Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THCS - THPT Trần Cao Vân (TP.HCM) có đáp án

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$, đạo hàm $y' > 0$ và mũi tên của biến thiên $y$ đi lên từ $1$ đến $3$.

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$.

Chọn C.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Đạo hàm: $y' = 3{x^2} - 3$.

Xét $y' < 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1$.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$.

Chọn A.

Điểm cực đại của hàm số là giá trị của biến số $x$ tại vị trí đồ thị đạt đỉnh lồi lên.

Từ đồ thị, ta thấy điểm cao nhất cục bộ của đồ thị có tọa độ là $\left( { - 1;3} \right)$.

Do đó, hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$.

Chọn C.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Đạo hàm: $y' = {x^2} - 4x + 3$.

Cho $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.$.

Xét dấu $y'$:

$y' > 0$ trên $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$.

$y' < 0$ trên $\left( {1;3} \right)$.

Điểm cực tiểu của hàm số là $x = 3$.

Giá trị cực tiểu tương ứng: $y\left( 3 \right) = \frac{1}{3} \cdot {3^3} - 2 \cdot {3^2} + 3 \cdot 3 + 1 = 9 - 18 + 9 + 1 = 1$.

Chọn A.

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$ vì mẫu số $2x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - \frac{1}{2}$ không thuộc $\left[ {0;2} \right]$.

Đạo hàm: $y' = \frac{{1 \cdot 1 - \left( { - 1} \right) \cdot 2}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {0;2} \right]$.

Vì $y' > 0$ nên hàm số đồng biến trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$.

Giá trị nhỏ nhất: $m = y\left( 0 \right) = \frac{{0 - 1}}{{2 \cdot 0 + 1}} = - 1$.

Giá trị lớn nhất: $M = y\left( 2 \right) = \frac{{2 - 1}}{{2 \cdot 2 + 1}} = \frac{1}{5}$.

Tính tổng: $M + m = \frac{1}{5} + \left( { - 1} \right) = - \frac{4}{5}$.

Chọn C.

Phương trình mẫu số: ${x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = - 1$.

Tại $x = 1$, tử số bằng $4 \ne 0$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}} = + \infty \Rightarrow x = 1$ là tiệm cận đứng.

Tại $x = - 1$, tử số bằng $- 4 \ne 0$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}} = + \infty \Rightarrow x = - 1$ là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có $2$ đường tiệm cận đứng.

Chọn A.

Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị có tiệm cận đứng tại $x = 1$ (vị trí hai vạch song song), loại đáp án D.

Khi $x \to \pm \infty$, giá trị của $y \to - 1$. Do đó đường tiệm cận ngang là $y = - 1$.

Xét đáp án B: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = 1 \ne - 1$ (Loại).

Xét đáp án C: $y = \frac{{ - x + 3}}{{x - 1}}$ có tiệm cận ngang là $y = \frac{{ - 1}}{1} = - 1$. Đạo hàm $y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0$, phù hợp với dấu $-$ trong bảng biến thiên.

Chọn C.

Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm có hoành độ $x = 0$.

Thay $x = 0$ vào phương trình hàm số: $y = - 1$.

Chọn B.

Trong hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$, ta có vectơ $\overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow {CD}$.

Thay vào biểu thức: $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD}$ (theo quy tắc ba điểm).

Chọn C.

Hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ lên mặt phẳng tọa độ $\left( {Oxz} \right)$ sẽ giữ nguyên hoành độ $x$, cao độ $z$ và cho tung độ $y = 0$.

Vậy tọa độ hình chiếu cần tìm là $\left( { - 2;0;1} \right)$.

Chọn D.

Biểu diễn tọa độ các vectơ: $\vec a = \left( {2;3; - 1} \right)$ và $\vec b = \left( {2;3; - 7} \right)$.

Tọa độ của vectơ hiệu: $\vec x = \vec a - \vec b = \left( {2 - 2;3 - 3; - 1 - \left( { - 7} \right)} \right) = \left( {0;0;6} \right)$.

Chọn B.

Theo công thức tích vô hướng của hai vectơ: $P = \vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos \left( {\vec a,\vec b} \right)$.

Thay số: $P = 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.

Chọn A.

a) ĐÚNG: $f'\left( x \right) = \frac{{\left( { - 2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( { - {x^2} + x - 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} - 2x + x + 1 + {x^2} - x + 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 2x + 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$.

b) SAI: Cho $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - {x^2} - 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = - 3$.

Xét dấu $f'\left( x \right)$ cho thấy trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$, $f'\left( x \right) < 0 \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến.

c) ĐÚNG: Thực hiện phép chia tử cho mẫu: $f\left( x \right) = - x + 2 - \frac{4}{{x + 1}}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x + 2} \right)} \right] = 0$ nên tiệm cận xiên là $y = - x + 2$.

d) SAI: Đường thẳng qua hai điểm cực trị của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất $y = \frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}$ có dạng $y = \frac{{u'\left( x \right)}}{{v'\left( x \right)}}$.

Ta có $u'\left( x \right) = - 2x + 1$ và $v'\left( x \right) = 1$. Do đó đường thẳng cực trị là $y = - 2x + 1$.

a) ĐÚNG: $\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt {4 + 1 + 1} = \sqrt 6$.

b) SAI: $- 2\vec a = \left( {4; - 2; - 2} \right)$ và $3\vec b = \left( {6; - 3;3} \right)$.

$\vec u = - 2\vec a + 3\vec b = \left( {4 + 6; - 2 - 3; - 2 + 3} \right) = \left( {10; - 5;1} \right) \ne \left( {10; - 5;4} \right)$.

c) SAI: $\vec c$ cùng phương với $\vec b \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{1}{{ - 1}} = \frac{y}{1} \Leftrightarrow x = - 2$ và $y = - 1$.

Khi đó $x + y = - 2 + \left( { - 1} \right) = - 3 \ne 3$.

d) ĐÚNG: $\vec a \cdot \vec b = \left( { - 2} \right) \cdot 2 + 1 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 \cdot 1 = - 4 - 1 + 1 = - 4$; $\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 6$.

Do đó, $\cos \varphi = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{\left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|}} = \frac{{ - 4}}{{\sqrt 6 \cdot \sqrt 6 }} = - \frac{4}{6} = - \frac{2}{3}$.

a) SAI: $\overrightarrow {AB} = \left( {1 - 3;3 - 0; - 2 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 2;3; - 1} \right)$.

b) ĐÚNG: $\overrightarrow {BC} = \left( {2 - 1; - 6 - 3;0 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {1; - 9;2} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 9} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt {1 + 81 + 4} = \sqrt {86}$.

c) ĐÚNG: ${x_G} = \frac{{3 + 1 + 2}}{3} = 2,\quad {y_G} = \frac{{0 + 3 - 6}}{3} = - 1,\quad {z_G} = \frac{{ - 1 - 2 + 0}}{3} = - 1 \Rightarrow G\left( {2; - 1; - 1} \right)$.

d) ĐÚNG: $M \in Ox \Rightarrow M\left( {a;0;0} \right)$ nên $b = 0,c = 0$.

$M{A^2} = M{B^2} \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {0 - 0} \right)^2} + {\left( {0 - \left( { - 1} \right)} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {0 - 3} \right)^2} + {\left( {0 - \left( { - 2} \right)} \right)^2}$$\Leftrightarrow {a^2} - 6a + 9 + 1 = {a^2} - 2a + 1 + 9 + 4 \Leftrightarrow - 4a = 4 \Leftrightarrow a = - 1$.

Do đó $a + b + c = - 1$.

a) SAI: $V\left( {10} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 0{,}5 \cdot {{10}^3} + 90 \cdot {{10}^2}} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 500 + 9000} \right) = 85{\rm{\;}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$.

b) ĐÚNG: Hàm tốc độ: $v\left( t \right) = V'\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 1{,}5{t^2} + 180t} \right)$.

Tại $t = 20$: $v\left( {20} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 1{,}5 \cdot 400 + 180 \cdot 20} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 600 + 3600} \right) = 30{\rm{\;}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}/{\rm{ph\'u t}}$.

c) ĐÚNG: Xét hàm $V\left( t \right)$ trên $\left[ {0;30} \right]$. Vì $V'\left( t \right) = v\left( t \right) > 0$ với mọi $t \in \left( {0;30} \right)$ nên hàm số đồng biến.

Thể tích lớn nhất trong 30 phút đầu là $V\left( {30} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 0{,}5 \cdot {{30}^3} + 90 \cdot {{30}^2}} \right) = 675{\rm{\;}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$.

d) SAI: Tìm giá trị lớn nhất của $v\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 1{,}5{t^2} + 180t} \right)$.

Đây là hàm bậc hai có đỉnh tại $t = \frac{{ - 180}}{{2 \cdot \left( { - 1{,}5} \right)}} = 60$.

Tốc độ cực đại đạt được tại $t = 60$: $v\left( {60} \right) = \frac{1}{{100}}\left( { - 1{,}5 \cdot {{60}^2} + 180 \cdot 60} \right) = 54{\rm{\;}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}/{\rm{ph\'u t}} \ne 60$.

Giá trị cực đại của hàm số là (tại $x = - 1$).

Giá trị cực tiểu của hàm số là ${y_{CT}} = 1$ (tại $x = 3$).

Tổng cần tìm: .

Đáp số: 6.

Xét hàm số $R\left( x \right) = 60{x^2} - {x^3}$ trên đoạn $\left[ {0;60} \right]$.

Đạo hàm: $R'\left( x \right) = 120x - 3{x^2}$.

Cho $R'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {40 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 40$.

Lập bảng biến thiên của hàm số trên $\left[ {0;60} \right]$:

Ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = 40$.

Kết luận: Để độ giảm đau đạt giá trị lớn nhất theo mô hình đã cho, nên tiêm liều 40 mg.

Đáp số: 40.

Từ đồ thị ta thấy hai điểm cực trị của hàm số có hoành độ lần lượt là $x = - 1$ và $x = 2$.

Đạo hàm: $f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2bx + c$. Do đó, $x = - 1$ và $x = 2$ là hai nghiệm của phương trình $f'\left( x \right) = 0$.

Theo định lý Vi-ét cho phương trình bậc hai: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1 + 2 = - \frac{{2b}}{3} \Rightarrow b = \frac{{ - 3}}{2}}\\{ - 1 \cdot 2 = \frac{c}{3} \Rightarrow c = - 6}\end{array}} \right.$.

Biểu thức cần tính: $T = f\left( {20} \right) - f\left( 0 \right) = \left( {{{20}^3} + b \cdot {{20}^2} + c \cdot 20 + d} \right) - d = 8000 + 400b + 20c$$= 7280$.

Đáp số: 7280.

Xác định tọa độ các đỉnh từ giả thiết của hệ trục tọa độ: $A\left( {0;0;0} \right)$; $B\left( {10;0;0} \right)$ (do $AB = 10$); $D\left( {0;16;0} \right)$ (do $AD = 16$); $A'\left( {0;0;8} \right)$ (do $AA' = 8$).

Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $A'BD$:

$x = \frac{{0 + 10 + 0}}{3} = \frac{{10}}{3}$; $y = \frac{{0 + 0 + 16}}{3} = \frac{{16}}{3}$; $z = \frac{{8 + 0 + 0}}{3} = \frac{8}{3}$.

Tính giá trị $T$: $T = x + 2y + 3z = \frac{{10}}{3} + 2 \cdot \left( {\frac{{16}}{3}} \right) + 3 \cdot \left( {\frac{8}{3}} \right) = \frac{{10 + 32 + 24}}{3} = \frac{{66}}{3} = 22$.

Đáp số: 22.

Tổng chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm là: $C\left( x \right) = x \cdot G\left( x \right) = x\left( {2x + 270} \right) = 2{x^2} + 270x$ (nghìn đồng).

Đổi $100$ triệu đồng = $100\,000$ nghìn đồng.

Hàm lợi nhuận thu được: $P\left( x \right) = F\left( x \right) - C\left( x \right)$$= {x^3} - 10556{x^2} + 37137600x - 43545500000$ (nghìn đồng).

Để lợi nhuận thu được $\ge 100000$ nghìn đồng thì $P\left( x \right) \ge 100\,000$

$\Leftrightarrow {x^3} - 10556{x^2} + 37137600x - 43\,545\,600000 \ge 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 3456} \right)\left( {x - 3500} \right)\left( {x - 3600} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3456 \le x \le 3500\\x \ge 3600\end{array} \right.$.

Giao với điều kiện $x \in {\mathbb{N}^*};1 \le x \le 4000$ nên ${x_{\min }} = 3456$ (sản phẩm).

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất 3456 sản phẩm.

Đáp số: 3456.

Tổng chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm là: $C\left( x \right) = x \cdot G\left( x \right) = x\left( {2x + 270} \right) = 2{x^2} + 270x$ (nghìn đồng).

Đổi $100$ triệu đồng = $100\,000$ nghìn đồng.

Hàm lợi nhuận thu được: $P\left( x \right) = F\left( x \right) - C\left( x \right)$$= {x^3} - 13867{x^2} + 64093100x - 98738640000$ (nghìn đồng).

Để lợi nhuận thu được $\ge 100000$ nghìn đồng thì $P\left( x \right) \ge 100\,000$

$\Leftrightarrow {x^3} - 13867{x^2} + 64093100x - 98738740000 \ge 0$$\Leftrightarrow x \ge 4713$.

Giao với điều kiện $x \in {\mathbb{N}^*};1 \le x \le 5000$ nên ${x_{\min }} = 4713$ (sản phẩm).

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất 4713 sản phẩm.

Đáp số: 4713.

Tổng chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm là: $C\left( x \right) = x \cdot G\left( x \right) = x\left( {2x + 270} \right) = 2{x^2} + 270x$ (nghìn đồng).

Đổi $100$ triệu đồng = $100\,000$ nghìn đồng.

Hàm lợi nhuận thu được: $P\left( x \right) = F\left( x \right) - C\left( x \right)$$= {x^3} - 17178{x^2} + 98357000x - 187714580000$ (nghìn đồng).

Để lợi nhuận thu được $\ge 100000$ nghìn đồng thì $P\left( x \right) \ge 100\,000$

$$\Leftrightarrow {x^3} - 17178{x^2} + 98357000x - 187714680000 \ge 0$$

$\Leftrightarrow \left( {x - 5678} \right)\left( {x - 5700} \right)\left( {x - 5800} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5678 \le x \le 5700\\x \ge 5800\end{array} \right.$.

Giao với điều kiện $x \in {\mathbb{N}^*};1 \le x \le 6000$ nên ${x_{\min }} = 5678$ (sản phẩm).

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất 5678 sản phẩm.

Đáp số: 5678.

Tổng chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm là: $C\left( x \right) = x \cdot G\left( x \right) = x\left( {2x + 270} \right) = 2{x^2} + 270x$ (nghìn đồng).

Đổi $100$ triệu đồng = $100\,000$ nghìn đồng.

Hàm lợi nhuận thu được: $P\left( x \right) = F\left( x \right) - C\left( x \right)$$= {x^3} - 20489{x^2} + 139929300x - 318539780000$ (nghìn đồng).

Để lợi nhuận thu được $\ge 100000$ nghìn đồng thì $P\left( x \right) \ge 100\,000$

$\Leftrightarrow {x^3} - 20489{x^2} + 139929300x - 318539880000 \ge 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 6789} \right)\left( {x - 6800} \right)\left( {x - 6900} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6789 \le x \le 6800\\x \ge 6900\end{array} \right.$

Giao với điều kiện $x \in {\mathbb{N}^*};1 \le x \le 7000$ nên ${x_{\min }} = 6789$ (sản phẩm).

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất 6789 sản phẩm.

Đáp số: 6789.

Nhận thấy cả ba điểm $A,B,C$ đều có cao độ bằng nhau ($z = 502$). Do đó, tam giác $ABC$ nằm hoàn toàn trong mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Để đơn giản hóa tính toán, ta có thể bỏ qua cao độ $z$ trong các bước trung gian và xét bài toán trên mặt phẳng với tọa độ các đỉnh:

$A\left( {507;525} \right),\quad B\left( {500;501} \right),\quad C\left( {520;516} \right)$.

Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên $BC$

Ta có $\overrightarrow {BC} = \left( {520 - 500;516 - 501} \right) = \left( {20;15} \right) = 5\left( {4;3} \right)$.

Vì điểm $H$ thuộc đường thẳng $BC$, ta biểu diễn tọa độ của $H$ theo tham số $t$: $H\left( {500 + 4t;501 + 3t} \right)$.

Suy ra vectơ $\overrightarrow {AH} = \left( {500 + 4t - 507;501 + 3t - 525} \right) = \left( {4t - 7;3t - 24} \right)$.

Vì $AH \bot BC$, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow {AH}$ và $\overrightarrow {BC}$ bằng $0$:

$\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow 4\left( {4t - 7} \right) + 3\left( {3t - 24} \right) = 0$$\Leftrightarrow 16t - 28 + 9t - 72 = 0 \Leftrightarrow 25t = 100 \Leftrightarrow t = 4$.

Thay $t = 4$ ngược lại tọa độ điểm $H$ (và thêm cao độ $z = 502$): $H\left( {516;513;502} \right)$.

Tìm tọa độ chân đường phân giác trong $K$ của góc $B$

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có tỉ lệ: $\frac{{KA}}{{KC}} = \frac{{BA}}{{BC}}$.

Ta tính độ dài các cạnh $BA$ và $BC$:

$BA = \sqrt {{{\left( {507 - 500} \right)}^2} + {{\left( {525 - 501} \right)}^2}} = \sqrt {{7^2} + {{24}^2}} = \sqrt {625} = 25$;

$BC = \sqrt {{{\left( {520 - 500} \right)}^2} + {{\left( {516 - 501} \right)}^2}} = \sqrt {{{20}^2} + {{15}^2}} = \sqrt {625} = 25$.

Do $BA = BC = 25$, tam giác $ABC$ là tam giác cân tại $B$.

Suy ra $\frac{{KA}}{{KC}} = 1$, nghĩa là $K$ chính là trung điểm của đoạn thẳng $AC$.

Tọa độ điểm $K$ được tính bằng trung bình cộng tọa độ của $A$ và $C$:

${x_K} = \frac{{507 + 520}}{2} = \frac{{1027}}{2}$; ${y_K} = \frac{{525 + 516}}{2} = \frac{{1041}}{2}$; ${z_K} = 502$.

Vậy tọa độ điểm $K$ là: $K\left( {\frac{{1027}}{2};\frac{{1041}}{2};502} \right)$.

Như vậy $H\left( {516;513;502} \right)$, $K\left( {\frac{{1027}}{2};\frac{{1041}}{2};502} \right)$.

Tính độ dài đoạn thẳng $HK$

Độ dài đoạn thẳng $HK$: $HK = \sqrt {{{\left( {\frac{{1027}}{2} - 516} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{1041}}{2} - 513} \right)}^2} + {0^2}} = \frac{{5\sqrt {10} }}{2}$.

Làm tròn kết quả đến hàng phần mười: $HK = \frac{{5\sqrt {10} }}{2} \approx 7{,}9$.

Đáp số: 7,9.