Đề thi Giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức (có đáp án) - Đề 1

Chọn B

Ta có $y' = 4{x^3} - 4x.$ Xét $y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right..$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right).$

Chọn B

Ta có $\overrightarrow {AB} \left( {1; - 1;2} \right)$,$\overrightarrow {AC} \left( {0; - 2;4} \right)$, $\overrightarrow {AD} \left( { - 2;7;1} \right)$

${\rm{[}}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} {\rm{] = }}\left( {0; - 4; - 2} \right)$

$\Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{{\left| {( - 2).0 + 7.( - 4) + 1.( - 2)} \right|}}{6} = 5$

Chọn B

Trên đoạn $\left[ { - 2;3} \right]$, điểm thuộc đồ thị có tung độ lớn nhất bằng 4 tại hoành độ ${x_0} = 3.$

Do đó: $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 4.$

Chọn A

$OA = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} = 3$.

Chọn D

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{3 + \left( { - 1} \right) + 1}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{ - 2 + 2 + 0}}{3} = 0\\{z_G} = \frac{{3 + 5 + 1}}{3} = 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow G\left( {1;0;3} \right)$.

Chọn B

Từ bảng biến thiên ta thấy:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty$ suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = + \infty$ suy ra đồ thị hàm số có $1$ tiệm cận đứng là $x = 1$.

Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là $1$.

Chọn D

Ta có$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left| x \right|{\left( {x + 2} \right)^3}\left( {4 - {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\\x = 2\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số không có cực tiểu.

Chọn C

$y = \frac{{x + 2{m^2} - m}}{{x - 3}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 3 - 2{m^2} + m}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} < 0$

$\Rightarrow {y_{\min }} = {y_{\left( 1 \right)}} = \frac{{2{m^2} - m + 1}}{{ - 2}}$

$\Rightarrow {y_{\min }} = - 2 \Leftrightarrow \frac{{2{m^2} - m + 1}}{{ - 2}} = - 2 \Leftrightarrow 2{m^2} - m + 1 = 4$

$\Leftrightarrow 2{m^2} - m - 3 - 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = \frac{3}{2}\end{array} \right.$

Chọn A

Xét đáp án A, ta có $y' = 3{x^2} + 6x + 3 = 3{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1$, nên loại.

Xét đáp án B, ta có $y' = 3{x^2} - 6x + 3 = 3{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$, nên nhận.

Xét đáp án C, ta có $y' = - 3{x^2} + 6x - 3 = - 3{\left( {x - 1} \right)^2} \le 0$, nên loại.

Xét đáp án D, ta có $y' = 3{x^2} + 6x - 3,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt 2 \\x = - 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.$, nên loại.

Chọn B

$y' = 3a{x^2} + c.$

$y'' = 6ax.$

$y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0.$Nên đồ thị hàm số có điểm uốn là $A\left( {0;d} \right).$Do đó đồ thị hàm số nhận $A\left( {0;d} \right)$làm tâm đối xứng.

Do đó từ $\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ;0} \right)} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right)$suy ra $\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$$\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 8a + 2c + d.$

Mà $f'\left( { - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow 12a + c = 0$$\Rightarrow c = - 12a.$

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = 8a - 24a + d = d - 16a.$

Chọn A

Gọi $D\left( {x;y;z} \right)$, $\overrightarrow {AD} = \left( {x + 2;y - 3;z - 1} \right)$, $\overrightarrow {BC} = \left( { - 5; - 2;1} \right)$, $BC = \sqrt {30}$.

Do $\overrightarrow {AD}$ cùng chiều với $\overrightarrow {BC}$ $\Rightarrow \frac{{x + 2}}{{ - 5}} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{1} = t > 0$$\Rightarrow D\left( { - 2 - 5t;3 - 2t;1 + t} \right)$

Theo đề ${S_{ABCD}} = 3{S_{ABC}}$$\Leftrightarrow \frac{{AD + BC}}{2}.d\left( {A,BC} \right) = 3.\frac{1}{2}d\left( {A,BC} \right).BC$$\Leftrightarrow AD = 2BC$

$\Leftrightarrow$$25{t^2} + 4{t^2} + {t^2} = 4.30$$\Leftrightarrow t = 2$$\Rightarrow D\left( { - 12; - 1;3} \right)$.

Chọn A

Vì mặt bên $\left( {BCC'B'} \right)$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BC}$$= \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}$$= \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c$ nên $\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c$.

a)

Đ

b)

S

c)

Đ

d)

Đ

(a)b.c. Khi $m = 1 \Leftrightarrow y = x - 2 + \frac{4}{{x + 3}}$

(d) Ta có: $y = \frac{{m{x^2} + (3{m^2} - 2)x - 2}}{{x + 3m}} = mx - 2 + \frac{{6m - 2}}{{x + 3m}}$

* Nếu $m = \frac{1}{3}$ đồ thị hàm số không tồn tại hai tiệm cận

* Nếu $m \ne \frac{1}{3}$, đồ thị hàm số có hai tiệm cận

${d_1}:x = - 3m \Leftrightarrow x + 3m = 0$và ${d_2}:y = mx - 2 \Leftrightarrow mx - y - 2 = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} (1;0),{\rm{ }}\overrightarrow {{n_2}} (m; - 1)$lần lượt là véc tơ pháp của ${d_1}$ và ${d_2}$.

Góc giữa ${d_1}$ và ${d_2}$ bằng ${45^0} \Leftrightarrow \cos {45^0} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$$\Leftrightarrow \frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow m = \pm 1$.

a)

S

b)

S

c)

S

d)

S

Khối tôm trung bình trong mỗi mét vuông ao nuôi là $M\left( x \right) = \left( {108 - {x^2}} \right)x$.Khi $x = 10$, $M\left( {10} \right) = 10.8 = 80\left( {gam} \right) = 0{,}08\,kg$.Để tôm phát triển được, $x > 0;\,\,\,{x^2} \le 108$ nên $0 < x \le 10{,}39$.

Xét hàm số $M\left( x \right) = \left( {108 - {x^2}} \right)x = - {x^3} + 108x,$.

Có $M'\left( x \right) = - 3{x^2} + 108 = - 3\left( {{x^2} - 36} \right)$; $M'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = 6$.

Ta có BBT

Để sản lượng tôm lớn nhất thì nên thả 6 con tôm/${m^2}$.Lượng tôm thu được tăng lên khi hàm số $M\left( x \right)$đồng biến. Dựa vào bảng biến thiên ta có $x \in \left( {0;6} \right)$, hay mật độ tôm không quá 6 con/${m^2}$.

a)

Đ

b)

Đ

c)

Đ

d)

Đ

(a) $\overrightarrow {AB} = (1 - 4; - 1 - 2;2 + 1) = ( - 3; - 3;3)$

(b) $\overrightarrow {AB} = (1 - 4; - 1 - 2;2 + 1) = ( - 3; - 3;3) \Rightarrow |\overrightarrow {AB} | = \sqrt {{{( - 3)}^2} + {{( - 3)}^2} + {3^2}} = 3\sqrt 3$

(c) Gọi $M(x;y;z)$ thì $\overrightarrow {MC} = ( - x; - 2 - y,3 - z)$.

${\rm{ V\`i }}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CM} = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {MC} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - x = - 3}\\{ - 2 - y = - 3}\\{3 - z = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 3}\\{y = 1}\\{z = 0}\end{array}} \right..{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{M(3; }}1;0)} \right.{\rm{. }}$

(d) Vì $N$ thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ nên tọa độ điểm $N$ là $N(x;y;0)$

Тa có: $\overrightarrow {AN} (x - 4;y - 2;1);\overrightarrow {BN} (x - 1;y + 1; - 2)$

Để $A,B,N$ thẳng hàng thì hai vectơ $\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {BN}$ cùng phương. Do đó, $\overrightarrow {AN} = k\overrightarrow {BN}$ (với $k$ là số thực bất kì)

Suy ra, $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x - 4 = k(x - 1)}\\{y - 2 = k(y + 1)}\\{1 = - 2k}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x - 4 = - \frac{1}{2}(x - 1)}\\{y - 2 = - \frac{1}{2}(y + 1)}\\{k = \frac{{ - 1}}{2}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 3}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.$. Vậy $N\left( {3;1;0} \right)$

a)

S

b)

Đ

c)

S

d)

S

Sai. Đạo hàm $f'(x) = 3{x^2} + 16x + 5.$

Sai. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 16x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = - 5 \vee x = - \frac{1}{3} \Rightarrow$ HS không ĐB trên $\left( { - 1; + \infty } \right).$

Đúng. $x = - 5 \vee x = - \frac{1}{3} \Rightarrow$ Hai hoành độ cực trị đều âm nên ĐTHS nằm cùng phía so với trục $Oy.$

Sai. Hàm số đồng biến với mọi $x \in \left( {0;\,\, + \infty } \right)$ nên $f(0) < f(x)$ với mọi $x \in \left( {0;\,\, + \infty } \right).$

Dựa vào hình 2 ta thấy đồ thị hàm số $y = f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a < 0} \right)$ và đường thẳng $y = 30$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $x = 0;x = 50;x = 80.$

$\Rightarrow a{x^3} + b{x^2} + cx + d\, = 30 \Leftrightarrow a{x^3} + b{x^2} + cx + d - 30 = 0$có 3 nghiệm phân biệt $x = 0;x = 50;x = 80.$

$\Rightarrow a{x^3} + b{x^2} + cx + d - 30 = ax\left( {x - 50} \right)\left( {x - 80} \right) = a\left( {{x^3} - 130{x^2} + 4000x} \right)$

Suy ra $f\left( x \right) = a\left( {{x^3} - 130{x^2} + 4000x} \right) + 30$ $\Rightarrow f'\left( x \right) = a\left( {3{x^2} - 260x + 4000} \right)$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 20\,\,\left( {TM} \right)}\\{x = \frac{{200}}{3}\,\left( {TM} \right)}\end{array}} \right.$.

Theo bài ra độ cao nhỏ nhất bằng 6 hay $f\left( {20} \right) = 6 \Leftrightarrow a = - \frac{1}{{1500}}$

Độ cao lớn nhất mà tàu lượn siêu tốc đạt được là $f\left( {\frac{{200}}{3}} \right) = \frac{{3230}}{{81}} \approx 39{,}9.$

Gọi $x\,(m)$ là chiều rộng của khu đất hình chữ nhật cần rào.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, chiều dài lưới thép ngắn nhất là 40m khi chiều rộng khu đất này là $x = 10\,(\;m)$.

Gọi $x$ $\left( {1 \le x \le 20,x \in \mathbb{N}} \right)$ là số máy sử dụng và $C\left( x \right)$ là hàm tổng chi phí sản xuất tương ứng.

Chi phí lắp đặt các máy là $80x$

Chi phí vận hành các máy là $\frac{{400000}}{{200x}}.5{,}76$

Tổng chi phí = Chi phí lắp đặt + Chi phí vận hành $\Rightarrow C\left( x \right) = 80x + \frac{{11520}}{x}$

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $C\left( x \right)$ với $x \in \left[ {1;20} \right]$

Ta có $C'\left( x \right) = 80 - \frac{{11520}}{{{x^2}}} \Rightarrow C'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\left( {tm} \right)\\x = - 12\left( {ktm} \right)\end{array} \right.$

Đồng thời $\left\{ \begin{array}{l}C\left( 1 \right) = 11600\\C\left( {20} \right) = 2176\\C\left( {12} \right) = 1920\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;20} \right]} C\left( x \right) = C\left( {12} \right) = 1920 \Leftrightarrow x = 12$

Vậy công ty nên sử dụng 12 máy để sản xuất thì tổng chi phí sẽ nhỏ nhất.

Ta có $\widehat {AEC} = 60^\circ$

Ta có $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} = 2\overrightarrow {EO} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {EO} } \right| \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|\sqrt 3 = 4700\sqrt 3$

Tương tự ta cũng có $\overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}} = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|\sqrt 3 = 4700\sqrt 3$

Vậy trọng lực ôtô là: $\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} } \right) -$(trọng lực khung sắt) $\approx 13281\left( N \right)$

Ta có: Vị trí $A,B$có tọa độ lần lượt là: $(150;200;50),( - 180; - 240;60)$. Suy ra khoảng cách giữa hai flycam đó bằng:

$AB = \sqrt {{{( - 180 - 150)}^2} + {{( - 240 - 200)}^2} + {{(60 - 50)}^2}} \approx 550(\;{\rm{m}}).$

Tính đạo hàm ${P^\prime }(x)$: ${P^\prime }(x) = {\left( { - {{10}^{ - 6}}{x^3} + {{10}^{ - 3}}{x^2} + 5x - 500} \right)^\prime } = - 3 \cdot {10^{ - 6}}{x^2} + 2 \cdot {10^{ - 3}}x + 5$

Xét ${P^\prime }(x) = 0$: $- {3.10^{ - 6}}{x^2} + 0{,}002x + 5 = 0 \Rightarrow {3.10^{ - 6}}{x^2} - 0{,}002x - 5 = 0.$

Chia cả hai vế cho ${10^{ - 6}}$: $3{x^2} - 2000x - 5000000 = 0$

Giải phương trình bậc hai: $\begin{array}{l}x = \frac{{2000 \pm \sqrt {{{2000}^2} + 4 \cdot 3 \cdot 5000000} }}{{2 \cdot 3}} = \frac{{2000 \pm \sqrt {4000000 + 60000000} }}{6}\\ = \frac{{2000 \pm \sqrt {64000000} }}{6} = \frac{{2000 \pm 8000}}{6}.\end{array}$

Kết quả: ${x_1} = \frac{{2000 + 8000}}{6} = \frac{{10000}}{6} \approx 1666{,}67,\quad {x_2} = \frac{{2000 - 8000}}{6} = - 1000$(loại)

Chọn $x = 1666{,}67$ (nằm trong đoạn $[0;2000]$).

Lập bảng biến thiên ta suy ra được $P$ đạt cực đại tại $x \approx 1666{,}67$.

Để lợi nhuận hàng ngày lớn nhất, TKK Corporation nên sản xuất khoảng $1667$ DVD