Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 THPT Nguyễn Hữu Huân (TP.HCM) có đáp án

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm $f'\left( x \right) > 0$ trên các khoảng $\left( { - 3;0} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$. Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - 3;0} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$.

Đối chiếu với các phương án lựa chọn, khoảng $\left( { - 3;0} \right)$ là phương án chính xác.

Chọn đáp án: C

Ta tính giới hạn của hàm số khi $x$ tiến ra vô cực: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = 2$.

Theo định nghĩa, đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn đáp án: C

Bộ ba số đứng trước các vectơ đơn vị $\vec i,\vec j,\vec k$ lần lượt là hoành độ, tung độ và cao độ của vectơ $\vec a$.

Vì $\vec a = - 1\vec i + 2\vec j - 3\vec k$ nên tọa độ của $\vec a$ là $\left( { - 1;2; - 3} \right)$.

Chọn đáp án: A

Vì $ABCD$ là tứ diện đều cạnh $a$ nên tam giác $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Do đó, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ là $\widehat {BAC} = 60^\circ$.

Áp dụng công thức tích vô hướng: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = {a^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}$.

Chọn đáp án: A

Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$, mặt bên $ABB'A'$ và các mặt đối diện có các cạnh song song và bằng nhau.

Cụ thể, tứ giác $CDD'C'$ và $ABCD$ là các hình chữ nhật, ta có cạnh $AB$ song song và bằng cạnh $D'C'$, đồng thời vectơ $\overrightarrow {AB}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow {D'C'}$. Do đó, $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {D'C'}$.

Chọn đáp án: A

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số, ta thấy:

- Trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$, đạo hàm $y' > 0$ và đi lên tới $2$ (vị trí không xác định tại $x = - 1$).
- Trên khoảng $\left( { - 1; + \infty } \right)$, đạo hàm $y'$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm $x = 3$.

Do $y'$ chỉ đổi dấu duy nhất một lần từ âm sang dương khi qua điểm $x = 3$ (hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3$), nên hàm số đã cho có đúng 1 điểm cực trị.

Chọn đáp án: D

Xét hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 5{x^2} + 4$ liên tục trên đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$.

Ta có đạo hàm: $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 10x$.

Giải phương trình $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( {3x - 10} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \frac{{10}}{3}$.

- Giá trị $x = 0$ thuộc đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$.
- Giá trị $x = \frac{{10}}{3} \approx 3{,}33$ không thuộc đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$.

Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và điểm tới hạn:

- $f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 5 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + 4 = - 1 - 5 + 4 = - 2$.
- $f\left( 0 \right) = {0^3} - 5 \cdot {0^2} + 4 = 4$.
- $f\left( 3 \right) = {3^3} - 5 \cdot {3^2} + 4 = 27 - 45 + 4 = - 14$.

So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$ là $4$ tại $x = 0$.

Chọn đáp án: A

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Đạo hàm: $y' = 3{x^2} - 3$.

Giải phương trình $y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = - 1$.

Xét dấu đạo hàm ta thấy đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua điểm $x = - 1$.

Vậy điểm cực đại của hàm số là ${x_0} = - 1$.

Chọn đáp án: B

Quan sát đồ thị chuyển động của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { - 3;2} \right]$ thông qua bảng biến thiên:

- Tại $x = - 3$, giá trị $f\left( { - 3} \right) = - 2$.
- Hàm số tăng lên $3$ tại $x = - 1$, sau đó giảm xuống $0$ tại $x = 0$, rồi tăng lên $2$ tại $x = 1$ và giảm xuống $1$ tại $x = 2$.

Trong toàn bộ các giá trị của $f\left( x \right)$ trên đoạn này, giá trị thấp nhất là $- 2$.

Chọn đáp án: C

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy nét đồ thị đi xuống từ trái sang phải trên khoảng của biến $x$ từ $1$ đến $3$. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {1;3} \right)$.

Xét các phương án bài cho, vì khoảng $\left( {1;2} \right)$ là khoảng con của $\left( {1;3} \right)$ nên hàm số cũng nghịch biến trên khoảng $\left( {1;2} \right)$.

Chọn đáp án: A

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Tính đạo hàm: $y' = \frac{{\left( {4x - 7} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {2{x^2} - 7x + 7} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{4{x^2} - 11x + 7 - 2{x^2} + 7x - 7}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$.

Giải $y' = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

Lập bảng xét dấu đạo hàm $y'$, ta thấy qua điểm $x = 2$, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương. Do đó, $x = 2$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Giá trị cực tiểu của hàm số là: ${y_{{\rm{ct}}}} = y\left( 2 \right) = \frac{{2 \cdot {2^2} - 7 \cdot 2 + 7}}{{2 - 1}} = \frac{{8 - 14 + 7}}{1} = 1$.

Chọn đáp án: D

Hình chiếu vuông góc của một điểm lên mặt phẳng tọa độ $\left( {Oxy} \right)$ sẽ giữ nguyên hoành độ $x$, tung độ $y$ và đặt cao độ $z = 0$.

Với $A\left( { - 1;3;2} \right)$, hình chiếu vuông góc của $A$ lên $\left( {Oxy} \right)$ là điểm có tọa độ $\left( { - 1;3;0} \right)$.

Chọn đáp án: C

Từ giả thiết hệ trục tọa độ đặt tại các cạnh của hình hộp chữ nhật:

- Điểm $B \in Ox \Rightarrow B\left( {3;0;0} \right)$.
- Điểm $D \in Oy \Rightarrow D\left( {0;4;0} \right)$.
- Điểm $O' \in Oz \Rightarrow O'\left( {0;0;5} \right)$.

Điểm $C$ nằm trong mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ và là đỉnh đối diện với $O$ trong hình chữ nhật $OBCD$, do đó $C\left( {3;4;0} \right)$.

Điểm $C'$ thẳng đứng phía trên điểm $C$ theo phương trục $Oz$ với độ cao bằng $OO' = 5$. Vậy tọa độ điểm $C'$ là $\left( {3;4;5} \right)$.

Chọn đáp án: C

- Với hàm số $y = {x^2} - x$, đây là hàm số bậc hai (đồ thị là một parabol có đỉnh), đạo hàm $y' = 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ và đổi dấu khi đi qua điểm này. Do đó hàm số này có 1 điểm cực trị.
- Các hàm số còn lại đều có đạo hàm luôn dương hoặc luôn âm trên các khoảng xác định nên không có cực trị.

Chọn đáp án: B

Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn $\left[ { - 2;3} \right]$:

- Điểm cao nhất trên đồ thị có tung độ bằng $4$ (đạt tại $x = - 1$), suy ra giá trị lớn nhất $M = 4$.
- Điểm thấp nhất trên đồ thị có tung độ bằng $- 3$ (đạt tại $x = - 2$), suy ra giá trị nhỏ nhất $m = - 3$.

Thay vào biểu thức: $2m - 3M = 2 \cdot \left( { - 3} \right) - 3 \cdot 4 = - 6 - 12 = - 18$.

Chọn đáp án: C

a) SAI: Điểm $H$ nằm trên trục $Oy$, do đó vectơ $\overrightarrow {OH}$ phải cùng phương với vectơ đơn vị $\vec j$ chứ không phải $\vec i$.

b) ĐÚNG: Điểm $A$ nằm trên trục cao $Oz$ và có độ cao cách gốc $O$ là $10{\rm{\;m}}$, do đó tọa độ của $A$ là $\left( {0;0;10} \right)$.

c) SAI: Xét điểm $B$ thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có độ dài $OB = 15{\rm{\;m}}$ và góc hợp bởi $OB$ với trục $Oy$ bằng $30^\circ$.

Hoành độ của $B$: ${x_B} = OB \cdot \sin 30^\circ = 15 \cdot \frac{1}{2} = \frac{{15}}{2}$.

Tung độ của $B$: ${y_B} = OB \cdot \cos 30^\circ = 15 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy $\overrightarrow {OB} = \frac{{15}}{2}\vec i + \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\vec j$.

d) ĐÚNG: Tọa độ điểm $B$ là $\left( {\frac{{15}}{2};\frac{{15\sqrt 3 }}{2};0} \right)$ và điểm $A\left( {0;0;10} \right)$. Do đó $\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{{15}}{2};\frac{{15\sqrt 3 }}{2}; - 10} \right)$.

a) ĐÚNG: Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AD$.

Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ nên có $\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SDA} = 60^\circ$.

b) SAI: Theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$. Độ dài của vectơ này chính là độ dài đường chéo hình vuông $AC = a\sqrt 2$, không phải $2a\sqrt 2$.

c) ĐÚNG: Ta phân tích: $\overrightarrow {DS} \cdot \overrightarrow {DA} = \left( {\overrightarrow {AS} - \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( { - \overrightarrow {AD} } \right) = - \overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {AD} + {\overrightarrow {AD} ^2}$.

Vì $SA \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {AD} = 0$. Suy ra $\overrightarrow {DS} \cdot \overrightarrow {DA} = A{D^2} = {a^2}$.

d) SAI: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa đặt gốc tại $A$ và $B,D,S$ lần lượt thuộc các tia $Ox,Oy,Oz$ khi đó ta xác định được: $A\left( {0;0;0} \right)$, $B\left( {a;0;0} \right)$, $D\left( {0;a;0} \right)$, $S\left( {0;0;a\sqrt 3 } \right)$, $C\left( {a;a;0} \right)$.

Vì $O$ là trung điểm của $AC$ nên $O\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};0} \right)$. Ta có $\overrightarrow {SO} = \left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2}; - a\sqrt 3 } \right)$.

Vì $M$ là trung điểm của $SC$ nên $M\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)$. Ta có $\overrightarrow {AM} = \left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)$.

Khi đó $\cos \left( {\overrightarrow {SO} ,\overrightarrow {AM} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SO} \cdot \overrightarrow {AM} }}{{\left| {\overrightarrow {SO} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AM} } \right|}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{3{a^2}}}{2}}}{{\sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} + 3{a^2}} \cdot \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4}} }} = - \frac{{2\sqrt {70} }}{{35}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {35} }}$.

a) ĐÚNG: Điều kiện xác định là mẫu số $x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1$.

b) ĐÚNG: Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = + \infty$.

c) SAI: Ta có $y = x - 1 - \frac{2}{{x + 1}}$. Khi $x \to \pm \infty$, thành phần $\frac{2}{{x + 1}} \to 0$. Do đó đường tiệm cận xiên phải có phương trình là $y = x - 1$.

d) SAI: Tìm giao điểm của tiệm cận đứng $x = - 1$ và tiệm cận xiên $y = x - 1$. Thay $x = - 1$ vào phương trình tiệm cận xiên ta được $y = - 1 - 1 = - 2$. Giao điểm đúng phải là $I\left( { - 1; - 2} \right)$.

Theo bài ra, trọng lực $\vec P$ tác dụng lên máy quay được phân bố thành ba lực ${\vec F_1},{\vec F_2},{\vec F_3}$ dọc theo ba chân của giá đỡ, do đó ta có mối quan hệ vectơ: $\vec P = {\vec F_1} + {\vec F_2} + {\vec F_3}$.

Do tính chất đối xứng và độ lớn của ba lực bằng nhau ($\left| {{{\vec F}_1}} \right| = \left| {{{\vec F}_2}} \right| = \left| {{{\vec F}_3}} \right| = F$), góc giữa các cặp lực này đều bằng nhau và bằng góc giữa các chân của giá đỡ: $\left( {{{\vec F}_1},{{\vec F}_2}} \right) = \left( {{{\vec F}_2},{{\vec F}_3}} \right) = \left( {{{\vec F}_3},{{\vec F}_1}} \right) = 60^\circ$.

Khi đó tích vô hướng giữa các cặp vectơ lực: ${\vec F_1} \cdot {\vec F_2} = {\vec F_2} \cdot {\vec F_3} = {\vec F_3} \cdot {\vec F_1} = F \cdot F \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2}{F^2}$.

Bình phương độ lớn của tổng ba lực:

${\left| {\vec P} \right|^2} = {\left( {{{\vec F}_1} + {{\vec F}_2} + {{\vec F}_3}} \right)^2}$$\Leftrightarrow {P^2} = \vec F_1^2 + \vec F_2^2 + \vec F_3^2 + 2\left( {{{\vec F}_1} \cdot {{\vec F}_2} + {{\vec F}_2} \cdot {{\vec F}_3} + {{\vec F}_3} \cdot {{\vec F}_1}} \right)$

$\Leftrightarrow {200^2} = {F^2} + {F^2} + {F^2} + 2\left( {\frac{1}{2}{F^2} + \frac{1}{2}{F^2} + \frac{1}{2}{F^2}} \right)$$\Leftrightarrow {F^2} = \frac{{20000}}{3}$.

Vậy độ lớn của lực ${F_1}$: ${F_1} = F = \sqrt {\frac{{20000}}{3}} = \frac{{100\sqrt 6 }}{3} \approx 81{,}6{\rm{\;}}\left( {\rm{N}} \right)$.

Đáp án: 81,6.

Gọi $P$ là điểm trên bờ sông mà anh Ba chèo thuyền cập bến, đặt $OP = x{\rm{\;km}}$ với $0 \le x \le 8$.

- Quãng đường chèo thuyền dưới nước: $AP = \sqrt {O{A^2} + O{P^2}} = \sqrt {{3^2} + {x^2}} = \sqrt {{x^2} + 9}$.
- Quãng đường chạy bộ trên bờ: $PB = 8 - x$.

Tổng thời gian di chuyển (tính bằng giờ) là: $T\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{6} + \frac{{8 - x}}{{10}}$.

Lấy đạo hàm tìm giá trị nhỏ nhất: $T'\left( x \right) = \frac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{{10}}$.

Giải phương trình $T'\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 9} }} = \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow 10x = 6\sqrt {{x^2} + 9} \Leftrightarrow 5x = 3\sqrt {{x^2} + 9}$.

Bình phương hai vế: $25{x^2} = 9\left( {{x^2} + 9} \right) \Leftrightarrow 16{x^2} = 81 \Rightarrow x = \frac{9}{4} = 2{,}25{\rm{\;km}}$.

Thay $x = 2{,}25$ vào hàm thời gian: $T\left( {2{,}25} \right) = \frac{{\sqrt {2,{{25}^2} + 9} }}{6} + \frac{{8 - 2{,}25}}{{10}} = 1{,}2$ (giờ).

Đổi ra phút: $1{,}2 \times 60 = 72{\rm{\;phút}}$.

Đáp án: 72.

Tàu lượn đi xuống khi hàm số độ cao nghịch biến, tức là đạo hàm $h'\left( t \right) < 0$.

Ta tính đạo hàm: $h'\left( t \right) = - \frac{{12}}{{255}}{t^2} + \frac{{98}}{{85}}t - \frac{{98}}{{17}} = - \frac{4}{{85}}{t^2} + \frac{{98}}{{85}}t - \frac{{490}}{{85}}$.

Do đó $h'\left( t \right) = 0$$\Leftrightarrow - 4{t^2} + 98t - 490 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < 7\\t > \frac{{35}}{2} = 17{,}5\end{array} \right.{\rm{\;}}$.

Kết hợp với điều kiện $0 \le t \le 20$ ta được các khoảng tàu lượn đi xuống là $\left( {0;7} \right)$ và $\left( {17{,}5;20} \right)$.

Tổng thu được: $a + b + c + d = 0 + 7 + 17{,}5 + 20 = 44{,}5$.

Đáp án: 44,5.

Ta tính đạo hàm của hàm hợp $g\left( x \right)$: $g'\left( x \right) = 4 \cdot f'\left( {3 + 4x} \right)$.

Hàm số $g\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại các điểm mà đạo hàm $g'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương.

Dựa vào đồ thị đạo hàm $f'\left( x \right)$ bài cho, ta thấy $f'\left( x \right)$ cắt trục hoành và đổi dấu từ âm sang dương tại hai điểm là $x = - 3$ và $x = 2$.

Do đó, để $g\left( x \right)$ đạt cực tiểu thì:

- Trường hợp 1: $3 + 4x = - 3 \Leftrightarrow 4x = - 6 \Leftrightarrow = - 1{,}5$.
- Trường hợp 2: $3 + 4x = 2 \Leftrightarrow 4x = - 1 \Leftrightarrow x = - 0{,}25$.

Theo giả thiết $a < b$, suy ra $a = - 1{,}5$ và $b = - 0{,}25$.

Hiệu cần tính là: $a - b = - 1{,}5 - \left( { - 0{,}25} \right) = - 1{,}25 \approx - 1{,}3$.

Đáp án: -1,3.