Đề thi Giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức (có đáp án) - Đề 8

Chọn B

$OM = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 3)}^2}} = \sqrt {14}$.

Chọn A

Hình chiếu vuông góc của điểm $M(2;1; - 1)$ trên mặt phẳng $(Ozx)$có tọa độ là $M' = \left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)$.

Chọn C

Vectơ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ sẽ cùng phương với $\left[ {\overrightarrow u \,,\,\overrightarrow v } \right]$.

Ta có $\left[ {\overrightarrow u \,,\,\overrightarrow v } \right] = \left( {1\,;\,3\,;\,5} \right)$.

Ta thấy $- 2\left[ {\overrightarrow u \,,\,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 2\,;\, - 6\,;\, - 10} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {{w_1}} = - 2\left[ {\overrightarrow u \,,\,\overrightarrow v } \right]$.

Vậy $\overrightarrow {{w_1}} = \left( { - 2\,;\, - 6\,;\, - 10} \right)$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$.

Chọn D

Ta có $y' = 3{x^2} + 6x$$\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D.

Chọn D

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 2$ $\Rightarrow$ $y = 2$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 5$ $\Rightarrow$ $y = 5$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang.

Chọn C

Nhìn vào đồ thị ta thấy:

$M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2\,;\,2} \right]} f\left( x \right) = - 1$ khi $x = - 1$ hoặc $x = 2$.

$m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2\,;\,2} \right]} f\left( x \right) = - 5$ khi $x = - 2$ hoặc $x = 1$.

Chọn A

Gọi $Q\left( {x;\,y;\,z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MQ} = \left( {x - 1;\,y - 1;\,z - 1} \right)$. $\overrightarrow {NP} = \left( {5;\,4;\,1} \right)$.

Ta có: tứ giác $MNPQ$là hình bình hành$\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {NP} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 5\\x - 1 = 4\\z - 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 5\\z = 2\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ điểm $Q$ là: $Q\left( {6;\,5;\,2} \right)$.

Chọn C

$M(x\ y)$ thuộc đồ thị hàm số $\Leftrightarrow$$y = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 10}}{{x + 2}} = 2{\rm{x}} - 1 + \frac{{12}}{{x + 2}}$

$\begin{array}{l}y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{{12}}{{x + 2}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = \pm 12\\x + 2 = \pm 6\\x + 2 = \pm 4\\x + 2 = \pm 3\\x + 2 = \pm 2\\x + 2 = \pm 1\end{array} \right.\\\end{array}$

Vậy có $12$điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 10}}{{x + 2}}$.

Chọn C

*Hai vectơ$\overrightarrow y ;\overrightarrow z$cùng phương $\Leftrightarrow$$\exists k:\overrightarrow y = k\overrightarrow z \Leftrightarrow - 4\overrightarrow a + 2\overrightarrow b = k\left( { - 3\overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 = k.0\\2 = - 3k\\0 = - 2k\end{array} \right.$

Do HPT vô nghiệm suy ra hai vectơ$\overrightarrow y ;\overrightarrow z$không cùng phương nên loại đáp án A

*Hai vectơ$\overrightarrow x ;\overrightarrow y$cùng phương

$\Leftrightarrow$tồn tại $k \ne 0:\overrightarrow x = k\overrightarrow y \Leftrightarrow 2\overrightarrow a - \overrightarrow b = k\left( { - 4\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = - 4k\\ - 1 = 2k\end{array} \right. \Leftrightarrow k = \frac{{ - 1}}{2}$

suy ra hai vectơ$\overrightarrow x ;\overrightarrow y$ cùng phương. nên loại đáp án B

* Hai vectơ$\overrightarrow x ;\overrightarrow z$cùng phương $\Leftrightarrow$tồn tại $k \ne 0:\overrightarrow x = k\overrightarrow z \Leftrightarrow 2\overrightarrow a - \overrightarrow b = k\left( { - 3\overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = 0.k\\ - 1 = - 3k\\0 = - 2k\end{array} \right.$

Do HPT vô nghiệm suy ra hai vectơ không cùng phương nên loại đáp án C

* Do $\overrightarrow y ;\overrightarrow z$không cùng phương

$\overrightarrow x ;\overrightarrow y ;\overrightarrow z$đồng phẳng $\Leftrightarrow$$\exists \alpha ,\beta \in \mathbb{R}:\overrightarrow x = \alpha \overrightarrow y + \beta \overrightarrow z \Leftrightarrow 2\overrightarrow a - \overrightarrow b = \alpha \left( { - 4\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right) + \beta \left( { - 3\overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4\alpha = 2\\2\alpha - 3\beta = - 1\\ - 2\beta = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\alpha = - \frac{1}{2}\\\beta = 0\end{array} \right.$. Vậy chọn đáp án D

Chọn B

Ta có $y' = f'\left( {x - 2019} \right)$

Đồ thị hàm số $y = f'\left( {x - 2019} \right)$ nhận được từ đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$nhờ phép tịnh tiến qua phải 2019 đơn vị. Số cực trị của $y = f\left( {x - 2019} \right)$ bằng 1.

Chọn D

Ta có $y' = 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 3$.

Suy ra

+) $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = \min \left\{ {y\left( 0 \right);y\left( 3 \right);y\left( 4 \right)} \right\} = \min \left\{ {m\,;\,m - 9\,;\,m - 8} \right\} = m - 9$

+) $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = \max \left\{ {y\left( 0 \right);y\left( 3 \right);y\left( 4 \right)} \right\} = \max \left\{ {m\,;\,m - 9\,;\,m - 8} \right\} = m$.

Theo giả thiết ta có $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y + \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = 7 \Rightarrow m - 9 + m = - 23 \Leftrightarrow m = - 7$.

Vậy $- 10 < m \le - 7$.

Chọn A

Ta có: $f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c$

$\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {\frac{1}{3}} \right) = 0\\f'\left( 1 \right) = 0\\f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{85}}{{27}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{3}a + \frac{2}{3}b + c = 0\\3a + 2b + c = 0\\\frac{1}{{27}}a + \frac{1}{9}b + \frac{1}{3}c + 3 = \frac{{85}}{{27}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\\c = 1\end{array} \right.$

Vậy $a > 0,b < 0,c > 0$.

Cách 2: Thầy Trí Đinh Văn góp ý.

Dựa vào bảng biến thiên: $\mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = + \infty \Rightarrow a > 0$ (Loại được C và D).

Hàm số có hai điểm cực trị .

a)

S

b)

S

c)

Đ

d)

Đ

a)b) $y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 2}}$

Tâp xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \{ - 2\}$

$\begin{array}{l}{y^\prime } = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{(x + 2)}^2}}},{y^\prime } = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1 \Rightarrow y = 1}\\{x = - 3 \Rightarrow y = - 3}\end{array}} \right.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2 \pm } y = \pm \infty :x = - 2{\rm{ l\`a tcd }}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm x} y = x + 1 \Rightarrow y = x + 1{\rm{ l\`a tcx}}\end{array}$

Bảng biến thiên:

$x = 0 \Rightarrow y = \frac{3}{2}$

Đồ thị không cắt trục $Ox$

Đồ thị:

Đường thẳng $x - 3y - 6 = 0$ có hệ số góc ${k_1} = \frac{1}{3} \Rightarrow$ tiếp tuyến của

(C) vuông góc với đường thẳng này có hệ số góc ${k_2} = - 3$

Xét phương trình $y_x^\prime = - 3$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{(x + 2)}^2}}} = - 3 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ne - 2}\\{{x^2} + 4x + 3 = - 3{x^2} - 12x - 12}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ne - 2}\\{4{x^2} + 16x + 15 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - \frac{5}{2} \Rightarrow y = - \frac{7}{2}}\\{x = - \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\end{array}$

Tại $A\left( { - \frac{5}{2}, - \frac{7}{2}} \right)$ có tiếp tuyến $\left( {{T_1}} \right):y = - 3\left( {x + \frac{5}{2}} \right) - \frac{7}{2} \Leftrightarrow y = - 3x - 11$

Tại $B\left( { - \frac{3}{2},\frac{3}{2}} \right)$ có tiếp tuyến $\left( {{T_2}} \right):y = - 3\left( {x + \frac{3}{2}} \right) + \frac{3}{2} \Leftrightarrow y = - 3x - 3$${x^2} + 3x + 3 = m|x + 2| \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ne - 2}\\{\frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{\left| {x + 2} \right|}} = m}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow$Số giao điểm của đồ thị $\left( {{C_1}} \right)$

$\begin{array}{llllllllllllllllllll}y&{ = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{|x + 2|}}}\\{}&{ = \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}}&{{\rm{ (1): }}x > - 2}\\{ - \left( {\frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}} \right)}&{{\rm{ (2): }}x < - 2}\end{array}} \right.}\end{array}$

(1): bên phải tiệm cận đứng: giữ nguyên $(C)$

(2): bên trái tiệm cận đứng: lấy đối xứng của $(C)$ qua trục $Ox$ $\left( {{C_1}} \right)$ là đường có nét liền, đậm

Số giao điểm của $\left( {{C_1}} \right)$ và đường thẳng $y = m$ là số nghiệm của phương trình.

Vị trí của đường thẳng $y = m$ để có 4 giao điểm với $\left( {{C_1}} \right)$ là $m > 3$

a)

S

b)

Đ

c)

S

d)

Đ

Dựa vào đồ thị hàm số $f'\left( x \right)\,$ta thấy $f'\left( x \right)\, < \,0$ $\forall \,x \in \,\left( { - 1;\,1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$ nên khẳng địnhđúngDựa vào đồ thị hàm số $f'\left( x \right)\,$ta thấy $f'\left( x \right)\,$ đổi dấu 3 lần nên hàm số $y = f(x)$ có 3

điểm cực trị.Xét trên khoảng $\left( {1\,; + \infty } \right)$ ta thấy $f'\left( x \right) > 0\,\forall x \in \left( {1\,;3} \right)$ và $f'\left( x \right) < 0\,\forall x \in \left( {3\,; + \infty } \right)$nên

$\mathop {Max}\limits_{(1; + \infty )} f(x) = f(3)$.Ta có ${\left[ {f\left( {3 - 2x} \right)} \right]^\prime } = - 2.f'\left( {3 - 2x} \right)\,$ nên có bảng xét dấu của ${\left[ {f\left( {3 - 2x} \right)} \right]^\prime }$như sau

Do đó hàm số $y = f(3 - 2x)$ đồng biến trên khoảng $( - \infty ;0)$.

a)

S

b)

Đ

c)

Đ

d)

S

Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là $x$.

Vì cứ tăng giá thêm $1$ thì số khăn bán ra giảm $100$ chiếc nên tăng $x$ thì số xe khăn bán ra giảm $100x$ chiếc.

Do đó tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: $3000 - 100x$ chiếc.

Lúc đầu bán với giá $30$, mỗi chiếc khăn có lãi $12$. Sau khi tăng giá, mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: $12 + x$.

Do đó tổng số lợi nhuận một tháng thu được sau khi tăng giá là:

$f\left( x \right) = \left( {3000 - 100x} \right)\left( {12 + x} \right)$.

Xét hàm số $f\left( x \right) = \left( {3000 - 100x} \right)\left( {12 + x} \right)$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có: $f\left( x \right) = - 100{x^2} + 1800x + 36000$.

$f'\left( x \right) = - 200x + 1800$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 200x + 1800 = 0 \Leftrightarrow x = 9$

Lập bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left( {0;\, + \infty } \right)$ ta thấy hàm số đạy giá trị lớn nhất khi

$$x = 9$$

Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất cần tăng giá bán mỗi chiếc khăn là $9.000$ đồng, tức là mỗi chiếc khăn bán với giá mới là$39.000$ đồng.

a)

S

b)

Đ

c)

S

d)

Đ

(a) Đúng: Áp dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng ta tính được

$AB = CD = \sqrt {10} ;AC = BD = \sqrt {13} ;AD = BC = \sqrt 5$

Vậy tứ diện $ABCD$ có các cạnh đối đôi một bằng nhau

(b) Sai: Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;3} \right),\overrightarrow {CD} = \left( { - 1;0; - 3} \right)$. Gọi $\varphi$ là góc giữa $AB$ và $CD$

$\cos \varphi = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \frac{{\left| { - 8} \right|}}{{\sqrt {10} .\sqrt {10} }} = \frac{4}{5}$

Vậy góc giữa $AB$ và $CD$ là $\varphi = \arccos 0{,}8$

(c) Sai: Lấy $I$ trung điểm của $AB,J$ là trung điểm của $CD$

$\Delta ACD = \Delta BCD$(c.c.c) nên 2 đường trung tuyến tương ứng $AJ = BJ$.

Vậy $\Delta AJB$ cân đỉnh $J$ nên $IJ$ vuông góc với $AB$ tại $I$.

Tương tự $\Delta ICD$ cân đỉnh $I$ nên $IJ$ vuông góc với $CD$ tại $J$.

Vậy $IJ$ là đường vuông góc chung của $AB$ và $CD$ ta được $I\left( {\frac{3}{2};1;\frac{3}{2}} \right)$ và $J\left( {\frac{3}{2}; - 1;\frac{3}{2}} \right)$

Vậy khoảng cách giữa $AB$ và $CD$ chính là độ dài đoạn vuông góc chung $IJ$.

$d\left( {AB;CD} \right) = II = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{2} - \frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left[ {1 - \left( { - 1} \right)} \right]}^2} + {{\left( {\frac{3}{2} - \frac{3}{2}} \right)}^2}} = 2$

(d) Đúng: Theo kết quả câu 3. Lấy $G$ là trung điểm của $IJ$ ta được:

$GA = GB$vì $\Delta GAB$ cân đỉnh $G$;$GC = GD$ vì $\Delta GCD$ cân đỉnh $G$

Mà $GA = \sqrt {G{I^2} + I{A^2}}$ mà $GI = GJ,IA = ID$ và $GC = \sqrt {G{J^2} + I{D^2}}$

Do đó $GA = GB = GC = GD = R$

Do đó $G$: Tâm mặt cầu ngoại tuyến khối tứ diện $ABCD:G\left( {\frac{3}{2};0;\frac{3}{2}} \right)$ và bán kính của mặt cầu là $R = GA = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$ ($G$: cũng chính là trọng tâm của khối tứ diện gần đều $ABCD$)

Ta có: $3\vec a = \vec b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3.300 = x}\\{3.200 = y}\\{3.400 = z}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 900}\\{y = 600}\\{z = 1200}\end{array} \Rightarrow \vec b = \left( {900;600;1200} \right)} \right.} \right.$

Tốc độ của máy bay $B$ là: $\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{{900}^2} + {{600}^2} + {{1200}^2}} \approx 1615{,}55\;$(km/h)

Ta có: $f\left( t \right) = \frac{{200}}{{1 + 3{e^{ - t}}}} \Rightarrow f'\left( t \right) = 150.\frac{{ - 3.{e^{ - t}}.\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {1 + 3{e^{ - t}}} \right)}^2}}} = 150.\frac{{3.{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 3{e^{ - t}}} \right)}^2}}}$

$f''\left( t \right) = 150.\frac{{ - 3{e^{ - t}}{{\left( {1 + 3{e^{ - t}}} \right)}^2} - 2\left( {1 + 3{e^{ - t}}} \right).\left( { - 3{e^{ - t}}} \right).3{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 3{e^{ - t}}} \right)}^4}}}$$= 150.\frac{{ - 3{e^{ - t}}.\left( {1 + 3{e^{ - t}}} \right)\left( {1 + 3{e^{ - t}} - 6{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 3{e^{ - t}}} \right)}^4}}}$

$= 150.\frac{{ - 3{e^{ - t}}.\left( {1 + 3{e^{ - t}}} \right)\left( {1 - 3{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 3{e^{ - t}}} \right)}^4}}}$$\Rightarrow f''\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow t = - \ln \left( {\frac{1}{3}} \right) = \ln 33 \approx 1{,}09$

Vậy sau khi sinh khoảng $\ln 3 \approx 1{,}09$ tháng thì vật nuôi có tốc độ tăng cân nhanh nhất.

Cứ tăng thêm $200$ nghìn đồng vào giá thuê một phòng trên một tháng thì có một phòng bị bỏ trống.

Gọi số lần tăng $200$ nghìn đồng vào giá thuê một phòng trên một tháng là $x\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Khi đó $x$ cũng là số phòng bị bỏ trống.

Tổng số tiền công ty thu được lúc này là:

$T\left( x \right) = \left( {2000 + 200x} \right)\left( {20 - x} \right) = - 200{x^2} + 2000x + 40000$ .

Xét hàm số $T\left( x \right) = - 200{x^2} + 2000x + 40000$ với $x > 0$.

$$\begin{array}{l} \Rightarrow T'\left( x \right) = - 400x + 2000\\T'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow - 400x + 2000 = 0\\ \Leftrightarrow x = 5\left( {TM} \right)\end{array}$$

Bảng biến thiên của hàm số $T\left( x \right)$ như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên trên, ta thấy hàm số $T\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất bằng 45 000 khi $x = 5$

Khi đó, số tiền tăng lên khi cho thuê một phòng là $200.5 = 1000$ = 1.

Vậy công ty nên cho thuê mỗi căn hộ 3 triệu đồng một tháng thì tổng số tiền thu được là lớn nhất.

Ta có $\vec P = m\vec g$ suy ra $P = mg = 20.10 = 200\left( {{\rm{\;N}}} \right)$.

Vậy trọng lực tác dụng lên em bé là 200 N.

Ta có $A = P \cdot s \cdot \cos \left( {\vec P,\vec s} \right) = 200 \cdot 2 \cdot \cos {80^ \circ } \approx 69$ (J).

Vậy công sinh bởi trọng lực $\vec P$ khi em bé trượt hết chiều dài cầu trượt là 306 J.

Vận tốc của vật chuyển động là $v = s' = - \frac{3}{2}{t^2} + 12t = f\left( t \right)$

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( t \right)$ trên đoạn $\left[ {0;6} \right]$

Ta có $f'\left( t \right) = - 3t + 12 \Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 4 \in \left[ {0;6} \right]$

$f\left( 0 \right) = 0;f\left( 4 \right) = 24;f\left( 6 \right) = 18$

Vậy vận tốc lớn nhất là $24\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.