Đề thi Giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức (có đáp án) - Đề 7

Chọn A

Ta chứng minh $\left| {\left[ {\vec u,\vec v} \right]} \right| = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|.\sin \left( {\vec u,\,\vec v} \right)$.

Giả sử $\vec u = \left( {{u_1};\,{u_2};\,{u_3}} \right)$ và $\vec v = \left( {{v_1};\,{v_2};\,{v_3}} \right)$.

+) Nếu một trong hai vectơ $\vec u$ và $\,\vec v$ là vectơ $\vec 0$ thì ta có $\left| {\left[ {\vec u,\vec v} \right]} \right| = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|.\sin \left( {\vec u,\,\vec v} \right)$.

+) Nếu cả hai vectơ $\vec u$ và $\,\vec v$ đều khác vectơ $\vec 0$. Khi đó ta có

$\left| {\left[ {\vec u,\vec v} \right]} \right| = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|.\sin \left( {\vec u,\,\vec v} \right)$$= \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|.\sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( {\vec u,\,\vec v} \right)}$$= \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|.\sqrt {1 - \frac{{{{\left( {\vec u.\,\vec v} \right)}^2}}}{{{{\left| {\vec u} \right|}^2}.{{\left| {\vec v} \right|}^2}}}}$$= \sqrt {{{\vec u}^2}.{{\vec v}^2} - {{\left( {\vec u.\,\vec v} \right)}^2}}$$= \sqrt {{{\left( {{u_2}{v_3} - {v_2}{u_3}} \right)}^2} + {{\left( {{u_3}{v_1} - {v_3}{u_1}} \right)}^2} + {{\left( {{u_1}{v_2} - {v_1}{u_2}} \right)}^2}}$$= \left| {\left[ {\vec u,\vec v} \right]} \right|$.

Ta có $\left| {\left[ {\vec u,\vec v} \right]} \right| = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|.\sin \left( {\vec u,\,\vec v} \right)$ nên khẳng định C sai.

Chọn B

$\overrightarrow u .\overrightarrow v$$= x.1 + 2\left( { - 1} \right) + 1.2x$$= 3x - 2$.

Chọn B

Tọa độ điểm $M'$ là điểm đối xứng của điểm $M\left( {1;2;3} \right)$ qua gốc tọa độ $O$ là $M'\left( { - 1; - 2; - 3} \right)$.

Phương án nhiễu A: Học sinh nhầm:

Điểm $M'$ là điểm đối xứng của điểm $M(3;2;1)$ qua mặt phẳng $(Oyz)$$\Rightarrow M'\left( { - 1;2;3} \right)$.

Phương án nhiễu B: Học sinh nhầm:

Điểm $M'$ là điểm đối xứng của điểm $M(3;2;1)$ qua trục $Oz$$\Rightarrow M'\left( { - 1; - 2;3} \right)$.

Phương án nhiễu D: Học sinh nhầm:

Điểm $M'$ là điểm đối xứng của điểm $M(3;2;1)$ qua mặt phẳng $(Oxy)$$\Rightarrow M'\left( {1;2; - 3} \right)$.

Chọn A

Ta có

$$y = \frac{{x + 1}}{{2 - x}} = \frac{{x + 1}}{{ - x + 2}} \Rightarrow y' = \frac{3}{{{{\left( { - x + 2} \right)}^2}}} > 0,{\rm{ }}\forall x \ne 2.$$

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

Chọn A

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{2}{x}}} = 1$, tương tự $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1$. Do vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là $y = 1$.

Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { - 2;2} \right]$, ta thấy $M = 6,m = 0$, do đó $M + m = 6$.

Chọn A

Bảng biến thiên trên là của hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định và có đồ thị nhận các đường thẳng $x = 1$, $y = 2$lần lượt là TCĐ và TCN. Chỉ có đáp án $y = \frac{{ - 2x + 3}}{{1 - x}}$thỏa mãn.

Chọn D

Nhìn vào đồ thị ta thấy: Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = a$ và tiệm cận đứng $x = 1$.Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x = \frac{b}{a} > 1$. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{ - 1}} = 1\\\frac{b}{a} > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow b < a = - 1 < 0$.

Chọn C

Từ $f'(x) = x{(x + 3)^2},\forall x \in R$

Ta suy ra bảng xét dấu của $f'(x)$ là

Từ bảng xét dấu ta thấy $f'(x)$ chỉ đổi dấu khi $x$ qua $x = 0$

$\Rightarrow$ Hàm số đạt cực trị tại $x = 0$

$\Rightarrow$ Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 1.

Chọn A

+ TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 8} \right\}$.

+ ${y}^{'}=\frac{8+{m}^{2}}{{(x+8)}^{2}}>0,\forall x\in D$

Vậy hàm số $y = \frac{{x - {m^2}}}{{x + 8}}$ đồng biến trên $\left[ {0;3} \right]$.

$$\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y(0) = \frac{{ - {m^2}}}{8}$$

Để $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = - 3 \Leftrightarrow \frac{{ - {m^2}}}{8} = - 3 \Leftrightarrow m = \pm 2\sqrt 6 .$

$\Rightarrow {m_0} = 2\sqrt 6 \in \left( {2;5} \right)$. Vậy chọnA.

Chọn A

Gọi M là trung điểm CD

Ta có:

$$\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BG} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right) = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)$$

$= \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c - 2\overrightarrow a } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)$.

Chọn D

Do $G\left( {1\,;\,4\,;\,2} \right)$là trọng tâm tam giác $ABC$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - \left( {{x_A} + {x_B}} \right) = 0\\{y_C} = 3{y_G} - \left( {{y_A} + {y_B}} \right) = 9\\{z_C} = 3{z_G} - \left( {{z_A} + {z_B}} \right) = 0\end{array} \right.$.

Vậy $C\left( {0\,;\,9\,;\,0} \right)$.

a)

Đ

b)

Đ

c)

S

d)

S

Nếu $m = 0$ thì điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $M\left( {0;1} \right)$ khi đó $ab = 0$

TH1: Nếu $m = 1 \Rightarrow y = 4{x^2} + 1$. Suy ra hàm số không có cực đại.

TH2: Nếu $m > 1$.

Để hàm số không có cực đại thì $- 2\left( {m - 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow m \le 3$. Suy ra $1 < m \le 3$.

Vậy $1 \le m \le 3$.

a)

Đ

b)

S

c)

S

d)

Đ

Đúng.

Điểm $G\left( {x;y;z} \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Khi đó

$x = \frac{{ - 2 + 5 + \left( { - 2} \right)}}{3} = \frac{1}{3}$

$y = \frac{{3 + \left( { - 3} \right) + \left( 2 \right)}}{3} = \frac{2}{3}$

$z = \frac{{1 + 2 + 4}}{3} = \frac{7}{3}$Sai.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {7; - 6;1} \right)$ ; $\overrightarrow {AC} = \left( {0\,; - 1\,;3} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 + 6 + 3 = 9 \ne 0$Sai.

$\overrightarrow {AB} = \left( {7; - 6;1} \right)$Đúng.

Ta có $M \in \left( {Oyz} \right)$ nên $M\left( {0;y;z} \right)$

Đường thẳng $AB$cắt mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ tại điểm $M$ nên $\overrightarrow {AB} = \left( {7; - 6;1} \right)$ cùng phương với $\overrightarrow {AM} = \left( {2\,;y - 3\,;z - 1} \right)$ hay $\frac{2}{7} = \frac{{y - 3}}{{ - 6}} = \frac{{z - 1}}{1}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - 3 = - \frac{{12}}{7}\\z - 1 = \frac{2}{7}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{9}{7}\\z = \frac{9}{7}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0;\frac{9}{7};\frac{9}{7}} \right)$

a)

Đ

b)

S

c)

Đ

d)

S

Gọi $x$ $\left( {x > 0} \right)$ là số tiền tăng giá

$\Rightarrow$Số căn hộ bị bỏ trống là $\frac{x}{{50{\rm{ }}000}}$ căn hộ

$\Rightarrow$Số tiền công ty thu được $T\left( x \right) = \left( {2{\rm{ }}000{\rm{ }}000 + x} \right)\left( {50 - \frac{x}{{50{\rm{ }}000}}} \right)$

Khảo sát hàm số $T\left( x \right)$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$

$\Rightarrow$$T'\left( x \right) = 10 - \frac{x}{{25{\rm{ }}000}}$$\Rightarrow$$T'\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow$$x = 250{\rm{ }}000$.

Bảng biến thiên

Vậy thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong 1 tháng là: $T = 101250000$.

a)

Đ

b)

Đ

c)

Đ

d)

Đ

a,b,c,d: đúngTa có:

+ Đạo hàm: $y' = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{(x - 2)}^2}}}$$\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\\x = 3\,\end{array} \right.$.

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng ($- \infty ;1)$và ($3; + \infty )$.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (1;2) và (2;3).

Mệnh đề đã cho là mệnh đề đúng.

Ta có công thức lượng muối $x$ (pound) trong bể sau $t$ phút:

$x(t) = 1{,}5(10 - t) - 0{,}0013{(10 - t)^4};\quad 0 \le t \le 10$

Đặt $u = 10 - t$. Khi $t$ chạy từ 0 đến 10 thì $u$ chạy từ 10 xuống 0.

Khi đó $x = 1{,}5u - 0{,}0013{u^4};\quad 0 \le u \le 10$

Tính đạo hàm theo $u$ ta được: $1{,}5 - 0{,}0013 \cdot 4{u^3} = 1{,}5 - 0{,}0052{u^3}$

Xét $1{,}5 - 0{,}0052{u^3} = 0 \Rightarrow {u^3} = \frac{{1{,}5}}{{0{,}0052}} \approx 288{,}46 \Rightarrow u \approx \sqrt[3]{{288{,}46}} \approx 6{,}62$

Lập bảng xét dấu ta được:

Suy ra tại $u \approx 6{,}62$:

Lượng muối trong bể đạt tối đa khoảng 7,43 lb tại thời điểm $t \approx 3{,}38$ phút kể từ lúc bắt đầu.

Gọi $y$ là chiều dài của miếng phụ.

Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là $S = {S_{MNPQ}} + 4xy$.

Cạnh hình vuông $MN = \frac{{MP}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{40}}{{\sqrt 2 }} = 20\sqrt 2$cm $\Rightarrow S = {(20\sqrt 2 )^2} + 4xy = 800 + 4xy$

Ta có $2x = AB - MN = AB - 20\sqrt 2 < BD - 20\sqrt 2 = 40 - 20\sqrt 2 \Rightarrow 0 < x < 20 - 10\sqrt 2$.

Lại có $A{B^2} + A{D^2} = B{D^2} = {40^2} \Rightarrow {(2x + 20\sqrt 2 )^2} + {y^2} = 1600$.

Thế vào (1), ta được

$S = 800 + 4x\sqrt {800 - 80x\sqrt 2 - 4{x^2}} = 800 + 4\sqrt {800{x^2} - 80{x^3}\sqrt 2 - 4{x^4}}$

Xét hàm số $f(x) = 800{x^2} - 80{x^3}\sqrt 2 - 4{x^4}$, với $x \in (0;20 - 10\sqrt 2 )$ có

${f^\prime }(x) = 1600x - 240{x^2}\sqrt 2 - 16{x^3} = 16x\left( {100 - 15x\sqrt 2 - {x^2}} \right)$.

Ta có bảng biến thiên

Vậy $x = \frac{{5\sqrt {34} - 15\sqrt 2 }}{2} \approx 3{,}97$ chính là giá trị cần tìm.

Ta có doanh thu của doanh nghiệp khi bán $x$ máy tính bảng là: $D\left( x \right) = x.p\left( x \right) = x\left( {4000 - 10x} \right) = 4000x - 10{x^2}$.

Chi phí của doanh nghiệp để sản xuất $x$ máy tính bảng là: $C\left( x \right) = x.c\left( x \right) = x\left( {{x^2} - 70x + 400 + \frac{{1000}}{x}} \right) = {x^3} - 70{x^2} + 400x + 1000$.

Lợi nhuận của doanh nghiệp khi bán $x$ máy tính bảng là: $L\left( x \right) = D\left( x \right) - C\left( x \right) = 4000x - 10{x^2} - \left( {{x^3} - 70{x^2} + 400x + 1000} \right)$$= - {x^3} + 60{x^2} + 3600x - 1000$.

Xét hàm $L\left( x \right) = - {x^3} + 60{x^2} + 3600x - 1000\left( {1 \le x \le 200;x \in \mathbb{N}} \right)$.

Có $y' = - 3{x^2} + 120x + 3600$.

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 60\,\,\,\,\,\,\left( N \right)\\x = - 20\,\,\,\left( L \right)\end{array} \right.$.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy doanh nghiệp đó sẽ bán $60$ máy tính bảng để lợi nhuận cao nhất.

Đặt các điểm như hình vẽ.

Đặt $DF = x$, $x > 0$, ta có $\Delta ADF$ đồng dạng với $\Delta BED$ nên $\frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{AF}}{{DF}}$$\Rightarrow EB = \frac{{ab}}{x}$.

Gọi $l$ là chiều dài của que sào, ta có ${l^2} = A{B^2} = {\left( {x + b} \right)^2} + {\left( {a + \frac{{ab}}{x}} \right)^2} = f\left( x \right)$.

$f'\left( x \right) = 2\left( {x + b} \right) - 2\frac{{ab}}{{{x^2}}}\left( {a + \frac{{ab}}{x}} \right) = 2\left( {x + b} \right)\left( {1 - \frac{{{a^2}b}}{{{x^3}}}} \right)$; $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{{a^2}b}} = 12$.

Xét bảng sau:

Vậy giá trị nhỏ nhất của que sào là $l = \sqrt {1125}$. Giá trị ${l^2} = 1125$.

Do chiếc may bay di duyển với tốc độ và hướng không đổi từ $A$ đến $B$ trong 10 phút và từ $B$ đến $C$ trong 10 phút.

Nên suy ra $AB = BC$ và $A,\,B,\,C$ thẳng hàng.

Suy ra $B$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2}\\{y_B} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2}\\{z_B} = \frac{{{z_A} + {z_C}}}{2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}950 = \frac{{812 + x}}{2}\\530 = \frac{{600 + y}}{2}\\6 = \frac{{5 + z}}{2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1088\\y = 460\\z = 7\end{array} \right.$.

Vậy $x + y + z = 1555$.