Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Củ Chi (TP.HCM) có đáp án

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đổi dấu của đạo hàm $f'\left( x \right)$ từ dương (+) sang âm (-) khi đi qua điểm $x = - 1$. Do đó, hàm số đạt cực đại tại điểm $x = - 1$.

Đáp án đúng: D.

Đạo hàm: $f'\left( x \right) = 4{x^3} - 24x$.

Cho $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \sqrt 6$ (loại $x = - \sqrt 6$ vì không thuộc $\left[ {0;9} \right]$).

Tính các giá trị tại các điểm đầu mút và điểm cực trị:

$f\left( 0 \right) = - 4$;

$f\left( {\sqrt 6 } \right) = {\left( {\sqrt 6 } \right)^4} - 12{\left( {\sqrt 6 } \right)^2} - 4 = 36 - 72 - 4 = - 40$;

$f\left( 9 \right) = {9^4} - 12 \cdot {9^2} - 4 = 6561 - 972 - 4 = 5585$.

So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ {0;9} \right]$ là $- 40$ tại $x = \sqrt 6$.

Đáp án đúng: B.

Thực hiện phép chia đa thức ở tử số cho mẫu số: $- 4{x^2} - 2x - 5 = \left( {4x + 10} \right)\left( { - x + 2} \right) - 25$.

Do đó biểu thức hàm số có dạng: $y = 4x + 10 - \frac{{25}}{{ - x + 2}}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - 25}}{{ - x + 2}} = 0$, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng $y = 4x + 10$.

Đáp án đúng: D.

Theo quy tắc hiệu véctơ trong tam giác $ABC$, ta có: $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}$.

Thay các vectơ đại diện theo đề bài vào hệ thức: $\vec d = \vec c - \vec b \Leftrightarrow \vec b - \vec c + \vec d = \vec 0$.

Đáp án đúng: D.

Nhìn vào đồ thị, ta thấy đường tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 1$. Do đó mẫu số phải có nghiệm $x = 1$. Ta loại các phương án C và D (có mẫu số là $x + 1$).

Đồ thị có đường tiệm cận ngang là $y = - 1$. Xét hai phương án còn lại:

Phương án A: $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$ có tiệm cận ngang $y = 1$ (loại).

Phương án B: $y = \frac{{ - x - 1}}{{x - 1}}$ có tiệm cận ngang $y = \frac{{ - 1}}{1} = - 1$ (thỏa mãn).

Đáp án đúng: B.

Hàm số đạt cực tiểu tại những điểm mà tại đó đạo hàm $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm (-) sang dương (+). Dựa vào bảng xét dấu, khi đi qua các điểm $x = 0,x = 4$, đạo hàm $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương (từ $-$ sang $+$). Do đó hàm số có 2 điểm cực tiểu.

Đáp án đúng: A.

Tiệm cận ngang: Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 3$ nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là $y = 1$ và $y = 3$.

Tiệm cận đứng: Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = - \infty$, đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là $x = 0$.

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là: $2 + 1 = 3$.

Đáp án đúng: B.

Xét hàm số $y = - {x^3} + 150{x^2}$ trên đoạn $\left[ {0;200} \right]$.

Đạo hàm: $y' = - 3{x^2} + 300x$.

Cho $y' = 0 \Leftrightarrow - 3x\left( {x - 100} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 100$.

Tính giá trị tại các mút và điểm tới hạn: $y\left( 0 \right) = 0$; $y\left( {100} \right) = 500.000$; $y\left( {200} \right) = - 2.000.000$.

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = 100$. Vậy doanh nghiệp cần sản xuất 100 sản phẩm.

Đáp án đúng: B.

Theo tính chất trọng tâm của tam giác $ABC$, ta luôn có hệ thức véctơ: $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0$. Khi mở rộng với một điểm $S$ bất kỳ trong không gian, ta có công thức: $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SG}$. Do đó khẳng định C đúng.

Đáp án đúng: C.

Chọn hệ trục tọa độ có gốc $A\left( {0;0;0} \right)$. Các tia $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {AA'}$ lần lượt trùng với các chiều dương của trục $Ox,Oy,Oz$.

Từ các kích thước đề bài cho, ta xác định được tọa độ của điểm $A'$ và điểm $C$:

Điểm $A'$ nằm trên trục $Oz$ và cách gốc $A$ một khoảng bằng $8 \Rightarrow A'\left( {0;0;8} \right)$.

Điểm $C$ nằm trên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có hoành độ bằng $AB = 10$ và tung độ bằng $AD = 16 \Rightarrow C\left( {10;16;0} \right)$.

Tọa độ vectơ $\overrightarrow {A'C} = \left( {10 - 0;16 - 0;0 - 8} \right) = \left( {10;16; - 8} \right)$.

Đáp án đúng: D.

Sắp xếp lại biểu thức của vectơ $\vec a$ theo đúng thứ tự các vectơ đơn vị hệ trục $\left( {\vec i,\vec j,\vec k} \right)$:

$\vec a = - 1\vec i + 2\vec j - 3\vec k$.

Suy ra tọa độ các thành phần tương ứng của vectơ $\vec a$ là $\left( { - 1;2; - 3} \right)$.

Đáp án đúng: D.

Hàm số nhất biến có thể quy đồng về dạng chuẩn: $y = \frac{{2\left( {x - 1} \right) - 1}}{{x - 1}} = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}$.

Đồ thị hàm số này có đường tiệm cận đứng là $x = 1$ và đường tiệm cận ngang là $y = 2$.

Giao điểm của hai đường tiệm cận này chính là tâm đối xứng của đồ thị hàm số, có tọa độ là $\left( {1;2} \right)$.

Đáp án đúng: B.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

Đạo hàm: $y' = - 1 + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{1 - {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$.

Cho $y' = 0 \Leftrightarrow - {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = - 2$.

Xét dấu đạo hàm:

$y' > 0$ trên các khoảng $\left( { - 2; - 1} \right)$ và $\left( { - 1;0} \right) \to$ Hàm số đồng biến trên hai khoảng này. Do đó ý a) sai.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 2 \Rightarrow {y_{CT}} = y\left( { - 2} \right) = - \left( { - 2} \right) + 2 - \frac{1}{{ - 2 + 1}} = 5$. Do đó ý b) đúng.

Hàm số tiến ra $+ \infty$ khi $x \to - {1^ - }$ nên không tồn tại giá trị lớn nhất trên toàn tập xác định. Do đó ý c) sai.

Tâm đối xứng $I$ là giao điểm của tiệm cận đứng $x = - 1$ và tiệm cận xiên $y = - x + 2 \Rightarrow I\left( { - 1;3} \right)$. Khi đó $a = - 1,b = 3$. Ta tính biểu thức: $b - 2a = 3 - 2 \cdot \left( { - 1} \right) = 5$. Do đó ý d) đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm với $Ox$: $- {x^3} - 3{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = - 2$. Đồ thị chỉ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. Do đó ý a) sai.

Đạo hàm: $y' = - 3{x^2} - 6x = - 3x\left( {x + 2} \right)$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = - 2$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$, đồng biến trên $\left( { - 2;0} \right)$. Do đó ý b) đúng.

Tọa độ hai điểm cực trị:

Với $x = 0 \Rightarrow y = 4 \Rightarrow A\left( {0;4} \right)$.

Với $x = - 2 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow B\left( { - 2;0} \right)$.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A$ và $B$ là: $y = 2x + 4$. Do đó ý c) đúng.

Giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$: Ta so sánh $y\left( { - 1} \right) = 2$, $y\left( 0 \right) = 4$, $y\left( 2 \right) = - 16$. Vậy giá trị nhỏ nhất trên đoạn này là $- 16$. Do đó ý d) sai.

Theo tính chất trung điểm hình học phẳng vì $O$ là trung điểm của $BC$ nên ta luôn có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AO}$. Do đó ý a) sai.

Lập hệ trục tọa độ với gốc $O\left( {0;0;0} \right)$ đặt tại trung điểm $BC$. Trục $Ox$ chứa đoạn $OC$, trục $Oy$ chứa đoạn $OA$, trục $Oz$ vuông góc với mặt đáy tại $O$.

Độ dài đường cao tam giác đều $ABC$: $AO = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$.

Tọa độ các điểm trong không gian: $O\left( {0;0;0} \right)$, $C\left( {a;0;0} \right)$, $B\left( { - a;0;0} \right)$, $A\left( {0;a\sqrt 3 ;0} \right) \to$ Ý c) đúng.

Vì $SA{\rm{//}}Oz$ và $SA = a$ nên điểm $S$ có tọa độ: $S\left( {0;a\sqrt 3 ;a} \right)$.

Tọa độ trung điểm $M$ của cạnh $SC$ được tính bằng trung bình cộng tọa độ $S$ và $C$: $M\left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2}} \right)$. Đề bài ghi hoành độ âm nên ý b) sai.

Tính tích vô hướng $\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC}$:

Ta có $\overrightarrow {SB} = \left( { - a; - a\sqrt 3 ; - a} \right)$ và $\overrightarrow {SC} = \left( {a; - a\sqrt 3 ; - a} \right)$.

$\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \left( { - a} \right) \cdot a + \left( { - a\sqrt 3 } \right) \cdot \left( { - a\sqrt 3 } \right) + \left( { - a} \right) \cdot \left( { - a} \right) = - {a^2} + 3{a^2} + {a^2} = 3{a^2}$. Do đó ý d) đúng.

Viết lại hàm số dưới dạng: $y = \frac{{ - 2x + 1}}{{x + 1}}$.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng $y = - 2$. Do đó ý a) sai.

Đạo hàm: $y' = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0$, hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định. Trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$, hàm số giảm liên tục từ trái sang phải nên giá trị nhỏ nhất sẽ đạt tại đầu mút bên phải là $x = 3$. Do đó ý b) đúng.

Tâm đối xứng $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận $x = - 1$ và $y = - 2 \Rightarrow I\left( { - 1; - 2} \right)$. Do đó ý c) đúng.

Hình chữ nhật giới hạn bởi hai tiệm cận ($x = - 1,y = - 2$) và hai trục tọa độ ($x = 0,y = 0$) có chiều dài bằng 2 và chiều rộng bằng 1. Diện tích hình chữ nhật này bằng $2 \cdot 1 = 2$. Do đó ý d) sai.

Tính đạo hàm: $y' = - 3{x^2} - 6x + 9$.

Giải phương trình đạo hàm bằng 0: $- 3\left( {{x^2} + 2x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = - 3$.

Phân tích dấu đạo hàm bậc hai hoặc lập bảng biến thiên với hệ số $a = - 1 < 0$, ta suy ra:

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = - 3 \Rightarrow {x_2} = - 3$.

Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 1 \Rightarrow {x_1} = 1$.

Thay vào biểu thức: $T = {x_2} - 3{x_1} = - 3 - 3 \cdot 1 = - 6$.

Đáp số: -6.

Đạo hàm: $y' = 3{x^2} - 6x - 9$.

Giải phương trình đạo hàm bằng 0: $3\left( {{x^2} - 2x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ hoặc $x = 3$ (cả hai giá trị này đều thuộc đoạn $\left[ { - 4;4} \right]$).

Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm tới hạn:

$y\left( { - 4} \right) = {\left( { - 4} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 4} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 4} \right) + 35 = - 41$;

$y\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 1} \right) + 35 = 40$;

$y\left( 3 \right) = {3^3} - 3 \cdot {3^2} - 9 \cdot 3 + 35 = 8$;

$y\left( 4 \right) = {4^3} - 3 \cdot {4^2} - 9 \cdot 4 + 35 = 15$.

Từ các kết quả trên, ta xác định được:

Giá trị lớn nhất trên đoạn là $M = 40$ (đạt tại $x = - 1$).

Giá trị nhỏ nhất trên đoạn là $n = - 41$ (đạt tại $x = - 4$).

Giá trị biểu thức yêu cầu: $2M + 3n = 2 \cdot 40 + 3 \cdot \left( { - 41} \right) = 80 - 123 = - 43$.

Đáp số: -43.

Điểm $B$ thuộc trục hoành nên có tọa độ $B\left( {t;0} \right)$ với $t > 3$.

Đường thẳng $BC$ đi qua hai điểm $B\left( {t;0} \right)$ và $A\left( {3;2} \right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {BA} = \left( {3 - t;2} \right)$. Vectơ pháp tuyến tương ứng là $\vec n = \left( {2;t - 3} \right)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $BC$: $2\left( {x - t} \right) + \left( {t - 3} \right)\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + \left( {t - 3} \right)y - 2t = 0$.

Tìm tọa độ giao điểm $C$ với trục tung ($x = 0$): Thay vào phương trình đường thẳng ta có

$\left( {t - 3} \right)y = 2t \Rightarrow y = \frac{{2t}}{{t - 3}} \Rightarrow C\left( {0;\frac{{2t}}{{t - 3}}} \right)$.

Diện tích tam giác vuông $OBC$ tại gốc tọa độ $O$: $S = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot t \cdot \frac{{2t}}{{t - 3}} = \frac{{{t^2}}}{{t - 3}}$.

Khảo sát hàm số diện tích $S\left( t \right) = \frac{{{t^2}}}{{t - 3}}$ trên khoảng $\left( {3; + \infty } \right)$:

$S'\left( t \right) = \frac{{2t\left( {t - 3} \right) - {t^2}}}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}} = \frac{{{t^2} - 6t}}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}}$;

Cho $S'\left( t \right) = 0 \Rightarrow {t^2} - 6t = 0 \Rightarrow t = 6$ (vì điều kiện $t > 3$).

Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm $t = 6$.

Đáp số: 6.

Tính đạo hàm: $y' = 3{x^2} + 2bx + c$.

Dựa vào dữ kiện bài toán, ta lập hệ phương trình gồm 3 phương trình:

Đồ thị đi qua điểm cực đại $\left( { - 1;7} \right) \Rightarrow {\left( { - 1} \right)^3} + b \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + c \cdot \left( { - 1} \right) + d = 7 \Leftrightarrow b - c + d = 8$ (1).

Điểm $x = - 1$ là điểm cực trị nên $y'\left( { - 1} \right) = 0 \Rightarrow 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + 2b \cdot \left( { - 1} \right) + c = 0 \Leftrightarrow - 2b + c = - 3$ (2).

Đồ thị đi qua điểm $\left( {2; - 20} \right) \Rightarrow {2^3} + b \cdot {2^2} + c \cdot 2 + d = - 20 \Leftrightarrow 4b + 2c + d = - 28$ (3).

Lấy phương trình (3) trừ đi phương trình (1) theo vế:

$\left( {4b + 2c + d} \right) - \left( {b - c + d} \right) = - 28 - 8 \Rightarrow 3b + 3c = - 36 \Leftrightarrow b + c = - 12$.

Kết hợp với phương trình (2) tạo thành hệ 2 ẩn ta tính được $b = - 3$ và $c = - 9$.

Thay $b = - 3$ và $c = - 9$ vào phương trình (1): $- 3 - \left( { - 9} \right) + d = 8 \Rightarrow d = 2$.

Hàm số hoàn chỉnh là: $y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 2$.

Giá trị biểu thức $P = b - 2c + d = - 3 - 2 \cdot \left( { - 9} \right) + 2 = 17$.

Đáp số: 17.

Ta có $\vec u = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {C'B} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC'} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow {AC}$.

Do đó, $\left| {\vec u} \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC$.

Với hình lập phương có cạnh bằng 3, mặt đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 3. Độ dài đường chéo hình vuông là: $AC = 3\sqrt 2$.

Đồng nhất với dạng thức đề bài: $3\sqrt 2 = a\sqrt b \Rightarrow a = 3$ và $b = 2$.

Tính giá trị của $T = 2a + b = 2 \cdot 3 + 2 = 8$.

Đáp số: 8.

Gọi hình chiếu vuông góc của vectơ lực $\vec F$ lên mặt phẳng đáy $\left( {Oxy} \right)$ là vectơ ${\vec F_{xy}}$.

Dựa theo mô tả trực quan từ hình vẽ, vectơ lực tạo với mặt đáy $\left( {Oxy} \right)$ góc $60^\circ$. Do đó, thành phần cao độ song song với trục đứng $Oz$ là: $z = \left| {\vec F} \right| \cdot \sin 60^\circ = 100 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 50\sqrt 3$.

Độ lớn của vectơ hình chiếu trên mặt phẳng đáy là: $\left| {{{\vec F}_{xy}}} \right| = \left| {\vec F} \right| \cdot \cos 60^\circ = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50$.

Phân tích vectơ hình chiếu đáy ${\vec F_{xy}}$ lên hai trục tọa độ $Ox$ và $Oy$, góc hợp với trục $Ox$ là $45^\circ$, nằm ở vùng hoành độ dương và tung độ âm:

Hoành độ: $x = \left| {{{\vec F}_{xy}}} \right| \cdot \cos 45^\circ = 50 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 25\sqrt 2$

Tung độ: $y = - \left| {{{\vec F}_{xy}}} \right| \cdot \sin 45^\circ = - 50 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = - 25\sqrt 2$

Tọa độ vectơ lực thu được là $\vec F = \left( {25\sqrt 2 ; - 25\sqrt 2 ;50\sqrt 3 } \right)$.

Tính giá trị biểu thức: $x + y + z\sqrt 3 = 25\sqrt 2 + \left( { - 25\sqrt 2 } \right) + \left( {50\sqrt 3 } \right) \cdot \sqrt 3 = 0 + 50 \cdot 3 = 150$.

Đáp số: 150.