Đề thi Giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức (có đáp án) - Đề 15

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x = 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 5$ nên đồ thị có tiệm cậng ngang $y = 5$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2$ nên đồ thị có tiệm cậng ngang $y = 2$.

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là $3$.

Chọn D

$\overrightarrow {AB} = \left( {4;\, - 1;\,0} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {1;\,0;\,1} \right)$, $\overrightarrow {AD} = \left( {2;0;2} \right)$.

Nhận thấy rằng $\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AC}$ $\Rightarrow$ $A,\,C,\,D$ thẳng hàng.

Chọn C

Ta có $R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 7} \right)} = 3$.

Chọn D

Xét đáp án A có $y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0$, $\forall x \ne - 2$ nên loại.

Xét đáp án B có $y' = 3{x^2} + 3 > 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$ nên thỏa mãn.

Xét đáp án C có $y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} > 0$, $\forall x \ne - 3$ nên loại.

Xét đáp án D có $y' = 3{x^2} - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)$ nên loại.

Chọn B

$\overrightarrow a .\overrightarrow b$$= 2.2 + 1.5 - 3.1$$= 6$.

Chọn D

Tập hợp các điểm cách đều hai trục tọa độ là hai đường thẳng $y = \pm x$.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{{3x + 1}}{{x - 1}}$và đường thẳng $y = x$là:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3x + 1}}{{x - 1}} = x\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x - 1 = 0\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 5 \\x = 2 - \sqrt 5 \end{array} \right.$.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{{3x + 1}}{{x - 1}}$và đường thẳng $y = - x$là:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3x + 1}}{{x - 1}} = - x\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 1 = 0\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 1$.

Vậy có $3$điểm trên đồ thị hàm số $\left( C \right):y = \frac{{3x + 1}}{{x - 1}}$mà khoảng cách từ mỗi điểm đó đến hai trục tọa độ bằng nhau.

Chọn D

Gọi $C\left( {a;b;c} \right)$. Ta có $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right.$

$\overrightarrow {AH} = \left( { - 1;2;1} \right)$, $\overrightarrow {BH} = \left( { - 2;0;2} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {a - 1;b - 1;c - 1} \right)$, $\overrightarrow {BC} = \left( {a - 2;b - 3;c} \right)$,

$\overrightarrow {AB} = \left( {1;2; - 1} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2c + b - 3, - a - c + 2,b - 2a + 1} \right)$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l} - a + 2 + 2b - 6 + c = 0\\ - 2a + 2 + 2c - 2 = 0\\ - 2c - b + 3 - 2a - 2c + 4 + b - 2a + 1 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + 2b + c = 4\\ - 2a + 2c = 0\\ - 4a - 4c = - 8\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 1\end{array} \right.$

Vậy $C\left( {1;2;1} \right)$.

Chọn C

Ta có: $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB'} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB'} - \overrightarrow {CA} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CB'} - 2\overrightarrow {CA} } \right)$.

Theo quy tắc hình bình hành ta lại có: $\overrightarrow {CB'} = \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {CB}$.

Do đó: $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {2\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CC'} - 2\overrightarrow {CA} } \right)$$= - \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CC'}$$= - \vec a + \vec b + \frac{1}{2}\vec c$.

Chọn A

Ta có $f'(x) = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 1\\x = 2\end{array} \right..$

BXD $f'(x)$:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $f'(x)$ đổi dấu từ $\left( - \right)$sang $\left( + \right)$tại $x = 2$do đó hàm số $f\left( x \right)$đạt cực tiểu tại $x = 2.$

Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định và có 2 đường tiệm cận đứng và ngang lần lượt là $x = - 1$ và $y = 2$.

$y = \frac{{2x + 3}}{{x + 1}}$$\Rightarrow y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$ $< 0$, $\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$ $\Rightarrow$ Loại đáp án A.

$y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}$$\Rightarrow y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$$> 0$, $\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$ $\Rightarrow$

Chọn B

+TXĐ : $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {{m^2}} \right\},\left[ { - 3; - 2} \right] \subset D$.

+ Ta có $y' = \frac{{ - {m^2} - 1}}{{{{\left( {x - {m^2}} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D$. Nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Nên $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3; - 2} \right]} y = \frac{1}{2} = y\left( { - 2} \right) = \frac{{ - 2 + 1}}{{ - 2 - {m^2}}} \Rightarrow - 2 - {m^2} = - 2 \Leftrightarrow m = 0 \Rightarrow - 2 < m \le 3$.

a)

Đ

b)

S

c)

S

d)

Đ

Đổi $88{,}2{\rm{ km/h}} = 24{,}5{\rm{ m/s}}$.

Theo giả thiết ta có $h\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow c = 2$.

Vận tốc của vật tại thời điểm t giây là $v(t) = h'\left( t \right) = 2at + b$.

Có $v\left( 0 \right) = 24{,}5{\rm{ m/s}} \Rightarrow b = 24{,}5$

Sau 1 giây kể từ lúc được phóng lên vận tốc của vật đạt được là $14{,}7{\rm{ m/s}}$nên ta có $v\left( 1 \right) = 14{,}7 \Rightarrow 2a.1 + b = 14{,}7 \Rightarrow a = - 4{,}9$(vì $b = 24{,}5$).

Suy ra $h\left( t \right) = 2 + 24{,}5t - 4{,}9{t^2}$.

Vậy ta có độ cao đạt được của vật sau 2 giây là $h\left( 2 \right) = 31{,}4{\rm{ m}}$.Xét hàm số: $h\left( t \right) = 2 + 24{,}5t - 4{,}9{t^2}$.

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: $h'\left( t \right) = - 9{,}8t + 24{,}5;\,\,h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 9{,}8t + 24{,}5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại $t = \frac{5}{2}$

Vậy thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất là $t = \frac{5}{2}$ giây.Vật tăng tốc khi $v\left( t \right) = - 9{,}8t + 24{,}5 > 0 \Leftrightarrow t < \frac{5}{2}$. Do đó vật tăng tốc trong khoảng

thời gian từ 0 đến $2{,}5$ giây.Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc của vật là $v\left( t \right) = h'\left( t \right) = 24{,}5 - 9{,}8t\,\,\left( {{\rm{m}}/{\rm{s}}} \right)$

Vật chạm đất khi độ cao bằng 0, tức là $h = 2 + 24{,}5t - 4{,}9{t^2} = 0$ hay ${t_0} = \frac{{35 + 3\sqrt {145} }}{{14}} \approx 5{,}08$ (giây).

Vận tốc của vật lúc chạm đât là $v\left( {{t_0}} \right) = 24{,}5 - 9{,}8 \cdot {t_0} = - 25{,}29\,\,\left( {{\rm{m}}/{\rm{s}}} \right)$.

a)

S

b)

Đ

c)

S

d)

Đ

a) Ta có $\overrightarrow {ON} = 2\overrightarrow i + 2\overrightarrow j + \overrightarrow k \Rightarrow N\left( {2;2;1} \right)$ nên a) đúng.$M\left( {2;0;3} \right)$, $N\left( {2;2;1} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {MN} \left( {0;2; - 2} \right)$ nên b) đúng.$\overrightarrow {MN} \left( {0;2; - 2} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {{0^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 2$nên

c) sai$\overrightarrow {MN} \left( {0;2; - 2} \right)$, $\overrightarrow {ON} \left( {2;2;1} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {ON} = 0.2 + 2.2 + \left( { - 2} \right).1 = 2$ nên d) sai.

a)

Đ

b)

Đ

c)

S

d)

Đ

Ta có $y = \frac{{ - {x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}$ có đạo hàm $y' = \frac{{ - x - 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}} \right.$

Khi đó ta có bảng biến thiên:

(a) Đúng: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng khoảng $\left( { - 2, - 1} \right)$ và $\left( { - 1{,}0} \right)$

(b) Đúng: Hàm số có hai điểm cực trị.

(c) Sai: Mặt khác $y = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + x + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)$

Vậy phương trình $(*)$ luôn có hai nghiệm phân biệt. Hay $(C)$ luôn cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt.

(d) Đúng: Tiệm cận xiên của đồ thị là $y = - x + 2$ nên đi qua điểm $A\left( {1;2} \right)$

a)

Đ

b)

Đ

c)

Đ

d)

S

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $f\left( 0 \right)$. Dựa vào bảng biển thiên, ta thấy $f\left( 0 \right) < \frac{1}{2}$

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = - \infty$ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = 3$.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;3} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $f\left( 0 \right) = \frac{{ - 1}}{c} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{c + 2}}{{2c}} > 0 \Leftrightarrow c \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)$.

Độ lớn trọng lực tác dụng lên em nhỏ là: $P = mg\cos 60^\circ = 25.9{,}8 \cdot \frac{1}{2} = 122{,}5$N

Công sinh bởi trọng lực $\vec P$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là:

$A = \vec F.\vec d = Pd\cos 60^\circ = 122{,}5.3{,}5.\frac{1}{2} = 214{,}375$(J)

Dựa vào đề bài ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 19\\f'\left( 3 \right) = 0\\f\left( 3 \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 28\\6a + b = - 27\\9a + 3b + c = - 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = - 9\\c = 30\end{array} \right.$.

$\Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 30 \Rightarrow f\left( 6 \right) = 84$.

Tốc độ tăng trưởng của virut được tính theo hàm số $y = p'\left( t \right) = \frac{{1120.{{\rm{e}}^{0{,}2t}}}}{{{{\left( {{{\rm{e}}^{0{,}2t}} + 7} \right)}^2}}}$, $t \ge 0$.

Xét hàm số $y = g\left( t \right) = \frac{{1120.{{\rm{e}}^{0{,}2t}}}}{{{{\left( {{{\rm{e}}^{0{,}2t}} + 7} \right)}^2}}}$, có $g'\left( t \right) = \frac{{224.{{\rm{e}}^{0{,}2t}}\left( {7 - {{\rm{e}}^{0{,}2t}}} \right)}}{{{{\left( {{{\rm{e}}^{0{,}2t}} + 7} \right)}^3}}}$.

$g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 7 - {e^{0{,}2t}} = 0 \Leftrightarrow t = 5\ln 7 \approx 9{,}7$.

Ta có bảng dấu của $g'\left( t \right)$ như sau:

Dựa vào bảng trên ta thấy tốc độ tăng trưởng của virut sẽ đạt lớn nhất ở ngày thứ 10.

Ta có: $\overrightarrow {OA} = 10\vec k \Rightarrow A\left( {0;0;10} \right)$ và $OH = OB.\cos 30^\circ = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}$; $OK = OB.\cos \left( {90^\circ - 30^\circ } \right) = \frac{{15}}{2}$

$\Rightarrow {\rm{ }}B\left( {\frac{{15}}{2};\frac{{15\sqrt 3 }}{2};0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {\frac{{15}}{2};\frac{{15\sqrt 3 }}{2}; - 10} \right)$. Vậy $a + c = 2{,}5$

Đăt $OA = x \Rightarrow AB = 2x$ ($0 < x < 5$).

$\Rightarrow AD = \sqrt {O{D^2} - O{A^2}} = \sqrt {25 - {x^2}}$.

Diện tích hình chữ nhật $ABC{\rm{D}}$ là $S = AB.AD = 2x\sqrt {25 - {x^2}}$.

Xét hàm số: $f\left( x \right) = 2x\sqrt {25 - {x^2}}$ trên $\left( {0;5} \right)$, ta có

$f'\left( x \right) = 2\sqrt {25 - {x^2}} - \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }}$.

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{50 - 4{x^2}}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow 50 - 4{x^2} = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} \in (0;5)}\\{x = \frac{{ - 5\sqrt 2 }}{2} \notin (0;5)}\end{array}} \right.$.

Bảng biến thiên

Vậy diện tích lớn nhất của tấm nhôm hình chữa nhật là $S = 25$ khi $x = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}$.

Ta có $C'\left( t \right) = \frac{{3\left( {27 + {t^3}} \right) - 3t.3{t^2}}}{{{{\left( {27 + {t^3}} \right)}^2}}} = \frac{{81 - 6{t^3}}}{{{{\left( {27 + {t^3}} \right)}^2}}}$.

$\left\{ \begin{array}{l}C'\left( t \right) = 0\\t \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow t = \frac{3}{{\sqrt[3]{2}}}$.

Ta có bảng biến thiên

Do đó ở thời điểm $\frac{3}{{\sqrt[3]{2}}} \approx 2{,}38$ giờ thì nồng độ của hoá chất trong máu là lớn nhất.