \widehat {EAB}$.

Do đó, $\widehat {AED} = \widehat {DAE}$. Suy ra tam giác $ADE$ cân tại $D$ suy ra $DE = AD = 5{\rm{\;}}$ cm.

a) Ta có:

$A = 2x \cdot {x^2} - 2x \cdot 3y - {x^2} \cdot 2x + {x^2} \cdot y + 5$

$A = 2{x^3} - 6xy - 2{x^3} + {x^2}y + 5$

$A = \left( {2{x^3} - 2{x^3}} \right) + {x^2}y - 6xy + 5$

$A = {x^2}y - 6xy + 5$.

Hạng tử ${x^2}y$ có bậc là $2 + 1 = 3$.

Hạng tử $- 6xy$ có bậc là $1 + 1 = 2$.

Hạng tử $5$ có bậc là $0$.

Bậc cao nhất trong các hạng tử là $3$, do đó bậc của đa thức $A$ là $3$.

b) Thay $x = 2$ và $y = 1$ vào biểu thức thu gọn $A = {x^2}y - 6xy + 5$ ta được:

$A = {2^2} \cdot 1 - 6 \cdot 2 \cdot 1 + 5 = 4 - 12 + 5 = - 3$.

Vậy giá trị của $A$ tại $x = 2,\,\,y = 1$ là $- 3$.

a) $3x\left( {x + 2} \right) - 3{x^2} = 18$

$3{x^2} + 6x - 3{x^2} = 18$

$6x = 18$

$x = 3$.

Vậy $x = 3$.

b) ${\left( {x + 1} \right)^2} - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 9$

$\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 3x - 2x - 6} \right) = 9$

$\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} + x - 6} \right) = 9$

${x^2} + 2x + 1 - {x^2} - x + 6 = 9$

$x + 7 = 9$

$x = 2$.

Vậy $x = 2$.

c) ${\left( {x - 2} \right)^3} - {x^2}\left( {x - 6} \right) = 16$

$\left( {{x^3} - 6{x^2} + 12x - 8} \right) - \left( {{x^3} - 6{x^2}} \right) = 16$

${x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 - {x^3} + 6{x^2} = 16$

$12x - 8 = 16$

$12x = 24$

$x = 2$.

Vậy $x = 2$.

d) ${\left( {3x - 1} \right)^2} - {\left( {x + 3} \right)^2} = 0$

$\left[ {\left( {3x - 1} \right) - \left( {x + 3} \right)} \right]\left[ {\left( {3x - 1} \right) + \left( {x + 3} \right)} \right] = 0$

$\left( {3x - 1 - x - 3} \right)\left( {3x - 1 + x + 3} \right) = 0$

$\left( {2x - 4} \right)\left( {4x + 2} \right) = 0$

Trường hợp 1: $2x - 4 = 0$ suy ra $2x = 4$ suy ra $x = 2$.

Trường hợp 2: $4x + 2 = 0$ suy ra $4x = - 2$ suy ra $x = \frac{{ - 1}}{2}$.

Vậy $x \in \left\{ {2;\,\, - \frac{1}{2}} \right\}$.

a) Chiều dài mới là: $x + 3$ (m).

Chiều rộng mới là: $y - 2$ (m).

Diện tích mảnh đất trồng hoa mới là:

$S = \left( {x + 3} \right)\left( {y - 2} \right) = xy - 2x + 3y - 6$ (m$^{2}$).

Vậy đa thức thu gọn theo hai biến $x$ và $y$ biểu thị diện tích mảnh đất trồng hoa mới là $xy - 2x + 3y - 6$.

b) Diện tích mảnh đất ban đầu với $x = 25$ m và $y = 10$ m là

$S = x \cdot y = 25 \cdot 10 = 250$ (m$^{2}$).

Diện tích mảnh đất mới sau khi thay đổi kích thước là:

$S = \left( {25 + 3} \right)\left( {10 - 2} \right) = 28 \cdot 8 = 224$ (m$^{2}$).

Ta có: $224 - 250 = - 26$ (m$^{2}$).

Vậy diện tích mảnh đất trồng hoa mới giảm đi $26$ m$^{2}$ so với diện tích ban đầu.

a)

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ suy ra $\widehat {EAF} = 90^\circ$.

$ME \bot AB$ tại $E$ suy ra $\widehat {AEM} = 90^\circ$.

$MF \bot AC$ tại $F$ suy ra $\widehat {AFM} = 90^\circ$.

Tứ giác $AEMF$ có 3 góc vuông ($\widehat {EAF} = \widehat {AEM} = \widehat {AFM} = 90^\circ$) nên $AEMF$ là hình chữ nhật.

b) Xét ${\rm{\Delta }}MFC$ và ${\rm{\Delta }}HFC$ vuông tại $F$ có:

$FC$ là cạnh chung;

$FM = FH$ (theo giả thiết).

Suy ra ${\rm{\Delta }}MFC = {\rm{\Delta }}HFC$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Trong ${\rm{\Delta }}ABC$ vuông tại $A$ có $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$ suy ra $AM = MC = \frac{1}{2}BC.$

Do $AM = MC$ nên ${\rm{\Delta }}MAC$ cân tại $M$.

Đường cao $MF \bot AC$ đồng thời là đường trung tuyến suy ra $F$ là trung điểm của $AC$.

Tứ giác $AMCH$ có $F$ là trung điểm của $AC$ và $F$ là trung điểm của $MH$ $\left( {FH = FM} \right).$

Do đó, $AMCH$ là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

c) Vì $AMCH$ là hình bình hành nên $AH\,{\rm{//}}\,MC$ và $AH = MC$.

Lại có $M$ là trung điểm $BC$ nên $MC = MB$.

Do đó, $AH\,{\rm{//}}\,BM$ và $AH = BM$.

Xét tứ giác $ABMH$ có $AH\,{\rm{//}}\,BM$ và $AH = BM$.

Do đó, $ABMH$ là hình bình hành (tứ giác $ABMH$ có cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau).

Suy ra hai đường chéo $AM$ và $BH$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mặt khác, $AEMF$ là hình chữ nhật có $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AM$ và $EF$, suy ra $O$ là trung điểm của $AM$.

Vì $O$ là trung điểm của $AM$, nên $O$ cũng phải là trung điểm của $BH$.

Do đó, ba điểm $B,\,\,O,\,\,H$ thẳng hàng và $BH = 2OH$.

a) Ta có:

${x^2} + {y^2} = x + y - 1 + xy$

$2{x^2} + 2{y^2} = 2x + 2y - 2 + 2xy$

$2{x^2} + 2{y^2} - 2x - 2y + 2 - 2xy = 0$

$\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) = 0$

${\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0$.

Vì ${\left( {x - y} \right)^2} \ge 0$, ${\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0$, ${\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x,\,\,y \in \mathbb{R}$, nên tổng bằng $0$ khi và chỉ khi: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x - y = 0}\\{x - 1 = 0}\\{y - 1 = 0}\end{array}} \right.$ suy ra $x = y = 1$.

Thay $x = 1,\,\,y = 1$ vào biểu thức $A$ ta được:

$A = {\left( {1 - 2} \right)^{2025}} + {\left( {2 - 1} \right)^{2026}} = {\left( { - 1} \right)^{2025}} + {1^{2026}} = - 1 + 1 = 0$.

Vậy $A = 0$.

b) Biến đổi $M$ bằng cách nhóm thành các bình phương:

$M = \left[ {{x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right] - {\left( {y + 1} \right)^2} + 3{y^2} + 2026$

$M = {\left[ {x - \left( {y + 1} \right)} \right]^2} - \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) + 3{y^2} + 2026$

$M = {\left( {x - y - 1} \right)^2} + 2{y^2} - 2y + 2025$

$M = {\left( {x - y - 1} \right)^2} + 2\left( {{y^2} - y + \frac{1}{4}} \right) + 2025 - \frac{1}{2}$

$M = {\left( {x - y - 1} \right)^2} + 2{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{4049}}{2}$.

Vì ${\left( {x - y - 1} \right)^2} \ge 0$ và $2{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x,y$, nên: $M \ge \frac{{4049}}{2}$.

Dấu “$=$” xảy ra khi:

$y - \frac{1}{2} = 0$ suy ra $y = \frac{1}{2}$;

$x - y - 1 = 0$ suy ra $x = y + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $M$ là $\frac{{4049}}{2}$ (hay $2024{,}5$) khi $x = \frac{3}{2}$ và $y = \frac{1}{2}$.