Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THCS&THPT Tạ Quang Bửu (Hà Nội) có đáp án

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm $y{\rm{'}}$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm $x = 2$. Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 2$.

Chọn C.

Vì $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to \pm \infty } \left( { - \frac{2}{{x + 1}}} \right) = 0$, nên đường thẳng $y = x - 1$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chọn D.

Hàm số $f\left( x \right) = - {x^3} - x + 2$ liên tục trên đoạn $\left[ { - 2;0} \right]$.

Ta có đạo hàm: $f'\left( x \right) = - 3{x^2} - 1$.

Vì $- 3{x^2} \le 0$ với mọi $x \in \left[ { - 2;0} \right]$ nên $f'\left( x \right) = - 3{x^2} - 1 < 0,\forall x \in \left[ { - 2;0} \right]$.

Do đó, hàm số nghịch biến trên đoạn $\left[ { - 2;0} \right]$.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 2;0} \right]$ đạt được tại đầu mút $x = 0$:

$\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = - {0^3} - 0 + 2 = 2$.

Chọn A.

Ta có công thức biểu diễn vectơ theo các vectơ đơn vị: $\overrightarrow {OA} = x\vec i + y\vec j + z\vec k \Rightarrow A\left( {x;y;z} \right)$.

Từ giả thiết: $\overrightarrow {OA} = 6\vec j + 4\vec i - 3\vec k = 4\vec i + 6\vec j - 3\vec k$.

Suy ra tọa độ điểm $A$ là $\left( {4;6; - 3} \right)$.

Chọn A.

Ta có: $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1$.

Do đó, đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - {2^ - }} y = - \infty$ và $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - {2^ + }} y = + \infty$.

Do đó, đường thẳng $x = - 2$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn D.

Xét đáp án A: Trong hình vuông $ABCD$, hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CD}$ là hai vectơ đối nhau ($\overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {CD}$), chúng ngược hướng nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD}$ là Sai.

Xét đáp án B: Đúng theo quy tắc hình bình hành áp dụng cho hình vuông $ABCD$.

Xét đáp án C: Đúng theo quy tắc hình hộp.

Xét đáp án D: Đúng vì các cạnh của hình lập phương đều bằng nhau nên độ dài $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|$.

Chọn A.

Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn $\left[ {1;5} \right]$, điểm cao nhất của đồ thị có tọa độ là $\left( {2;4} \right)$, tương ứng với giá trị lớn nhất $y = 4$ đạt được tại $x = 2$.

Chọn C.

Tính từng tọa độ của vectơ $\vec d = \left( {{x_d};{y_d};{z_d}} \right)$:

${x_d} = 1 - 2 + 2 \cdot 4 = 7$; ${y_d} = 2 - 2 + 2 \cdot 0 = 0$; ${z_d} = 3 - \left( { - 1} \right) + 2 \cdot \left( { - 4} \right) = 3 + 1 - 8 = - 4$.

Vậy $\vec d = \left( {7;0; - 4} \right)$.

Chọn A.

Vì $A\left( {0;0;0} \right)$ và độ dài các cạnh bằng $1$:

$A'$ nằm trên trục $Oz$ nên $A'\left( {0;0;1} \right)$.

$C'$ có hình chiếu xuống mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ là điểm $C\left( {1;1;0} \right)$ và cao độ bằng $1$, nên $C'\left( {1;1;1} \right)$.

Tọa độ vectơ $\overrightarrow {A'C'}$ là: $\overrightarrow {A'C'} = \left( {1 - 0;1 - 0;1 - 1} \right) = \left( {1;1;0} \right)$.

Chọn D.

Tập xác định: Vì ${x^2} - 2x + 3 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ nên tập xác định là $D = \mathbb{R}$.

Đạo hàm: $y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}^\prime }}}{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right){\rm{ln}}3}} = \frac{{2x - 2}}{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right){\rm{ln}}3}}$.

Hàm số đồng biến khi và chỉ khi $y' > 0 \Leftrightarrow 2x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 1$.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

Chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $f'\left( x \right) > 0$ trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {3; + \infty } \right)$.

Chọn A.

a) Sai. Doanh thu từ việc bán $x$ tấn sản phẩm là:

$R\left( x \right) = x \cdot P\left( x \right) = x\left( {45 - 0{,}001{x^2}} \right) = 45x - 0{,}001{x^3}$ (triệu đồng).

Số tiền nhà máy A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm chính là doanh thu $R\left( {10} \right)$:

$R\left( {10} \right) = 45 \cdot 10 - 0{,}001 \cdot {10^3} = 450 - 1 = 449$ (triệu đồng).

Do đó khẳng định 600 triệu đồng là sai.

b) Đúng. Chi phí sản xuất 10 tấn sản phẩm là: $C\left( {10} \right) = 100 + 30 \cdot 10 = 400$ (triệu đồng).

d) Đúng. Hàm lợi nhuận thu được:

$H\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = \left( {45x - 0{,}001{x^3}} \right) - \left( {100 + 30x} \right) = - 0{,}001{x^3} + 15x - 100$ (triệu đồng).

c) Đúng. Tìm giá trị lớn nhất của $H\left( x \right) = - 0{,}001{x^3} + 15x - 100$ với $x \in \left[ {0;100} \right]$.

Ta có $H'\left( x \right) = - 0{,}003{x^2} + 15$;

$H'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 0{,}003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 5000 \Leftrightarrow x = \sqrt {5000} = 50\sqrt 2 \approx 70{,}71$ (tấn).

Vì $H'\left( x \right)$ đổi dấu từ dương sang âm tại $x = 50\sqrt 2$ nên hàm số đạt cực đại (và cũng là giá trị lớn nhất trên đoạn) tại $x \approx 70{,}7$ tấn.

a) Sai. Thực hiện phép chia đa thức: $\frac{{ - {x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = \frac{{ - x\left( {x + 1} \right) + 2x + 1}}{{x + 1}} = - x + \frac{{2\left( {x + 1} \right) - 1}}{{x + 1}} = - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}$.

Do đó, tiệm cận xiên là đường thẳng $\left( d \right):y = - x + 2$.

Thay tọa độ điểm $A\left( {1;2} \right)$ vào phương trình tiệm cận xiên: $2 = - 1 + 2 \Leftrightarrow 2 = 1$ (vô lý). Vậy tiệm cận xiên không đi qua $A\left( {1;2} \right)$.

b) Sai. Điều kiện xác định là $x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1$. Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

c) Đúng. Ta có đường thẳng $x = - 1$ là tiệm cận đứng.

d) Sai. Tính đạo hàm: $y' = \frac{{\left( { - 2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( { - {x^2} + x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} - x + 1 + {x^2} - x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow - {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = - 2$.

Xét dấu $y'$ cho thấy $y' > 0$ khi $x \in \left( { - 2;0} \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}$. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$. Do đó, khẳng định hàm số đồng biến trên $\left( { - 3;6} \right)$ là sai.

a) Đúng. Từ điểm cực đại $x = 2$, đồ thị đi xuống về phía bên phải ($x > 2$), nghĩa là hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$. Vì $3 > 2$ nên $f\left( 3 \right) < f\left( 2 \right)$.

b) Đúng. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu tại $x = 0$ và một điểm cực đại tại $x = 2$. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

c) Đúng. Trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$, đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu $\left( {0; - 1} \right)$ đến điểm cực đại $\left( {2;3} \right)$. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn này chính là $f\left( 2 \right) = 3$.

d) Sai. Trên khoảng $\left( { - 1;0} \right)$, đồ thị hàm số đi xuống (hàm số nghịch biến). Chỉ trên khoảng $\left( {0;2} \right)$ hàm số mới đồng biến. Do đó khẳng định đồng biến trên cả khoảng $\left( { - 1;2} \right)$ là sai.

a) Đúng. Ta có: $\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'}$ và $\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC}$.

Cộng hai vế lại: $\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {A'C} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} } \right) + \left( { - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} } \right) = 2\overrightarrow {AC}$.

b) Sai. Ta có $\overrightarrow {BD} \cdot \overrightarrow {A'B} = \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} } \right) = - {\overrightarrow {AB} ^2} = - {a^2}$.

${\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {A'B} } \right) = \frac{{ - {a^2}}}{{a\sqrt 2 \cdot a\sqrt 2 }} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {A'B} } \right) = 120^\circ$.

c) Sai. Vì $\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {DD'}$ nên $\overrightarrow {AD'} \cdot \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AD'} \cdot \overrightarrow {DD'} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DD'} } \right) \cdot \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {DD'} + {\overrightarrow {DD'} ^2} = 0 + {a^2} = {a^2}$.

d) Đúng. Ta có $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AB}$.

$\overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {C'D} = \left( {\overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} } \right) - \left( { - \overrightarrow {C'C} - \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AB}$.

Tổng lại: $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} = 2\overrightarrow {AB} + \left( { - 2\overrightarrow {AB} } \right) = \vec 0$.

Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng $1$. Khi đó $AB = 1$.

Vì $ABCD$ là tứ diện đều nên tất cả các mặt là tam giác đều cạnh 1.

$DM$ là đường cao trong tam giác đều $BCD$ cạnh 1 $\Rightarrow DM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Ta tính tích vô hướng $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DM}$:

$\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) - \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD}$.

Nhân vô hướng với $\overrightarrow {AB}$: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DM} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD}$.

Vì các mặt là tam giác đều góc $60^\circ$ nên $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 1 \cdot 1 \cdot {\rm{cos}}60^\circ = \frac{1}{2}$; $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 1 \cdot 1 \cdot {\rm{cos}}60^\circ = \frac{1}{2}$; ${\overrightarrow {AB} ^2} = 1$.

Thay vào ta được $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Áp dụng công thức côsin góc giữa hai vectơ: ${\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DM} }}{{AB \cdot DM}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{1 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{6} \approx 0{,}28867$.

Làm tròn đến hàng phần trăm ta được 0,29.

Đáp số: 0,29.

Ta viết lại hàm số dưới dạng: $y = \frac{1}{m}x + \frac{b}{m} + \frac{c}{{mx}}$.

Khi $x \to \infty$, phần $\frac{c}{{mx}} \to 0$, nên tiệm cận xiên là đường thẳng $y = \frac{1}{m}x + \frac{b}{m}$.

Theo giả thiết, hệ số góc của tiệm cận xiên bằng $- \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{m} = - \frac{1}{2} \Rightarrow m = - 2$.

Hàm số trở thành: $y = \frac{{{x^2} + bx + c}}{{ - 2x}}$.

Vì đồ thị $\left( C \right)$ đi qua $A\left( {1;1} \right)$ và $B\left( {5;1} \right)$, ta có

$1 = \frac{{{1^2} + b \cdot 1 + c}}{{ - 2 \cdot 1}} \Rightarrow 1 + b + c = - 2 \Rightarrow b + c = - 3$ (1) và $1 = \frac{{{5^2} + b \cdot 5 + c}}{{ - 2 \cdot 5}} \Rightarrow 25 + 5b + c = - 10 \Rightarrow 5b + c = - 35$ (2).

Trừ phương trình (2) cho phương trình (1): $4b = - 32 \Rightarrow b = - 8$.

Thay $b = - 8$ vào (1): $- 8 + c = - 3 \Rightarrow c = 5$.

Vậy hàm số hoàn chỉnh là: $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 8x + 5}}{{ - 2x}}$.

Tính $f\left( { - 1} \right)$: $f\left( { - 1} \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} - 8 \cdot \left( { - 1} \right) + 5}}{{ - 2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = \frac{{1 + 8 + 5}}{2} = \frac{{14}}{2} = 7$.

Đáp số: 7.

Phương trình vận tốc của vật là đạo hàm bậc nhất của phương trình quãng đường:

$v\left( t \right) = S'\left( t \right) = - {t^2} + 3t - 2$.

Để vận tốc của vật giảm, tức là hàm số $v\left( t \right)$ nghịch biến, ta xét đạo hàm của vận tốc (chính là gia tốc $a\left( t \right)$):

$v'\left( t \right) = - 2t + 3$.

Vận tốc giảm khi $v'\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow - 2t + 3 < 0 \Leftrightarrow t > \frac{3}{2} = 1{,}5$ giây.

Vậy kể từ giây thứ $1{,}5$ trở đi thì vận tốc của vật giảm.

Đáp số: 1,5.

Sơ đồ dây xích được treo từ hai điểm cố định (hai đầu thanh treo) xuống một điểm trên giá đỡ tạo thành mô hình dạng chữ Y ngược hoặc hai đoạn thẳng nối từ hai đầu thanh treo đến vật.

Từ hình vẽ, khoảng cách giữa 2 điểm treo cố định là $3{\rm{\;m}}$. Khoảng cách thẳng đứng xuống thanh đỡ là $1{\rm{\;m}}$. Do tính chất đối xứng, tổng chiều dài dây nhỏ nhất đạt được khi điểm móc ở chính giữa cấu trúc đối xứng.

Đoạn xích gồm 4 nhánh chéo nối từ thanh ngang dài $3{\rm{\;m}}$ xuống trục giữa, và 2 đoạn thẳng đứng đi xuống vật trang trí.

Gọi chiều cao của tam giác cân tạo bởi 2 dây chéo là $h$ ($0 \le h \le 1$). Khi đó phần dây thẳng đứng còn lại là $1 - h$.

Độ dài một nhánh dây chéo (theo định lý Pythagore với nửa cạnh ngang là $1{,}5{\rm{\;m}}$):

${d_{ch\'e o}} = \sqrt {{{\left( {1{,}5} \right)}^2} + {h^2}} = \sqrt {2{,}25 + {h^2}}$.

Tổng độ dài các đoạn xích là: $L\left( h \right) = 2\left( {2\sqrt {2{,}25 + {h^2}} + 1 - h} \right) = 2\left( {\sqrt {9 + 4{h^2}} + 1 - h} \right)$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $L\left( h \right)$ bằng đạo hàm: $L'\left( h \right) = 2\left( {\frac{{4h}}{{\sqrt {9 + 4{h^2}} }} - 1} \right)$.

$L'\left( h \right) = 0 \Leftrightarrow 4h = \sqrt {9 + 4{h^2}} \Leftrightarrow 16{h^2} = 9 + 4{h^2} \Leftrightarrow 12{h^2} = 9 \Leftrightarrow {h^2} = \frac{3}{4} \Rightarrow h = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Giá trị nhỏ nhất của $L$: $L\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = 2\left( {\sqrt {9 + 4 \cdot \frac{3}{4}} + 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = 2\left( {\sqrt {12} + 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = 2 + 3\sqrt 3$.

Tức là $a = 2,b = 3,c = 3 \Rightarrow a + b + c = 8$.

Đáp số: 8.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

Tính đạo hàm: $y' = \frac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 4x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 2x - 4 - {x^2} + 4x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 5}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$.

Hai điểm cực trị ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình tử số: ${x^2} + 2x - 5 = 0$.

Vì $\Delta ' = {1^2} - \left( { - 5} \right) = 6 > 0$ và các nghiệm đều khác $- 1$ (do ${\left( { - 1} \right)^2} + 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 5 = - 6 \ne 0$), phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Theo định lý Vi-ét, tổng hai nghiệm là: ${x_1} + {x_2} = - \frac{2}{1} = - 2$.

Đáp số: −2.

Quan sát hình vẽ trải phẳng của hình hộp chữ nhật:

Chiều rộng của tấm bìa ban đầu là $0{,}9{\rm{\;m}}$. Theo trục dọc, tấm bìa được chia thành các phần gồm: 3 đoạn có độ dài bằng nhau là chiều rộng/chiều cao và 2 đoạn cắt góc $x$. Nhìn vào sơ đồ: chiều dọc $0{,}9{\rm{\;m}}$ gồm có 2 ô vuông cạnh $x$ ở hai góc kẹp giữa một cạnh của hình hộp. Đoạn ở giữa là các mặt hình hộp.

Cụ thể, chiều rộng miếng bìa được chia thành: $x$ + (chiều rộng đáy) + $x = 0{,}9 \Rightarrow$ Chiều rộng đáy hộp là $0{,}9 - 2x$.

Chiều dài của tấm bìa ban đầu là $1{,}5{\rm{\;m}}$. Theo trục ngang, miếng bìa được xếp thành 4 mặt bên tuần hoàn của hình hộp chữ nhật có cùng chiều cao là $x$. Cấu trúc gồm 4 đoạn gấp lại thành chu vi đáy: 2 lần chiều dài đáy và 2 lần chiều rộng đáy.

Do đó: 2 × (chiều dài đáy + chiều rộng đáy) = 1,5.

Biết chiều rộng đáy là $0{,}9 - 2x$, ta tìm được chiều dài đáy bằng $0{,}75 - \left( {0{,}9 - 2x} \right) = 2x - 0{,}15$.

Chiều cao của hình hộp chữ nhật chính là $x$.

Điều kiện của $x$: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x > 0}\\{0{,}9 - 2x > 0}\\{2x - 0{,}15 > 0}\end{array} \Rightarrow 0{,}075 < x < 0{,}45} \right.$.

Thể tích của hình hộp chữ nhật tạo thành là:

$V\left( x \right) = \left( {2x - 0{,}15} \right)\left( {0{,}9 - 2x} \right)x$$= \left( { - 4{x^2} + 2{,}1x - 0{,}135} \right)x = - 4{x^3} + 2{,}1{x^2} - 0{,}135x$.

Tìm $x$ để $V\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất bằng cách lấy đạo hàm:

$V'\left( x \right) = - 12{x^2} + 4{,}2x - 0{,}135$.

Cho $V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 12{x^2} + 4{,}2x - 0{,}135 = 0$.

Giải phương trình bậc hai này ta được hai nghiệm: ${x_1} = 0{,}225$ và ${x_2} = 0{,}12$.

So sánh giá trị hoặc lập bảng biến thiên:

Với $x = 0{,}12$: $V\left( {0{,}12} \right) = \left( {2 \cdot 0{,}12 - 0{,}15} \right)\left( {0{,}9 - 2 \cdot 0{,}12} \right) \cdot 0{,}12 = 0{,}09 \cdot 0{,}66 \cdot 0{,}12 = 0{,}007128{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}$.

Với $x = 0{,}225$: $V\left( {0{,}225} \right) = \left( {2 \cdot 0{,}225 - 0{,}15} \right)\left( {0{,}9 - 2 \cdot 0{,}225} \right) \cdot 0{,}225 = 0{,}3 \cdot 0{,}45 \cdot 0{,}225 = 0{,}030375{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}$.

Vì $V\left( {0{,}225} \right) > V\left( {0{,}12} \right)$, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = 0{,}225{\rm{\;m}}$.

Đáp số: 0,225.