Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 THPT Yên Viên (Hà Nội) có đáp án

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}$.

Đạo hàm: $y' = \frac{{\left( {4x + 6} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {2{x^2} + 6x + 50} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{4{x^2} + 18x + 18 - 2{x^2} - 6x - 50}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} + 12x - 32}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}$.

Giải phương trình $y' = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} + 12x - 32 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 2}\\{x = - 8}\end{array}} \right.$.

Xét dấu $y'$: Hàm số nghịch biến khi $y' < 0 \Leftrightarrow 2{x^2} + 12x - 32 < 0 \Leftrightarrow - 8 < x < 2$.

Kết hợp điều kiện $x \ne - 3$, hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - 8; - 3} \right)$ và $\left( { - 3;2} \right)$. Đối chiếu các phương án, khoảng $\left( { - 3;2} \right)$ thỏa mãn. Chọn A.

Đạo hàm: $y' = 3{x^2} - 3x - 6$.

Giải $y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.$.

Lập bảng biến thiên trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$, ta thấy hàm số đồng biến từ $- \infty$ tăng lên đến giá trị tại điểm biên $x = - 1$.

Tại $x = - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^3} - \frac{{3 \cdot {{\left( { - 1} \right)}^2}}}{2} - 6 \cdot \left( { - 1} \right) - 4 = - 1 - \frac{3}{2} + 6 - 4 = - \frac{1}{2}$. Do đó $\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left( { - \infty ; - 1} \right)} y = - \frac{1}{2}$. Chọn C.

Ta biến đổi phương trình: $4f\left( x \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = - \frac{3}{4}$.

Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và đường thẳng nằm ngang $y = - \frac{3}{4}$. Dựa vào hình vẽ, đường thẳng này nằm dưới trục hoành và chỉ cắt đồ thị tại đúng $1$ điểm duy nhất ở nhánh bên phải, do đó phương trình có $1$ nghiệm. Chọn B.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 6 \right\}$.

Đạo hàm: $y' = \frac{{\left( {4x - 12} \right)\left( {x - 6} \right) - \left( {2{x^2} - 12x + 8} \right)}}{{{{\left( {x - 6} \right)}^2}}} = \frac{{4{x^2} - 36x + 72 - 2{x^2} + 12x - 8}}{{{{\left( {x - 6} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 24x + 64}}{{{{\left( {x - 6} \right)}^2}}}$.

Giải $y' = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 24x + 64 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 8}\\{x = 4}\end{array}} \right.$.

Lập bảng xét dấu đạo hàm $y'$:

Qua điểm $x = 4$, $y'$ đổi dấu từ dương sang âm nên $x = 4$ là điểm cực đại.

Qua điểm $x = 8$, $y'$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x = 8$ là điểm cực tiểu của hàm số. Chọn A.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{4}{9}} \right\}$.

Đạo hàm: $y' = \frac{{ - 7 \cdot 4 - 6 \cdot 9}}{{{{\left( {9x + 4} \right)}^2}}} = \frac{{ - 82}}{{{{\left( {9x + 4} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D$.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định là $\left( { - \infty ; - \frac{4}{9}} \right)$ và $\left( { - \frac{4}{9}; + \infty } \right)$. Do khoảng $\left( {3; + \infty } \right)$ là tập con của khoảng $\left( { - \frac{4}{9}; + \infty } \right)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {3; + \infty } \right)$. Chọn A.

Xét phương trình mẫu số: ${x^2} - 15x + 54 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 9}\\{x = 6}\end{array}} \right.$.

Với $x = 6$, thế vào tử số ta được $2 \cdot 6 - 12 = 0$. Khử dạng vô định:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{2\left( {x - 6} \right)}}{{\left( {x - 6} \right)\left( {x - 9} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{2}{{x - 9}} = \frac{2}{{6 - 9}} = - \frac{2}{3} \ne \pm \infty$.

(vậy $x = 6$ không phải tiệm cận đứng).

Với $x = 9$, tử số bằng $2 \cdot 9 - 12 = 6 \ne 0$, do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} y = \pm \infty$. Vậy đồ thị hàm số chỉ có duy nhất $1$ đường tiệm cận đứng là $x = 9$. Chọn B.

Từ BBT, ta rút ra các nhận xét sau:

Đồ thị có một đường tiệm cận đứng tại điểm hàm số không xác định là $x = 3$. Do đó, mẫu số $mx + n = 0$ tại $x = 3 \Rightarrow 3m + n = 0 \Rightarrow n = - 3m$.

Tại $x = 1$, ta có $y = 1$ và $y' = 0$.

Tại $x = 5$, ta có $y = - 7$ và $y' = 0$.

Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty$. Mà $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{a{x^2}}}{{mx}} = {\rm{l}}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{a}{m}x$. Để giới hạn này ra $- \infty$ khi $x \to + \infty$ thì $\frac{a}{m} < 0$, nghĩa là $a$ và $m$ trái dấu.

a) Sai.Từ BBT, đường tiệm cận xiên là đạo hàm khi chia tử cho mẫu: $y = \frac{a}{m}x + \ldots$. Đường thẳng nối hai điểm cực trị $\left( {1;1} \right)$ và $\left( {5; - 7} \right)$ có phương trình là $y = - 2x + 3$. Trong hàm bậc hai trên bậc nhất, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là $y = \frac{{{{\left( {a{x^2} + b,x + c} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {mx + n} \right)}^\prime }}} = \frac{{2ax + b}}{m}$.

Từ hệ phương trình các cực trị, ta tìm được một bộ số cụ thể thỏa mãn BBT (nhánh đồ thị đi xuống, tiệm cận đứng $x = 3$): Chọn $m = 1 \Rightarrow n = - 3$. Khi đó $a < 0$, giải ra hàm số cụ thể là $y = \frac{{ - {x^2} + 4x - 1}}{{x - 3}}$. Lúc này $c = - 1$ và $n = - 3$ cùng dấu. Do đó phát biểu “luôn trái dấu” là Sai.

b) Đúng. Ta có $3m + n = 0 \Rightarrow n = - 3m$, suy ra $n$ và $m$ trái dấu. Mà từ giới hạn, ta đã chứng minh $a$ và $m$ trái dấu. Do đó, $a$ và $n$ bắt buộc phải cùng dấu.

c) Đúng. Nhìn vào hàng $y'$, ta thấy $y' = 0$ tại hai điểm phân biệt là $x = 1$ và $x = 5$.

d) Đúng. Tại $x = 1$, giá trị của hàm số là $y\left( 1 \right) = 1$. Thay $x = 1$ vào công thức hàm số:

$y\left( 1 \right) = \frac{{a \cdot {1^2} + b \cdot 1 + c}}{{m \cdot 1 + n}} = \frac{{a + b + c}}{{m + n}} = 1 \Rightarrow a + b + c = m + n$.

a) Đúng.Trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$, ta thấy $f'\left( x \right) > 0$, do đó hàm số đồng biến.

b) Sai. Đặt $g\left( x \right) = f\left( {5 - 5x} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = {\left( {5 - 5x} \right)^\prime } \cdot f'\left( {5 - 5x} \right) = - 5 \cdot f'\left( {5 - 5x} \right)$.

Để hàm số đồng biến thì $g'\left( x \right) > 0 \Rightarrow - 5 \cdot f'\left( {5 - 5x} \right) > 0 \Rightarrow f'\left( {5 - 5x} \right) < 0$.

Dựa vào bảng xét dấu, $f'\left( t \right) < 0$ khi $t \in \left( { - 5; - 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)$.

Trường hợp 1: $- 5 < 5 - 5x < - 2 \Rightarrow - 10 < - 5x < - 7 \Rightarrow \frac{7}{5} < x < 2$.

Trường hợp 2: $5 - 5x > 0 \Rightarrow - 5x > - 5 \Rightarrow x < 1$.

Khoảng đề bài cho là $\left( {1;\frac{7}{5}} \right)$ không nằm trong các khoảng làm cho hàm số đồng biến (thực tế trên khoảng này $f'\left( {5 - 5x} \right) > 0 \Rightarrow g'\left( x \right) < 0$ nên hàm số nghịch biến). Do đó phát biểu này Sai.

c) Sai. Tại $x = - 5$, $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ $\left( + \right)$ sang $\left( - \right)$ khi đi qua điểm này, nên $x = - 5$ là điểm cực đại.

d) Sai. Hàm số đạt cực trị khi $g'\left( x \right) = 0 \Rightarrow f'\left( {5 - 5x} \right) = 0$.

Từ bảng xét dấu, $f'\left( t \right) = 0$ tại $t = - 5,t = - 2,t = 0$.

Xét $5 - 5x = - 2 \Rightarrow - 5x = - 7 \Rightarrow x = \frac{7}{5}$.

Xét $5 - 5x = - 5 \Rightarrow x = 2$.

Xét $5 - 5x = 0 \Rightarrow x = 1$.

Giá trị $x = \frac{{17}}{{10}} = 1{,}7$ không phải là nghiệm của phương trình $g'\left( x \right) = 0$. Do đó phát biểu này Sai.

Ta có $y = \frac{{4 - 4x}}{{ - 8x - 4}} = \frac{{ - 4x + 4}}{{ - 8x - 4}} = \frac{{x - 1}}{{2x + 1}}$.

Tiệm cận đứng (TCĐ): Mẫu số $2x + 1 = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{2}$.

Tiệm cận ngang (TCN): Hệ số của $x$ ở tử chia mẫu: $y = \frac{1}{2}$.

a) Đúng. Tâm đối xứng của hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất là giao điểm của hai đường tiệm cận:

.

b) Đúng.

c) Sai.

Các đường thẳng tạo nên hình chữ nhật là: hai trục tọa độ ($x = 0,y = 0$) và hai tiệm cận ($x = - \frac{1}{2},y = \frac{1}{2}$).

Chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là: $\left| { - \frac{1}{2}} \right| = \frac{1}{2}$ và $\left| {\frac{1}{2}} \right| = \frac{1}{2}$.

Diện tích $S = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Đề bài ghi $\frac{1}{8}$ nên phát biểu này Sai.

d) Sai.Tiệm cận ngang đúng phải là $y = \frac{1}{2}$.

Cho hàm số $y = {x^3} - 12{x^2} + 45x - 2$.

Ta tính đạo hàm: $y' = 3{x^2} - 24x + 45$.

Cho $y' = 0 \Rightarrow 3{x^2} - 24x + 45 = 0 \Rightarrow x = 3$ hoặc $x = 5$.

Xét dấu:

Khoảng $\left( { - \infty ;3} \right)$: $y' > 0$ (đồng biến)

Khoảng $\left( {3;5} \right)$: $y' < 0$ (nghịch biến)

Khoảng $\left( {5; + \infty } \right)$: $y' > 0$ (đồng biến)

Các giá trị cực trị:

$y\left( 3 \right) = {3^3} - 12 \cdot {3^2} + 45 \cdot 3 - 2 = 52$ (Giá trị cực đại);

$y\left( 5 \right) = {5^3} - 12 \cdot {5^2} + 45 \cdot 5 - 2 = 48$ (Giá trị cực tiểu).

Xét tính đúng sai:

a) Sai. Đạo hàm đúng phải là $y' = 3{x^2} - 24x + 45$.

b) Đúng. Trên khoảng $\left( {3; + \infty } \right)$, hàm số nghịch biến từ $x = 3$ đến $x = 5$ (giảm từ 52 xuống 48), sau đó đồng biến từ $x = 5$ đến $+ \infty$ (tăng từ 48 lên $+ \infty$). Do đó điểm thấp nhất trên nửa khoảng này đạt được tại $x = 5$ với giá trị cực tiểu $y = 48$.

c) Sai. Giá trị cực đại của hàm số là $y = 52$ (tại $x = 3$). Giá trị $48$ là giá trị cực tiểu.

d) Sai. Trên khoảng $\left( { - \infty ;3} \right)$, $y' > 0$ nên hàm số đồng biến.

Viết lại hàm số dưới dạng chuẩn: $f\left( x \right) = \frac{{ - x + 2}}{{x - m}}$.

Đạo hàm: $y' = \frac{{\left( { - 1} \right) \cdot \left( { - m} \right) - 2 \cdot 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} = \frac{{m - 2}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}$.

Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {21; + \infty } \right)$ thì ta phải đồng thời thỏa mãn đạo hàm dương và điểm gián đoạn không thuộc khoảng xét, tức là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{y' > 0}\\{m \notin \left( {21; + \infty } \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m - 2 > 0}\\{m \le 21}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 2 < m \le 21$.

Do $m$ là số nguyên và nằm trong khoảng $\left( { - 160;160} \right)$ nên các giá trị thỏa mãn bao gồm: $m \in \left\{ {3;4;5; \ldots ;21} \right\}$.

Số lượng các giá trị nguyên thu được là: $21 - 3 + 1 = 19$ giá trị.

Đáp số: 19.

Từ đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left( { - 1;0} \right),\left( {0;4} \right),\left( {1;2} \right),\left( {2;0} \right)$, lần lượt thay vào hàm số, ta được

$\left\{ \begin{array}{l} - a + b - c + d = 0\\d = 4\\a + b + c + d = 2\\8a + 4b + 2c + d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\\c = 0\\d = 4\end{array} \right.$.

Vậy $T = a + 2b + 3c + 4d = 11$.

Đáp số: 11.

Đạo hàm: $y' = - 3{x^2} - 27x - 60$.

Giải phương trình $y' = 0 \Leftrightarrow - 3\left( {{x^2} + 9x + 20} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 4}\\{x = - 5}\end{array}} \right.$.

Vì hệ số bậc cao nhất $a = - 1 < 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = - 5$ và đạt cực đại tại điểm $x = - 4$.

Giá trị cực tiểu: ${y_1} = y\left( { - 5} \right) = - {\left( { - 5} \right)^3} - \frac{{27 \cdot {{\left( { - 5} \right)}^2}}}{2} - 60 \cdot \left( { - 5} \right) + 1 = \frac{{177}}{2} = 88{,}5$.

Giá trị cực đại: ${y_2} = y\left( { - 4} \right) = - {\left( { - 4} \right)^3} - \frac{{27 \cdot {{\left( { - 4} \right)}^2}}}{2} - 60 \cdot \left( { - 4} \right) + 1 = 89$.

Vậy $P = - 2{y_1} + 4{y_2} = - 2 \cdot 88{,}5 + 4 \cdot 89 = 179$.

Đáp số: 179.

Đường tiệm cận đứng là nghiệm của mẫu số: $x = 3$.

Tìm tiệm cận xiên bằng cách chia tử số cho mẫu số: $y = x + 4 + \frac{1}{{x - 3}}$. Vậy tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x + 4$.

Đa giác được giới hạn bởi các đường tiệm cận và hai trục tọa độ ($x = 0$ và $y = 0$) tạo thành một hình thang vuông có bốn đỉnh tọa độ là $O\left( {0;0} \right)$, $A\left( {3;0} \right)$, $B\left( {3;7} \right)$, $C\left( {0;4} \right)$.

Tính diện tích hình thang vuông $OABC$: $S = \frac{{\left( {OC + AB} \right) \cdot OA}}{2} = \frac{{\left( {4 + 7} \right) \cdot 3}}{2} = \frac{{33}}{2} = 16{,}5$.

Đáp số: 16,5.

Đặt biến phụ $x = {t^2}$, vì $t \in \left[ {0;8} \right] \Rightarrow x \in \left[ {0;64} \right]$. Hàm số vận tốc đưa về dạng: $f\left( x \right) = {x^2} - 24x + 263$.

Lấy đạo hàm theo biến $x$: $f'\left( x \right) = 2x - 24 = 0 \Leftrightarrow x = 12$ (thỏa mãn thuộc đoạn $\left[ {0;64} \right]$).

Tính giá trị tại điểm cực trị và các biên để so sánh:

$f\left( 0 \right) = 263$;

$f\left( {12} \right) = {12^2} - 24\left( {12} \right) + 263 = 144 - 288 + 263 = 119$;

$f\left( {64} \right) = {64^2} - 24\left( {64} \right) + 263 = 2823$.

So sánh các giá trị trên, ta kết luận vận tốc nhỏ nhất thu được của chất điểm bằng $119$ m/s.

Đáp số: 119.

Gọi số lượng máy phay nhà xưởng đưa vào vận hành là $k$ máy ($k \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}$).

Tổng năng suất sản xuất của tất cả các máy trong một giờ là: $10k$ bo mạch/giờ.

Thời gian để hoàn thành toàn bộ khối lượng đơn hàng là: $t = \frac{{31250}}{{10k}} = \frac{{3125}}{k}$ giờ.

Xác định tổng chi phí vận hành (quy đổi theo đơn vị triệu đồng):

$C\left( k \right) = 3k + 0{,}6 \cdot t = 3k + 0{,}6 \cdot \frac{{3125}}{k} = 3k + \frac{{1875}}{k}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ hai số dương $3k$ và $\frac{{1875}}{k}$:

$C\left( k \right) \ge 2\sqrt {3k \cdot \frac{{1875}}{k}} = 2\sqrt {5625} = 2 \cdot 75 = 150$.

Chi phí đạt giá trị nhỏ nhất bằng 150 triệu đồng khi và chỉ khi dấu đẳng thức xảy ra:

$3k = \frac{{1875}}{k} \Leftrightarrow 3{k^2} = 1875 \Leftrightarrow {k^2} = 625 \Leftrightarrow k = 25$.

Vậy xưởng cần vận hành đúng $25$ máy phay để tối ưu hóa chi phí thấp nhất.

Đáp số: 25.