Đề thi Giữa kì 1 Toán 8 năm 2024-2025 THCS Cầu Diễn (Hà Nội) có đáp án

Chọn C

$$2x\left( {{x^2} - 2x{y^3}} \right) - \left( {2{x^3} - {x^2}{y^3}} \right)$$

$$= 2{x^3} - 4{x^2}{y^3} - 2{x^3} + {x^2}{y^3}$$

$= - 3{x^2}{y^3}$.

Chọn B

$$\left( {2x + 1} \right)\left( {1 - 2x} \right)$$

$$= {1^2} - {\left( {2x} \right)^2} = 1 - 4{x^2}$$

Chọn A

$$4{x^5}y - {x^4} - {x^5}y - 3{x^5}y + 5$$

$$= \left( {4{x^5}y - {x^5}y - 3{x^5}y} \right) - {x^4} + 5$$

$$= - {x^4} + 5$$

suy ra bậc của đa thức là $4$

Chọn C

Xét tứ giác $ABCD$ có:

$$\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ$$

$$x + x + 50^\circ + 100^\circ = 360^\circ$$

$$2x = 210^\circ$$

$$x = 105^\circ$$

Do đó $x = 105^\circ$.

a) $5{x^2}{y^4}.\left( {\frac{{ - 1}}{{20}}x{y^3}} \right)$$= \frac{{ - 1}}{4}{x^3}{y^7}$

b) $\left( {{x^3}y + 4{x^2}{y^2} - 5{x^2}{y^3}} \right):xy - x\left( {x - 4{y^2}} \right)$.

$$= {x^2} + 4xy - 5x{y^2} - {x^2} + 4x{y^2}$$

$$= 4xy - x{y^2}$$

c) ${\left( {x + 1} \right)^2} - \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)$.

$$= {x^2} + 2x + 1 - 2{x^2} - 5x + 3 + {x^2} - 25$$

$$= - 3x - 21$$

a) $4x\left( {x - 3} \right) - 4{x^2} + 1 = 9$

$$4{x^2} - 12x - 4{x^2} + 1 = 9$$

$$- 12x = 8$$

$$x = \frac{{ - 2}}{3}$$

Vậy $x = \frac{{ - 2}}{3}$

b) $\left( {2x - 5} \right)\left( {3x + 4} \right) - 6x\left( {x - 3} \right) = 5x$.

$$6{x^2} + 8x - 15x - 20 - 6{x^2} + 18x = 5x$$

$$11x - 20 = 5x$$

$$6x = 20$$

$$x = \frac{{10}}{3}$$

Vậy $x = \frac{{10}}{3}$

c) ${\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {x - 7} \right)^2} = x\left( {2x - 5} \right)$.

$${x^2} + 6x + 9 + {x^2} - 14x + 49 = 2{x^2} - 5x$$

$$3x = 58$$

$$x = \frac{{58}}{3}$$

Vậy$x = \frac{{58}}{3}$.

a) Cạnh của mảnh vườn sau khi mở rộng: $10 + x\,\,({\rm{m}})$

Diện tích của mảnh vườn sau khi mở rộng là: ${\left( {10 + x} \right)^2}\,\,({{\rm{m}}^{\rm{2}}}).$ (1)

b) Thay $x = 4\,\,{\rm{m}}$ vào (1) ta được: ${\left( {10 + 4} \right)^2} = {14^2} = 196\,\,({{\rm{m}}^{\rm{2}}}).$

a) Tứ giác $ADME$ là hình gì? Vì sao?

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat {BAC} = 90^\circ$ hay $\widehat {DAE} = 90^\circ .$

Vì $MD$ vuông góc $AB$ tại $D$ nên $\widehat {MDA} = 90^\circ .$

$ME$ vuông góc $AC$ tại $E$ nên $\widehat {MEA} = 90^\circ .$

• Xét tứ giác $ADME$ có: $\widehat {DAE} = \widehat {MDA} = \widehat {MEA} = 90^\circ$ nên tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật.

b) Lấy điểm $I$ sao cho $A$ là trung điểm của $ID$. Chứng minh tứ giác $AIEM$ là hình bình hành.

Ta có $\widehat {DAE} + \widehat {EAI} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

Mà $\widehat {DAE} = \widehat {BAC} = 90^\circ$ nên $\widehat {EAI} = 180^\circ - \widehat {DAE} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .$

Suy ra $\widehat {DAE} = \widehat {EAI} = 90^\circ .$

Vì $A$ là trung điểm của $ID$ nên $AI = AD.$

• Xét $\Delta ADE$ và $\Delta AIE$ có: $AE$chung, $\widehat {DAE} = \widehat {EAI} = 90^\circ$, $AI = AD$.

Vậy $\Delta ADE$=$\Delta AIE$(c.g.c) suy ra $DE = EI$ (hai cạnh tương ứng).

Vì tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật (câu a) nên $DE = AM$và $AD = ME$(tính chất hình chữ nhật)

Ta có $DE = EI$, $DE = AM$(cmt) nên $EI = AM.$

$AD = ME$, $AI = AD$(cmt) nên $ME = AI.$

Cách 1: Xét tứ giác $AIEM$có: $EI = AM$, $ME = AI$ nên tứ giác $AIEM$là hình bình hành (dhnb)

Cách 2: Ta có: $AI\;{\rm{//}}\;ME\;\left( { \bot AC} \right)\,;\,\,AI = ME\;\left( { = AD} \right)$ nên tứ giác $AIEM$là hình bình hành (dhnb)

c) Lấy điểm $K$ sao cho $M$ là trung điểm của $EK$. Chứng minh ba đường thẳng $IK,DE,AM$cùng đi qua một điểm.

Gọi $O$ là giao điểm của $DE$ và $AM$ mà tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật (cmt)

nên $O$ là trung điểm của $AM$và$DE$. (1)

Vì $M$ là trung điểm của $EK$nên $KE = 2ME.$

Vì $A$ là trung điểm của $DI$nên $DI = 2DA.$

Mà $AD = ME$, suy ra $EK = DI.$

Vì $ADME$ là hình chữ nhật (cmt) nên $DA\,{\rm{//}}\,ME$hay$DI\,{\rm{//}}\,KE$.

Xét tứ giác $DIEK$có: $EK = DI,DI\,{\rm{//}}\,KE$ (cmt) nên tứ giác $DIEK$ là hình bình hành.

Suy ra hai đường chéo $DE$và $IK$cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà $O$ là trung điểm của $DE$(cmt)

Do đó, $O$ là trung điểm của$IK$. (2)

Từ (1), (2) suy ra $IK,DE,AM$ cùng đi qua một điểm.

Ta có ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y - 4z + 6 = 0.$

${x^2} + 2x + 1 + {y^2} - 2y + 1 + {z^2} - 4z + 4 = 0$

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 0$

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\y - 1 = 0\\z - 2 = 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\\z = 2\end{array} \right.$

Thay $x = - 1\,;\,\,y = 1\,;\,\,z = 2$ vào $M$, ta được:

$M = {\left( {x + 1} \right)^{2022}} + {y^{2023}} + {\left( {z - 1} \right)^{2024}}$

$M = {\left( { - 1 + 1} \right)^{2022}} + {1^{2023}} + {\left( {2 - 1} \right)^{2024}}$

$M = 1 + 1 = 2.$

Vậy $M = 2.$