Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 Trường thực nghiệm KHGD (Hà Nội) có đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$, ta xác định được điểm cao nhất của đồ thị có tung độ bằng $3$ tại $x = 3$, do đó giá trị lớn nhất $M = 3$.

Điểm thấp nhất của đồ thị có tung độ bằng $- 2$ tại $x = 2$, do đó giá trị nhỏ nhất $m = - 2$.

Tính giá trị biểu thức: $M + 2m = 3 + 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 3 - 4 = - 1$.

Chọn A.

Nhìn vào dạng đường cong, đây là đồ thị của hàm số bậc ba $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ với nét cuối cùng đi lên từ trái sang phải, suy ra hệ số $a > 0$. Do đó loại phương án B.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $2$, nên khi $x = 0$ thì $y = 2$. Do đó loại phương án D.

Từ đồ thị, ta thấy hàm số có điểm cực đại $x = 0$ và điểm cực tiểu $x = 2$.

Xét phương án C: $y = {x^3} - 3{x^2} + 2 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Tại $x = 0 \Rightarrow y = 2$ (Cực đại); tại $x = 2 \Rightarrow y = {2^3} - 3 \cdot {2^2} + 2 = - 2$ (Cực tiểu). Điều này hoàn toàn trùng khớp với đồ thị hình vẽ.

Chọn C.

Đạo hàm: $y' = 1 \cdot {e^x} + x \cdot {e^x} = \left( {x + 1} \right){e^x}$.

Cho $y' = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right){e^x} = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ (do ${e^x} > 0,\forall x$). Giá trị $x = - 1 \notin \left[ {1;2} \right]$.

Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn $\left[ {1;2} \right]$:

Tại $x = 1 \Rightarrow y\left( 1 \right) = 1 \cdot {e^1} = e$.

Tại $x = 2 \Rightarrow y\left( 2 \right) = 2 \cdot {e^2} = 2{e^2}$.

So sánh hai giá trị, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên $\left[ {1;2} \right]$ bằng $2{e^2}$.

Chọn A.

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $y = x - 5 + \frac{{11}}{{x + 2}}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{11}}{{x + 2}} = 0$, đường thẳng $y = x - 5$ chính là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chọn D.

Nghiệm của phương trình mẫu số là $x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4$.

Tại $x = 4$, tử số bằng $3 \cdot 4 + 1 = 13 \ne 0$.

Do đó, $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{3x + 1}}{{x - 4}} = + \infty$ và $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{3x + 1}}{{x - 4}} = - \infty$. Đường thẳng $x = 4$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$:

Về giá trị lớn nhất (${\rm{max}}$): Tại $x = 2$, giá trị của hàm số đạt cực đại và bằng $4$. Nhìn vào nhánh đi lên và đi xuống, số $4$ là đỉnh cao nhất của đồ thị trên toàn bộ tập xác định $\mathbb{R}$.

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số là $\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = 4$ (đạt được tại $x = 2$).

Về giá trị nhỏ nhất (${\rm{min}}$): Khi $x \to - \infty$, giá trị $y$ tiến về sát $1$ (nhưng không bao giờ bằng $1$). Tương tự, khi $x \to + \infty$, giá trị $y$ cũng giảm dần và tiến về sát $1$.

Vì $1$ chỉ là giới hạn ở vô cực ($\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = 1$) chứ không tồn tại bất kỳ giá trị ${x_0}$ cụ thể nào để $f\left( {{x_0}} \right) = 1$, nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$.

Chọn B.

Đây là đồ thị của hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$.

Nhìn vào hình vẽ, đường tiệm cận đứng là $x = 1$, do đó mẫu số phải có nghiệm bằng $1 \Rightarrow$ loại phương án A và D.

Đường tiệm cận ngang là $y = 2$, hệ số tỉ lệ của tử và mẫu bằng $2$. Cả B và C đều thỏa mãn.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm ($y = - 1$). Thử điểm với phương án B và C:

Với B: $y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = - 1$ (Thỏa mãn).

Với C: $y = \frac{{2x - 5}}{{x - 1}} \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = 5$ (Loại).

Chọn B.

Hàm số đồng biến khi đồ thị đi lên từ trái sang phải.

Nhìn vào đồ thị, đồ thị đi lên trên hai nhánh khoảng hoành độ là $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {4; + \infty } \right)$.

Trong các phương án đưa ra, khoảng $\left( {4; + \infty } \right)$ hoàn toàn thuộc vào miền đi lên của đồ thị hàm số.

Chọn C.

Đồ thị hàm số phân thức có tiệm cận xiên. Đường tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng $x = 2$, suy ra mẫu số phải là $x - 2 \Rightarrow$ loại phương án C và D.

Đồ thị có điểm cực đại tại $x = 1$ với tung độ cực đại tương ứng $y = 1$. Thử tọa độ điểm $\left( {1;1} \right)$ vào hai phương án A và B:

Với A: $y = \frac{{{1^2} - 1 - 1}}{{1 - 2}} = \frac{{ - 1}}{{ - 1}} = 1$ (Thỏa mãn).

Với B: $y = \frac{{ - {1^2} - 1 - 1}}{{1 - 2}} = \frac{{ - 3}}{{ - 1}} = 3 \ne 1$ (Loại).

Chọn A.

Nhìn vào dòng đạo hàm $y'$, ta thấy đạo hàm mang dấu âm (hàm số nghịch biến) trên các khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Chọn B.

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là điểm thấp nhất của thung lũng, có tọa độ là $\left( {2; - 3} \right)$.

Đề bài hỏi “giá trị cực tiểu” tức là hỏi tung độ của điểm cực tiểu này, do đó giá trị cực tiểu bằng $- 3$.

Chọn D.

Tại điểm $x = 1$, đạo hàm $y'$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm này. Do đó, điểm cực đại của hàm số là $x = 1$.

Chọn D.

a) SAI. Đạo hàm đúng phải là $y' = 3{x^2} - 6x$.

b) ĐÚNG. $3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Nghiệm $x = 0$ thuộc đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$.

c) ĐÚNG. Thay vào hàm số: $y\left( 0 \right) = {0^3} - 3 \cdot {0^2} + 1 = 1$; $y\left( 1 \right) = {1^3} - 3 \cdot {1^2} + 1 = - 1$.

d) SAI. Ta có $y\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + 1 = - 3$.

So sánh các giá trị $y\left( { - 1} \right) = - 3$, $y\left( 0 \right) = 1$, $y\left( 1 \right) = - 1$, suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$ phải bằng $- 3$ tại $x = - 1$.

a) ĐÚNG. Tại $x = 2$, cả dòng $y'$ và $y$ đều có ký hiệu hai sọc thể hiện hàm số không xác định tại đây.

b) SAI. Hàm số chỉ có một điểm cực trị duy nhất là điểm cực tiểu $x = 1$ (đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương). c) ĐÚNG. Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0 tại $x = 1$.

d) SAI. Đồ thị có 1 tiệm cận đứng là $x = 2$ (vì $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ - }} y = + \infty$) và 2 tiệm cận ngang là $y = 3$ (vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 3$) và $y = 4$ (vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 4$). Tổng số đường tiệm cận là $3$.

a) SAI. Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Đạo hàm: $y' = \frac{{\left( { - 2x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) - 1 \cdot \left( { - {x^2} + 2x - 4} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$.

Cho $y' = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 4$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Đạo hàm mang dấu dương trên $\left( {0;2} \right)$ và $\left( {2;4} \right)$, do đó hàm số đồng biến trên $\left( {0;2} \right)$ và $\left( {2;4} \right)$. Ở khoảng $\left( {4; + \infty } \right)$ đạo hàm mang dấu âm nên hàm số nghịch biến.

b) SAI. Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}} = 0$.

Phương trình $- {x^2} + 2x - 4 = 0$ vô nghiệm nên đồ thị không cắt trục $Ox$.

c) SAI. Tiệm cận đứng của đồ thị là $x = 2$. Thực hiện phép chia đa thức: $y = - x + \frac{{ - 4}}{{x - 2}}$, suy ra tiệm cận xiên là $y = - x$. Tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên: $x = 2 \Rightarrow y = - 2 \Rightarrow I\left( {2; - 2} \right)$.

d) ĐÚNG. Từ câu a), hai hoành độ cực trị là $x = 0$ và $x = 4$.

Với $x = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow A\left( {0;2} \right)$.

Với $x = 4 \Rightarrow y = - 6 \Rightarrow B\left( {4; - 6} \right)$.

Khoảng cách $AB = \sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 6 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {16 + 64} = \sqrt {80} = 4\sqrt 5$.

a) ĐÚNG. Trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$, toàn bộ đường cong đồ thị của $f'\left( x \right)$ nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên giá trị của nó mang dấu âm.

b) SAI. Đồ thị $f'\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt $x = - 1,x = 1,x = 3$ và đạo hàm đều đổi dấu khi đi qua các điểm này. Do đó hàm số $y = f\left( x \right)$ phải có 3 điểm cực trị.

c) SAI. Từ đồ thị hàm số $f'\left( x \right)$, ta có bảng biến thiên hàm số $y = f\left( x \right)$:

Từ bảng biến thiên, suy ra $\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)$.

d) ĐÚNG. Đặt $g\left( x \right) = f\left( {3 - 2x} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = - 2 \cdot f'\left( {3 - 2x} \right)$.

Để hàm số đồng biến thì $g'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow - 2 \cdot f'\left( {3 - 2x} \right) > 0 \Leftrightarrow f'\left( {3 - 2x} \right) < 0$.

Dựa vào đồ thị, $f'\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow - 1 < t < 1$ hoặc $t > 3$.

Trường hợp 1: $- 1 < 3 - 2x < 1 \Leftrightarrow - 4 < - 2x < - 2 \Leftrightarrow 1 < x < 2$.

Trường hợp 2: $3 - 2x > 3 \Leftrightarrow x < 0$.

Vậy hàm số $y = g\left( x \right) = f\left( {3 - 2x} \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {1;2} \right)$.

Nhìn vào đồ thị, ta thấy đường tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung và đi qua điểm có hoành độ $x = 1$, suy ra tiệm cận đứng là $x = 1$. Phương trình mẫu số bằng $0 \Leftrightarrow x = b$, do đó $b = 1$.

Đường tiệm cận ngang nằm bên trên trục hoành và đi qua điểm có tung độ $y = 2$, suy ra tiệm cận ngang là $y = 2$. Theo công thức tiệm cận ngang của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, ta có $y = a$. Do đó $a = 2$.

Giá trị của biểu thức cần tìm là: $a - 2b = 2 - 2 \cdot 1 = 0$.

Đáp số: 0.

Cho $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1,x = 2,x = - 2$.

Cả 3 nghiệm này đều là các nghiệm đơn (nghiệm bậc một), do đó đạo hàm $f'\left( x \right)$ đều đổi dấu khi đi qua cả 3 điểm này.

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ có đúng $3$ điểm cực trị.

Đáp số: 3.

Tiệm cận đứng của đồ thị nằm bên trái trục tung, do đó hoành độ tiệm cận đứng âm: $x = - \frac{d}{c} < 0 \Rightarrow c$ và $d$ cùng dấu.

Tiệm cận ngang nằm phía trên trục hoành, do đó tung độ tiệm cận ngang dương: $y = \frac{a}{c} > 0$. Vì đề bài cho $a > 0 \Rightarrow c > 0$.

Do $c$ và $d$ cùng dấu và $c > 0 \Rightarrow d > 0$.

Giao điểm của đồ thị với trục tung nằm phía dưới trục hoành, tức là có tung độ âm: khi $x = 0 \Rightarrow y = \frac{b}{d} < 0$. Vì ta đã có $d > 0 \Rightarrow b < 0$.

Kết luận: Trong các số $b,c,d$, có $2$ số dương (đó là $c$ và $d$).

Đáp số: 2.

Phương trình vận tốc tức thời của chất điểm là đạo hàm bậc nhất của hàm vị trí: $v\left( t \right) = S'\left( t \right) = 3{t^2} - 18t + 15$.

Yêu cầu bài toán khảo sát sự tăng/giảm của vận tốc tức thời, tức là ta cần xét dấu đạo hàm của vận tốc (gia tốc): $v'\left( t \right) = 6t - 18$.

Vận tốc giảm khi $v'\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 6t - 18 < 0 \Leftrightarrow t < 3$. Do đó vận tốc giảm trong khoảng từ $0$ đến $3$ giây.

Vận tốc tăng khi $v'\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow 6t - 18 > 0 \Leftrightarrow t > 3$. Do đó vận tốc tăng trong khoảng từ $3$ đến $8$ giây.

Đối chiếu với dữ kiện đề bài, ta suy ra điểm mốc thời gian tách biệt chính là $a = 3$.

Đáp số: 3.

Khảo sát hàm số $P\left( x \right)$ trên $\left[ {0; + \infty } \right)$:

Đạo hàm: $P'\left( x \right) = - \frac{3}{{10}}{x^2} + 12x$.

Cho $P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( { - \frac{3}{{10}}x + 12} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 40$ (thỏa mãn $x \ge 0$).

Qua điểm $x = 40$, đạo hàm $P'\left( x \right)$ đổi dấu từ dương sang âm, do đó hàm số đạt cực đại tại $x = 40$. Đây cũng chính là điểm mà hàm số đạt giá trị lớn nhất trên nửa khoảng $\left[ {0; + \infty } \right)$.

Giá trị lợi nhuận tối đa công ty thu được là:

$P\left( {40} \right) = \frac{{ - {{40}^3}}}{{10}} + 6 \cdot {40^2} + 200 = - 6400 + 9600 + 200 = 3400$ (nghìn USD).

Đáp số: 3400.

Khi cắt bỏ 4 góc mỗi góc một hình vuông cạnh $x$, đáy của hộp tạo thành sẽ là một hình vuông có cạnh dài: $10 - 2x$ (cm). Điều kiện: $x > 0$ và $10 - 2x > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 5$.

Chiều cao của khối hộp không nắp dựng lên chính bằng $x$ (cm).

Công thức tính thể tích khối hộp thu được: $V\left( x \right) = x \cdot {\left( {10 - 2x} \right)^2} = x \cdot \left( {100 - 40x + 4{x^2}} \right) = 4{x^3} - 40{x^2} + 100x$.

Lấy đạo hàm để tìm giá trị cực đại: $V'\left( x \right) = 12{x^2} - 80x + 100$.

Cho $V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4\left( {3{x^2} - 20x + 25} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 5$ (loại vì không thỏa mãn điều kiện) hoặc $x = \frac{5}{3} \approx 1{,}667$ (thỏa mãn).

Lập bảng biến thiên trên khoảng $\left( {0;5} \right)$, ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm $x = \frac{5}{3}$.

Làm tròn kết quả đến hàng phần chục theo yêu cầu đề bài: $x \approx 1{,}7$ cm.

Đáp số: 1,7.